高中數(shù)學(xué)必修二（人教A版2019）課后習(xí)題答案解析

6.1平面向量的概念6.1.2向量的幾何表示例1在圖6.1-4中，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實(shí)際距離（精確到1km）.解：表示A地至B地的位移，且__________________；表示A地至C地的位移，且__________________.6.1.3相等向量與共線向量例2如圖6.1-8，設(shè)O是正六邊形的中心.（1）寫出圖中的共線向量；（2）分別寫出圖中與，，相等的向量.解：（1），，，是共線向量；，，，是共線向量；，，，是共線向量.（2）；；.練習(xí)1.下列量中哪些是向量？懸掛物受到的拉力，壓強(qiáng)，摩擦力，頻率，加速度.2.畫兩條有向線段，分別表示一個(gè)豎直向下、大小為18N的力和一個(gè)水平向左、大小為28N的力.（用1cm長(zhǎng)表示10N）3.指出圖中各向量的長(zhǎng)度.（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為0.5）4.將向量用具有同一起點(diǎn)O的有向線段表示.（1）當(dāng)與是相等向量時(shí)，判斷終點(diǎn)M與N的位置關(guān)系；（2）當(dāng)與是平行向量，且時(shí)，求向量的長(zhǎng)度，并判斷的方向與的方向之間的關(guān)系.習(xí)題6.1復(fù)習(xí)鞏固1.在如圖所示的坐標(biāo)紙（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1）中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：（1）,點(diǎn)A在點(diǎn)O正南方向；（2）,點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏西方向；（3）,點(diǎn)C在點(diǎn)O南偏西方向.【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析【解析】【分析】（1）按照題意要求畫圖即可；（2）按照題意要求畫圖即可；（3）按照題意要求畫圖即可；【詳解】解：如圖.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖能力，考查了方位角的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖，點(diǎn)O是的對(duì)角線的交點(diǎn)，且，分別寫出和折線MPQRST中與相等的向量.【答案】與相等的向量有：；與相等的向量有：；與相等的向量有：.【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義直接求解即可.【詳解】解：與相等的向量有：；與相等的向量有：；與相等的向量有：.【點(diǎn)睛】本題考查了相等向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.綜合運(yùn)用3.判斷下列結(jié)論是否正確（正確的在括號(hào)內(nèi)寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤），并說明理由.3.若與都是單位向量，則.（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】根據(jù)向量相等的概念即可得到答案.【詳解】向量相等指的是向量的方向相同，模長(zhǎng)相等，與都是單位向量，則兩個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，但是方向不一定相同.故錯(cuò)誤.故答案為：錯(cuò)誤.4.方向?yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量是共線向量.（）【答案】√【解析】【分析】作圖分析幾何關(guān)系即可判斷﹒【詳解】如圖所示，分別在O點(diǎn)的南偏西和北偏東作向量與，根據(jù)幾何關(guān)系，O、A、B三點(diǎn)共線，所以與共線，所以說法正確﹒故答案為：√5.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量.（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】根據(jù)向量的定義即可得到答案.【詳解】直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸不是向量，因?yàn)橹挥蟹较驔]有大小，也沒有起點(diǎn).故答案為：錯(cuò)誤.6.若與是平行向量，則.（）【答案】錯(cuò)誤【解析】【分析】根據(jù)向量共線的知識(shí)確定正確答案.【詳解】與是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，所以判斷錯(cuò)誤.故答案為：錯(cuò)誤7.若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)M與N不重合.（）【答案】√【解析】【分析】?jī)蓚€(gè)向量相等，大小相等，方向相同﹒【詳解】?jī)蓚€(gè)向量相等，則大小相等，方向相同，表示這兩個(gè)向量的有向線段起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也必然相同﹒由此可判斷“若用有向線段表示的向量與不相等，則點(diǎn)M與N不重合”為正確表述﹒故答案為：√8.海拔、溫度、角度都不是向量.（）【答案】正確【解析】【分析】根據(jù)向量的定義得到答案即可.【詳解】這三個(gè)量只有大小沒有方向，是標(biāo)量，不是向量.故答案為：正確.拓廣探索9.如圖，在矩形ABCD中，，M，N分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，在以A，B，C，D，M，N為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相等的向量共有多少對(duì)？【答案】24對(duì)【解析】【分析】根據(jù)相等向量定義，分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】解：相等的非零向量共有24對(duì).易知，則模為1的相等向量有18對(duì)，其中與同向的共有6對(duì)；與反向的也有6對(duì)；與同向的共有3對(duì)；與反向的也有3對(duì).模為2的相等向量共有2對(duì).模為的相等向量有4對(duì).【點(diǎn)睛】本題考查了相等向量的定義，考查了分類討論思想，屬于中檔題.變式練習(xí)題10.下列說法正確的是（）A.零向量沒有方向 B.向量就是有向線段C.只有零向量的模長(zhǎng)等于0 D.單位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】零向量的方向是任意的，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；只有零向量的模長(zhǎng)等于0，故C選項(xiàng)正確；單位向量模長(zhǎng)相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的定義和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于向量基本知識(shí)的掌握.11.1.