八年級數(shù)學分式方程湘教版知識精講

初二數(shù)學分式方程湘教版

【本講教育信息】

教學內(nèi)容：

分式方程

教學目標：

1.知識與技能

(1)知道分式方程的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程。

(2)知道增根及產(chǎn)生增根的原因，明確檢驗是解分式方程必不可少的重要步驟。

(3)能列出可化為一元一次方程的分式方程解簡單的應用題。

2.過程與方法

在解分式方程中體驗轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

3.情感、態(tài)度與價值觀

在共同探索中，體會方程思想，提高分析和解決問題的能力，感悟數(shù)學的價值。

二.重點、難點

重點：

1.解可化為一元一次方程的分式方程。

2.可根據(jù)題意列出分式方程。

難點：

1.解分式方程的步驟及驗根的原理與方法。

2.會找出分式方程應用題中的等量關系。

知識要點歸納：

1.分式方程的概念

分母里含有未知數(shù)的方程叫分式方程。

即分式方程的重要特征是方程中分式的分母里含有未知數(shù)。

2.如何解分式方程

(1)在分式方程的兩邊都乘以方程中的各分母的最簡公分母，約去分母，化成整式方

程。

(2)解這個整式方程。

(3)把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是否為零，若是零，就是原分式方程的

增根，必須舍去。

3.解分式方程的基本思想

是將它轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有：

(1)兩邊同乘以最簡公分母；(2)換元法

4.分式方程產(chǎn)生增根的原因

分式方程的增根是去分母后整式方程的某個根，但因其使分式方程的某個分母等于零,

這時原方程中的分式就沒有意義了，故應是原方程的增根。

5.分式方程的應用

列分式方程解應用題的方法與列一元一次方程解應用題的方法基本相同，即其步驟為：

(1)審題：它是解應用題的重點，其關鍵是找出題目中的等量關系。

(2)設未知數(shù)：同時也要寫出有關的代數(shù)式，并要寫好單位。

(3)根據(jù)題意找等量關系，列出分式方程。

(4)解分式方程并驗根，驗根時不僅要注意檢驗其根是否為增根，而且還需要檢驗是

否符合應用題的實際要求。

(5)寫出答案，注意寫好單位。

【典型例題】

基礎知識題

例1.解方程:

3—xx~—25—x

------+—=1+-------

1-xx2-8x+7------7-X

分析：(1)解此題的第一步是要把分式方程中的每一個分式的分子、分母都按x的降基

排列，并且最高次項的系數(shù)要化為正數(shù)，這樣再解方程就不容易出現(xiàn)符號錯誤，也便于找最

簡公分母。

(2)解方程的關鍵是去分母，將分式方程化為整式方程，所以首先要求各個分母能因

式分解的多項式先做因式分解，再取最簡公分母。

(3)解分式方程的檢驗這個步驟是不可以省略的。

解：原方程可變形為：

x—3x?—2x一5

-------1-----------------=1+

x-\(x-DU-7)x—7

方程兩邊同時乘以最簡公分母(x-1)(x-7)得:

(x-3)(x-7)+(x2—2)=(x—l)(x-7)+(x-l)(x-5)

x~-10x+21+x~-2=x2—8x+7+x~—f)x+5

4x+7=0

解這個一元一次方程得：

7

X-——

4

檢驗：

7

把X=代入最簡公分母(x-l)(x-7)得：

4

77

(x-l)(x-7)=(---1)(---7)^0

44

7

=是原方程的根

4

例2.已知關于x的方程--孚L=三口有增根，求機的值。

X+1X+xX

分析：(1)增根就是使原方程分母為零時的根，也是原方程轉(zhuǎn)化為整式方程后的整式方

程的根。

(2)做這類題的方法是將分式方程去分母化為整式方程，把增根代入整式方程便可獲

得未知系數(shù)的值。

解：原方程可化為：

2x7/24-1X+1

X+\X(X+1)X

方程兩邊同時乘以X(x+l)得：

2x2-(m+l)=(x+l)2(1)