如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心．（1）在圖中標(biāo)出的向量中，與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（2）是否存在的相反向量？【答案】（1）11個(gè)（2）存在【解析】【分析】（1）正六邊形由對(duì)角線分割為六個(gè)全等的等邊三角形，進(jìn)而求出向量長(zhǎng)度相等的向量；（2）相反向量即模長(zhǎng)相等，方向相反的兩個(gè)向量【小問1詳解】與向量長(zhǎng)度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11個(gè)【小問2詳解】存在，是的相反向量12.如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，AB，AC上的點(diǎn)，且都不與A，B，C重合，＝.求證：△BDE∽△DCF.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)＝，可得且，從而可得DE∥AF，即可證得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得證.【詳解】證明：因?yàn)椋剑郧?，故四邊形AEDF是平行四邊形，所以DE∥AF，則∠C＝∠BDE，由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，故△BDE∽△DCF.13.如圖，已知以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上有8個(gè)等分點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，以圖中標(biāo)出的9個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，（1）與的夾角是多少？（2）與垂直的向量有哪些？【答案】（1）45°（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出弧DE所對(duì)圓心角即可得解.(2)根據(jù)給定條件可得OD⊥BF，再探求圖中與BF平行的線段即可得解.【小問1詳解】因以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上的8個(gè)等分點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，則弧DE所對(duì)圓心角是45°，即有∠DOE=45°，所以與的夾角為45°.【小問2詳解】因以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上的8個(gè)等分點(diǎn)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，顯然，BF是圓O的直徑，，，如圖：所以與垂直的向量有：.14.下列說法正確的是（）A.向量與共線，與共線，則與也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共線向量（即平行向量）的定義即可求解.【詳解】解：對(duì)于A：可能是零向量，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：兩個(gè)向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)榕c任何向量都是共線向量，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C6.2平面向量的運(yùn)算習(xí)題6.2復(fù)習(xí)鞏固1.如果表示“向東走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”，那么下列向量具有什么意義？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）向東走；（2）向東走；（3）向東北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向東南走.【解析】【分析】由向量加法及其幾何意義和位移的關(guān)系可得.【詳解】由題意知：表示“向東走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”（1）表示“向東走”（2）表示“向東走”（3）表示“向東北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向東南走”【點(diǎn)睛】本題考查向量加法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2.一架飛機(jī)向北飛行，然后改變方向向西飛行，求飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的合成.【答案】飛機(jī)飛行的路程為；兩次位移的合成是向北偏西約53°方向飛行.【解析】【分析】由向量的加減運(yùn)算，即可得出結(jié)論.【詳解】由向量的加減運(yùn)算可知：飛機(jī)飛行的路程是；兩次位移的合成是向北偏西約53°，方向飛行.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法及其幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，區(qū)分路程、位移是關(guān)鍵.3.一艘船垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為，同時(shí)河水流速的大小為求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（精確到l°）.【答案】，方向與水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法運(yùn)算，模的運(yùn)算，勾股定理，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)船的航行速度為，水流速度為，船的實(shí)際航行速度為v，v與的夾角為，則由，得.船實(shí)際航行的速度的大小為，方向與水流方向成76°角.【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問題為載體，考查向量的加法運(yùn)算，考查三角函數(shù)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.4.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法與減法的運(yùn)算法則，對(duì)每一個(gè)小題進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】解：（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加法與減法的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題.5.作圖驗(yàn)證：（1）（2）【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，畫圖驗(yàn)證即可.【詳解】解：如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)，則.（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】本題考查向量的平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題.6.（1）已知向量,,求作向量，使.（2）（1）中表示,,的有向線段能構(gòu)成三角形嗎？【答案】（1）見解析.（2）當(dāng)，共線時(shí)，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)，不共線時(shí)能構(gòu)成三角形.【解析】【分析】作平行四邊形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.【詳解】（1）方法一：如圖所示，當(dāng)向量,兩個(gè)不共線時(shí)，作平行四邊形，使得，，則，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法則，如下圖：作，使得，，，則，即，當(dāng)向量,兩個(gè)共線時(shí)，如下圖：使得，，則，，所以，，即.（2）向量,兩個(gè)不共線時(shí)，表示,,的有向線段能構(gòu)成三角形，向量,兩個(gè)共線時(shí)，,,的有向線段不能構(gòu)成三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的三角形法則，平行四邊形法則、分類討論方法，考查了作圖能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，為兩個(gè)非零向量，（1）求作向量；（2）當(dāng)向量，成什么位置關(guān)系時(shí)，滿足？（不要求證明）【答案】（1）見解析.（2）【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則，作出圖象即可.【詳解】（1）當(dāng)向量,兩個(gè)不共線時(shí)，作，使得，，，，所以，當(dāng)向量,兩個(gè)同向且共線時(shí)，作，，，所以，當(dāng)向量,兩個(gè)反向且共線時(shí)，作，，，所以，，（2）當(dāng)時(shí)，滿足，如圖，作矩形，作，，所以，，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)，考查了學(xué)生的動(dòng)手能力，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，對(duì)每一個(gè)小題進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．9..求證.【答案】見解析【解析】【分析】直接由已知結(jié)合向量減法的三角形法則可得.【詳解】證明：因?yàn)?，而，所?【點(diǎn)睛】本題考查共線向量基本定理，考查了向量減法的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題.10.填空：（1）若,滿足,則的最大值為____________，最小值為____________；（2）當(dāng)非零向量,滿足_____________時(shí)，平分與的夾角.【答案】①.5②.1③.【解析】【分析】利用即可得到結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，同向時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)取等號(hào)，.（2）當(dāng)時(shí)，為以,為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，此時(shí)的平行四邊形為菱形，對(duì)角線恰好平分與的夾角.答案：（1）5，1;（2）【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.11.（1）已知,且與的夾角，求；（2）已知,且,求.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模即可求出；（2）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模即可求出.【詳解】解：（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模和向量的數(shù)量積，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.求證：.【答案】見解析【解析】【分析】分，，討論即可得到結(jié)論.【詳解】證明：（1）設(shè)，的夾角為，當(dāng)時(shí)，.成立.（2）當(dāng)時(shí)，與同向，與同向，與的夾角為，與的夾角為.，，成立.（3）當(dāng)時(shí)，與反向，與反向，與的夾角為，與的夾角為.,,,成立.綜上可知，原等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.綜合運(yùn)用13.根據(jù)下列各小題中的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明：（1）；（2）；（3），且.【答案】（1）平行四邊形.見解析（2）梯形，見解析（3）菱形，見解析【解析】【分析】（1）由，可得，，即可判斷出四邊形的形狀；（2）由，可得，，即可判斷出四邊形的形狀；（3）由，且，可得四邊形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，即可判斷出四邊形的形狀.【詳解】解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：且.且，∴四邊形ABCD是平行四邊形.（2）四邊形ABCD是梯形，證明如下：.又，，即，∴四邊形ABCD是梯形.（3）四邊形ABCD是菱形，證明如下：且.且，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又，∴四邊形ABCD是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查了向量相等的意義、特殊四邊形的判定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，，且與邊AC相交于點(diǎn)E，的中線AM與DE相交于點(diǎn)N.設(shè)，用，分別表示向量.【答案】，.【解析】【分析】直接利用向量共線即可得到結(jié)論.【詳解】如圖，.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的表示，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．