因為原方程有增根，所以x=0或x=-l

當x=0時，代入(1)得：

—(m+1)=1,m——2

當x=-1時，代入(1)得：

2—(m+1)=0,m=1

，m=-2或m=l時原方程有增根

能力提高題

丫:aARc

例3.已知一仝士一=C+—J+二一(A、B、C是常數(shù))，求A、B、C

x(x—1)(%+2)xx—1x+2

的值。

分析：此題可利用恒等式的性質(zhì)來解決，我們可采用下面兩種解法來求A、B、C的值。

解法1：利用去分母將分式化為整式，通過多項式恒等，對應項系數(shù)分別相等來列出方

程，求出A、B、C?其解法如下：

方程兩邊同時乘以x(x-1)(x+2)得：

A(x-l)(x+2)+Bx(^x+2)+Cv(x—1)—2x+3

整理得：

(A+3+C)x~+(A+2B—C)x-2A=2x+3

比較系數(shù)得：

A+8+C=0

<A+2B-C=2

-2A=3

解得：

解法二：用特殊值法，多項式恒等與x的取值無關，我們可令x=l,x=-2,x=0化

簡式子，直接求出A、B、C的值。

其解法如下：

方程兩邊同時乘以x(X—1)(x+2)得：

A(x-1)(元+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)=+3

令%=1,得8=*

3

令x=-2,得C=-4

6

3

令冗=0,得A=——

2

例例解方程:

x—4x—5x—7x—8

x—5x—6x—8x—9

分析：此題按常規(guī)方法來解比較麻煩，若觀察方程兩邊的特點，先將方程兩邊通分，巧

妙的消去分子中的未知數(shù)，減小了計算量，使運算過程比較簡便。

解：方程兩邊分別通分得：

(x—4)(x—6)—(x—5)"(x—7)(x—9)—(x—8)~

(%—5)(x—6)(x—8)(x—9)

即1——_ii-----=———_i------

x2-llx+30x2-17A:+72

去分母得：

x2—17x+72-x2-1lx+30

整理得：

-llx+3O=-17x+72

解這個一元一次方程得：

x=7

檢驗：

把x=7代入原方程中的分母中可知均不為0

，x=7是原方程的解。

綜合應用題

例5.某商人用7200元購進甲、乙兩種商品，然后賣出，若每種商品均用去一半的錢，則

一共可購進750件；若用2/3的錢買甲種商品，其余的買乙種商品，則要少購50件，賣出

時，甲種商品可贏利20%,乙種商品可贏利25%。

(1)求甲、乙兩種商品的購進價和賣出價。

(2)因市場需求總量有限，每種商品最多只能賣出600件，那么商人采用怎樣的購貨

方式才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

分析：本題是一個探索性的綜合題，對于問題(1),若直接設未知數(shù)，則需設兩個，所

以采用間接設未知數(shù)的辦法較好；對于問題(2),它為一個有關最大利潤的問題，那么必然

確定盈利較少的甲種商品最多可賣的數(shù)量。

本題涉及到了單價X數(shù)量=總價的關系式的運用，還涉及到了方程的解法，列分式方程

應用題的步驟，同時還考查了對問題進行分析，比較找出最佳方案，解決實際問題的能力。

解答列方程解應用題的重點是審題，審題的關鍵是找等量關系，根據(jù)題意，我們可找出

此題的等量關系是：

21

用:的錢買甲種商品的件數(shù)十用(的錢買乙種商品的件數(shù)=(750-50)件

下面我們用表格的形式找出題中已知量和未知量的關系：

進價數(shù)量總價

22

7200x--x7200-x7200

甲______23________3

X7200x-

______2

X

7200x'

-X7200-x7200

乙______2J______3

750-x

7200x-

2

750-%

現(xiàn)在我們根據(jù)上面的分析寫出如下解答過程。

解：設甲種商品的購進數(shù)量為x件，則乙種商品的購進數(shù)量為(750-x)件，則甲

7200x-7200x-

種商品的進價為：------2.元；乙種商品的進價為：-------2.元

x750-X

根據(jù)題意得:

21

7200x7200x-

3+3750-50

7200x'7200x1

22

x750-%

解這個方程得：x=300

經(jīng)檢驗，x=300是原方程的解，也符合題意。

.?.當x=300時，750-x=750-300=450

此時甲種商品的進價為：

7200x-

---------2.=12元

300

乙種商品的進價為：

7200xl

-----=8TU

750-300

故賣出價分別為：

甲種商品=12X(1+20%)=14.4元

乙種商品=8X(1+25%)=10元

(2)設獲得最大利潤時，甲種商品進m件，總利潤為P元，則

7200-12/W

P=(12x20%)m+(8*25%)?