求證：+=2．【答案】證明詳見解析．【解析】【詳解】根據(jù)平面向量的加法意義，得，，又∵E，F(xiàn)分別為AD，BC中點(diǎn)，∴0，0；∴2=（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=+，即．16.飛機(jī)從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達(dá)乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達(dá)丙地，畫出飛機(jī)飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠(yuǎn)？【答案】圖見解析，北偏東45°方向，距甲地1400km.【解析】【分析】作出方位示意圖，構(gòu)造等腰三角形，解這個(gè)三角形即可得出答案【詳解】如圖，丙地在甲地的北偏東45°方向，距甲地1400km.設(shè)甲地為，乙地為，丙地為，作出示意圖，則，，，，是等邊三角形，，，，即丙地在甲地北偏東，丙地距甲地.【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，畫出草圖是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.17.（1）如圖（1），在中，計(jì)算；（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計(jì)算；（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）（3），見解析【解析】【分析】根據(jù)向量的加法法則直接對(duì)各式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）（2）.（3）.證明如下：【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.18.已知，求與的夾角.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可求出，再根據(jù)求夾角，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，因此，所以與的夾角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量的夾角公式，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.19.已知.且.求與的夾角（精確到1°）.（可用計(jì)算工具）【答案】【解析】【分析】先利用模的運(yùn)算得，再利用向量夾角公式即可得到結(jié)論.【詳解】，用計(jì)算器算得.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模，向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.20.已知是非零向量，，求證：【答案】見解析【解析】【分析】從向量數(shù)量積相等入手，移項(xiàng)變形，得到數(shù)量積為0即可.【詳解】證法1：證法2：設(shè).先證.由得.即而，所以再證由得.即，因此.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積為0的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.拓廣探索21.已知的外接圓圓心為O,且,則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算法則將已知等式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到為正三角形，從而得到結(jié)論.【詳解】如圖，由知O為BC的中點(diǎn)，又∵O為的外接圓圓心，又為正三角形，，在上的投影向量為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的含義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運(yùn)算法則，本題是基本知識(shí)與技能考查題，主要考查了向量運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22.如圖，O是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，用表示.【答案】【解析】【分析】由，，，即可得到結(jié)論.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查向量加法，向量減法，屬于基礎(chǔ)題.23.已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量滿足等式.（1）作出滿足條件的四邊形ABCD.（2）四邊形ABCD有什么特點(diǎn)？請(qǐng)證明你的猜想.【答案】（1）見解析（2）平行四邊形.見解析【解析】【分析】（1）直接作圖即可；（2）結(jié)論：四邊形ABCD為平行四邊形；將表達(dá)式變形，利用向量減法運(yùn)算法則即可得到結(jié)論.【詳解】（1）作圖，通過作圖可以發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD為平行四邊形.（2）四邊形ABCD為平行四邊形，證明如下：因?yàn)?，所以，因?yàn)?所以，即，因此四邊形ABCD為平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的運(yùn)算法則，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.24.如圖，在中，是不是只需知道的半徑或弦AB的長(zhǎng)度，就可以求出的值？【答案】只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)，與半徑無關(guān)【解析】【分析】由題意，設(shè)的半徑為r，AB的長(zhǎng)度為2a，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求出.【詳解】只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)，與半徑無關(guān).理由如下：設(shè)的半徑為r，AB的長(zhǎng)度為2a，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則.在中，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算，以及三角函數(shù)中，角與邊的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.2.1向量的加法運(yùn)算例1如圖6.2-5，已知向量，，求作向量．作法1：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O（圖6.2-6（1）），作，.則．作法2：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O（圖6.2-6（2）），作，.以，鄰邊作，連接，則．例2長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖6.2-8，一艘船從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為，同時(shí)江水的速度為向東.（1）用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；（2）求船實(shí)際航行的速度的大?。ńY(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到1°）解：（1）如圖6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，為鄰邊作，則表示船實(shí)際航行的速度.（2）在中，，，于是.因?yàn)?，所以利用?jì)算工具可得.因此，船實(shí)際航行速度大小約為，方向與江水速度間的夾角約為68°.練習(xí)1.如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．【答案】見解析【解析】【分析】將的起點(diǎn)移到的終點(diǎn)或?qū)蓚€(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)，利用三角形法則或平行四邊形法則作出.【詳解】將的起點(diǎn)移到的終點(diǎn)，再首尾相接，可得；將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)，利用平行四邊形法則，以、為鄰邊，作出平行四邊形，則過點(diǎn)的對(duì)角線為向量.如圖所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.2.當(dāng)向量滿足什么條件時(shí)，（或）？【答案】反向【解析】【分析】當(dāng)反向時(shí)，對(duì)與的大小進(jìn)行討論.【詳解】當(dāng)反向且時(shí)，；當(dāng)反向且時(shí)，，所以，當(dāng)反向時(shí)，（或）．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線時(shí)的方向、模的大小關(guān)系，求解時(shí)注意三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，若要取等號(hào)則需共線.3.根據(jù)圖示填空：（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）________．【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】在圖形中尋找三角形回路，兩個(gè)向量相加第二個(gè)向量的起點(diǎn)移到第一個(gè)向量的終點(diǎn)，再首尾相接.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)向量相加第二個(gè)向量的起點(diǎn)移到第一個(gè)向量的終點(diǎn)，再首尾相接，所以；；；．故答案為：；；；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時(shí)注意三角形法則的運(yùn)用.4.如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P在上，判斷下列各式是否正確（正確的在括號(hào)內(nèi)打“√"，錯(cuò)誤的打“×”）（1）．（）（2）．（）（3）．（）【答案】①.×②.√③.×【解析】【分析】（1）由圖形得；（2）、（3）利用向量加法幾何意義；【詳解】對(duì)（1），因?yàn)椋剩?）錯(cuò)誤；對(duì)（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正確；對(duì)（3），，故（3）錯(cuò)誤.故答案為：(1)×；(2)√；(3)×【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時(shí)注意三角形法則的運(yùn)用.5.有一條東西向的小河，一艘小船從河南岸的渡口出發(fā)渡河．小船航行速度的大小為，方向?yàn)楸逼?0°，河水的速度為向東，求小船實(shí)際航行速度的大小與方向．【答案】小船實(shí)際航行速度的大小為，方向?yàn)檎狈较颍窘馕觥俊痉治觥孔鲌D，設(shè)為河水速度，為小船航行速度，由小船航行速度為河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的實(shí)際速度.【詳解】如圖，為河水速度，為小船航行速度，設(shè)為小船實(shí)際航行速度．設(shè)E為渡口A在對(duì)岸對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則，．在中，∵，∴．∴E與D重合，．∴小船實(shí)際航行速度的大小為，方向?yàn)檎狈较颍军c(diǎn)睛】本題考查平面向量在物理中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意模的大小，表示速度的大小.變式練習(xí)題6.如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行求解﹒【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅蜲ABC是以O(shè)A，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對(duì)角線，所以．【小問2詳解】因?yàn)榕c方向相同且長(zhǎng)度相等，所以與是相同的向量，從而與方向相同，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度的2倍，因此，可用表示，即．【小問3詳解】因?yàn)榕c是一對(duì)相反向量，所以．7.在某河流南岸某渡口處，河水以大小為的速度向東流，渡船在靜水中的速度大小為.渡船要垂直地渡過該河，其航向應(yīng)如何確定？【答案】渡船要垂直地渡過該河，其航向應(yīng)為北偏西.【解析】【分析】畫圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船在靜水中的速度，表示渡船實(shí)際垂直過河的速度.由向量加法的平行四邊形法則，可知四邊形為平行四邊形，在中，求解，即可.【詳解】如圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船在靜水中的速度，表示渡船實(shí)際垂直過河的速度.因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?在中，，，，所以，即渡船要垂直地渡過該河，其航向應(yīng)為北偏西.【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則，以及向量的模，屬于中檔題.8.請(qǐng)用平行四邊形法則作出．【答案】答案見解析【解析】【分析】三個(gè)向量用平行四邊形法則求和，則先求和其中兩個(gè)，再用和向量與第三個(gè)向量求和﹒【詳解】解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作．