8

——0.6/72+1800

由于每種商品最多只能賣出600件，所以獲利較大的乙種商品的進貨量為:

720°-12"<600

8

此時m，200

故當m=200時，甲種商品的進貨量最少，乙種商品的進貨量最多，可獲得最大利潤:

P=-0.6x200+1800=1680元

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

填空題

1.滿足方程—=二一的X的值是_____________o

x-1x-2

32

2.當乂=_____________時，分式一與——的值互為相反數(shù)。

x6-x

3.已知分式方程￡■=——有增根，則2=。

4.一個水池裝有兩個進水管，單獨開甲管需a小時注滿空池，單獨開乙管需b小時注滿

水池，若同時打開兩個水管，則注滿空池的時間是小時。

r4-

5.已知關于x的方程——=-1的根大于0,則a的取值范圍是o

x-2

v—3

6.已知x—一1■二匕，，用含x的代數(shù)式表示y,則丫=___________。

x-2y-4

二.選擇題

1.方程、=0的根是()

?—

x1

A.x=lB.x=±lC.x=0D.x=-1

2.要使4—上2x上的值和x—二5^的值相等，則x的值為()

4-xx-4

1

2

3.若關于x的方程一工一3攵二5。一%）+1的解為負數(shù)，則k的值為（）

3

,1\_D.女〉工且女。2

、k>=B.k<—C.k

2222

x

4.方程的解的情況是)

x+2x+2

A.x=-2B.x=0C.解為任意數(shù)D.無解

三.解下列分式方程

123

].-----=------------------------

1—X21+2x+x21—2x+

x+4x+7x+3元+6

’77XX

四.若關于x的方程-------=-^7--J有增根，試求m的值。

x+x—2x-1無+2

五.已知一次函數(shù)丁=依+。的圖象經(jīng)過（1,3）點和（一2,0）點，則關于x的方程

kb

0的根是多少？

x+kx-b

2

六.因汛期防洪的需要，計劃對某河段進行加固，此項工程若由甲、乙兩隊同時干，需要2M

天完成，共支付費用180000元；若甲隊單獨干2天后，再由乙隊單獨完成還需3天，共支

付費用179500元，但是為了便于管理，決定由一個隊完成。

（1）由于時間緊迫，加固工程必須在5天內(nèi)完成，你認為應選哪個隊？

（2）如果時間充裕，為了節(jié)省資金，你認為應該選擇哪個隊？

【試題答案】

ab

1.02.183.-44.-------

a+b

5.a<26.x+2

l.D2.B3.B4.D

123

二.1.------7=--------;----------1-

1—x~1+2x+x~1—2x+x

解：原方程可化為：

123

x2-1x2+2x+1x2-2x+l

123

(X+l)(x-1)(X+1)"(X—1)"

方程兩邊同時乘以(X+l)2(X—l)2得：

-(X+1)(%-1)=2(x-1)2-3(x+1)2

化簡整理得：5x+l=0

.x__l

5

檢驗：

把X=-L代入(％+1)2。-1)2得：

(JC+1)2(X-1)2=(一(+1)2(一(一1)2力0

.?.》=一(是原方程的解

2.解：方程兩邊分別通分得：

x+7-x—4x+6-x—3

(x+4)(%+7)(x+3)(%+6)

33

即：-------------=-------------

(%+4)(尤+7)(x+3)(x+6)

兩邊同時乘以(元+4)(%+7)(x+3)(%+6)得：

(x+3)(%+6)=(%+4)(%+7)

解之得：x=-5

經(jīng)檢驗：x=—5是原方程的解

??.x=-5是原方程的解

mxx

四.

x—2x—1%+2

原方程