如圖，以為鄰邊作□．再以為鄰邊作□，則．9.已知下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的是____.(填序號(hào))【答案】①④##④①【解析】【分析】利用向量加法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)各項(xiàng)向量的線性表達(dá)式，即可確定結(jié)果是否為.【詳解】①;②;③;④.故答案為：①④.10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，求證：【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算得到，，，相加得到證明.【詳解】如圖，連接DE，EF，F(xiàn)D,因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，所以四邊形ADEF為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得①,同理②，③，將①②③式相加，.6.2.2向量的減法運(yùn)算例3如圖6.2-12（1），已知向量，，，，求作向量，.作法：如圖6.2-12（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，，.則，.例4如圖6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，嗎？解：由向量加法平行四邊形法則，我們知道同樣，由向量的減法，知.練習(xí)1.如圖，在各小題中，已知，分別求作．【答案】見解析【解析】【分析】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量.【詳解】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，(1)(2)(3)(4)【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.2.填空：____；____；____；____；____．【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則，進(jìn)行向量的減法運(yùn)算.【詳解】因?yàn)橄蛄康钠瘘c(diǎn)相同，可直接進(jìn)行向量的相減運(yùn)算，所以；；；；．故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的運(yùn)算，求解時(shí)注意向量用兩個(gè)大寫字母表示，可直接進(jìn)行代數(shù)的運(yùn)算，而無需再畫圖形.3.作圖驗(yàn)證：．【答案】見解析【解析】【分析】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量.【詳解】當(dāng)中至少有一個(gè)為時(shí)，顯然成立（圖略）；當(dāng)不共線時(shí)，作圖如圖（1），顯然；當(dāng)共線時(shí)，同理可作圖如圖（2）所示．【點(diǎn)睛】本題考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.變式練習(xí)題4.如圖，已知向量，不共線，求作向量．【答案】作圖見解析，【解析】【分析】利用向量的加法法則求解.【詳解】如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，．因?yàn)椋?，所以?.如圖，點(diǎn)O是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用向量的加法法則和向量相等求解.【詳解】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以．因?yàn)?，，所以，即?.如圖，在?ABCD中，若，（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，?（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到?ABCD為菱形求解；（2）由，得到?ABCD為矩形求解.【小問1詳解】解：如圖：，當(dāng)時(shí)，?ABCD為菱形，對(duì)角線相互垂直，所以，即；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，?ABCD為矩形，對(duì)角線長(zhǎng)度相等，所以，即.7.證明：當(dāng)向量不共線時(shí)，.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)向量不共線，在OAB中，利用三角形的邊的關(guān)系證明.【詳解】證明：因?yàn)橄蛄坎还簿€，如圖，在OAB中，由三角形兩邊之和大于第三邊得：，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，所以.6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算例5計(jì)算：（1）；（2）；（3）．解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．例6如圖6.2-15，的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且，，用，表示，，和．解：在中，，．由平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，得，，，．練習(xí)1.任畫一向量，分別求作向量，．【答案】見解析【解析】【分析】先畫出，依次畫出，即可.【詳解】如圖．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的畫法，考查了相反向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.點(diǎn)C在線段上，且，則___，___．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分析即可得解.【詳解】由點(diǎn)C在線段上，且，可畫出圖形，設(shè)，則，∴，∴和同向，且，∴和反向，且.【點(diǎn)睛】本題考查向量的意義，屬于基礎(chǔ)題.3.把下列各小題中的向量表示為實(shí)數(shù)與向量的積：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】（1），；（2），；（3），；（4），．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)乘的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.例7如圖6.2-16，已知任意兩個(gè)非零向量，，試作，，.猜想A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想．分析：判斷三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，主要是看這三點(diǎn)是否共線，為此只要看其中一點(diǎn)是否在另兩點(diǎn)所確定的直線上．在本題中，應(yīng)用向量知識(shí)判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，可以通過判斷向量，是否共線，即是否存在，使成立．解：分別作向量，，，過點(diǎn)A，C作直線（圖6.2-17）.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量，怎樣變化，點(diǎn)B始終直線上，猜想A，B，C三點(diǎn)共線．事實(shí)上，因?yàn)?，，所以．因此，A，B，C三點(diǎn)共線．例8已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量，共線，求實(shí)數(shù)的值．解：由，不共線，易知向量非零向量．由向量，共線，可知存在實(shí)數(shù)，使得，即．由，不共線，必有.否則，不妨設(shè)，則．由兩個(gè)向量共線的充要條件知，，共線，與已知矛盾．由，解得．因此，當(dāng)向量，共線時(shí)，．練習(xí)4.判斷下列各小題中的向量與是否共線：（1），；（2），．【答案】（1）與共線；（2）與共線．【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理進(jìn)行分析計(jì)算即可.【詳解】（1），所以與共線；（2），所以與共線．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的問題，熟練掌握向量共線定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算和加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6.已知是兩個(gè)不共線的向量，，．若與是共線向量，求實(shí)數(shù)的值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的共線的充要條件列出等式計(jì)算即可.【詳解】由已知，∵與是共線向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于?？碱}.變式練習(xí)題7.已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.【答案】＝－8＋9－3.【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，移項(xiàng)，直接解出即可.【詳解】因?yàn)?(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，即＝－8＋9－3.8.如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，且BM＝AB，點(diǎn)N在BC上，且BN＝BC.求證：M、N、D三點(diǎn)共線．【答案】見解析.【解析】【分析】由題意畫出圖象，利用向量的加法和條件表示出，利用向量共線的充要條件，即可證明M、N、D三點(diǎn)共線．【詳解】由題意畫出圖象：因?yàn)锽MAB，點(diǎn)N在BC上且BNBC，所以，，因?yàn)?，，所以，則，所以M、N、D三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的加法法則，以及利用向量共線的充要條件證明三點(diǎn)共線，屬于中檔題.9.已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量－，－共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】.【解析】【分析】由向量－，－共線得存在實(shí)數(shù)λ，使得－＝λ，整理，由，不共線可得，的系數(shù)都為零，列方程組求解即可.【詳解】解由，不共線，知向量－為非零向量．由向量－，－共線，可知存在實(shí)數(shù)λ，使得－＝λ，即＝.由，不共線，必有＋＝＋1＝0.否則，不妨設(shè)＋≠0，則＝，得，共線，與已知矛盾．由，解得＝.因此，當(dāng)向量－，－共線時(shí)，＝.10.設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．若與共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】k＝±4.【解析】【分析】由題意與共線，結(jié)合向量共線定理即可求得答案.【詳解】由不共線可知為非零向量，而與共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即.因?yàn)椴还簿€，所以.11.已知向量，.求證：與是共線向量．【答案】證明見解析【解析】【分析】由平面向量共線定理即可證明問題.【詳解】由題意，，，則，由向量共線定理知與是共線向量．6.2.4向量的數(shù)量積例9已知，，與的夾角，求．解：．例10設(shè)，，，求與的夾角．解：由，得．因?yàn)椋裕毩?xí)1.已知，，和的夾角是60°，求．【答案】24【解析】【分析】由運(yùn)算即可得解.【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.已知中，，，當(dāng)或時(shí)，試判斷的形狀．【答案】鈍角三角形或直角三角形．【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合向量夾角的余弦值的符號(hào)判斷即可得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，即，所以為鈍角，為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，有，即，為直角三角形．故為鈍角三角形或直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積公式，重點(diǎn)考查了向量夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3.已知，為單位向量，當(dāng)向量，的夾角分別等于45°，90°，135°時(shí)，求向量在向量上的投影向量．【答案】見解析【解析】【分析】由在上的投影向量為，再將已知條件代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為，當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為，當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的投影的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.例11我們知道，對(duì)任意，恒有，．對(duì)任意向量，，是否也有下面類似結(jié)論？（1）；（2）．解：（1）；（2）．因此，上述結(jié)論是成立的．例12已知，，與夾角為60°，求．解：．例13已知，，且與不共線．當(dāng)為何值時(shí)，向量與相垂直？解：與互相垂直的充要條件是，．因?yàn)椋?，所以．解得．也就是說，當(dāng)時(shí)，與互相垂直．練習(xí)4.已知，，，向量與的夾角為，向量與的夾角為，計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得解；（2）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得解.【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的數(shù)乘運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5.已知，，且與互相垂直，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】因?yàn)榕c互相垂直，所以，整理化簡(jiǎn)，可得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：因?yàn)榕c互相垂直，所以，即．又因?yàn)椋裕驗(yàn)槭欠橇阆蛄?，所以?.求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】由平面向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得證.【詳解】證明：由左邊右邊，故等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.變式練習(xí)題7.已知向量與的夾角為，，，分別求在下列條件下的：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)?，所以或，再根?jù)即可求出結(jié)果；（3）因?yàn)?，所以，再根?jù)即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，，所以；【小?詳解】解：因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的值為或.【小問3詳解】解：因?yàn)椋?，所?8.已知，，，求與的夾角．【答案】【解析】【分析】利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?9.已知向量與的夾角為120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．【答案】（1）－5.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得|－|2，由此可求得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為120°，||＝2，||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．【小問2詳解】解：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為120°，||＝2，||＝3，所以，所以|－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．10.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出圖形，根據(jù)投影的幾何意義，計(jì)算結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，，，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，是等腰三角形，是中點(diǎn)，，由圖可知向量在上的投影向量為，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎(chǔ)題型.11.已知，，與的夾角為，問：當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得的值，再利用數(shù)量積的定義和性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，若，則，即，所以，所以，可得：.12.已知，，且與互相垂直，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】因?yàn)榕c互相垂直，所以，整理化簡(jiǎn)，可得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：因?yàn)榕c互相垂直，所以，即．又因?yàn)?，所以．因?yàn)槭欠橇阆蛄?，所以?3.用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對(duì)角線．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】設(shè)，，則且，即可求得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：設(shè)，．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又則，故．所以.14.設(shè)⊙C半徑為r，若A，B兩點(diǎn)都是⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【答案】2r2【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】若AB恰為⊙C直徑，易知；若AB不是⊙C直徑，則綜上，的最大值為2r6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理例1如圖6.3-4，，不共線，且，用，表示．解：因?yàn)椋裕?如圖6.3-5，是的中線，，用向量方法證明是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個(gè)基底表示，本題可取為基底，用它表示，．證明，可得，從而證得是直角三角形．證明：如圖6.3-6，設(shè)，，則，，于是..因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所?因此.于是是直角三角形.練習(xí)1.如圖，，，是的三條中線，，．用表示，，，．【答案】；；；．【解析】【分析】直接利用向量的減法三角形法則和平行四邊形法則即可?！驹斀狻拷猓?；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的減法三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。2.如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，G是的三等分點(diǎn)．（1）用表示，，；（2）能由（1）得出，的關(guān)系嗎？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形法則以及平行四邊形法則即可。（2）利用（1）的結(jié)果找出的關(guān)系即可得出，的關(guān)系【詳解】解：（1），，．（2）由（1）知，，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。3.如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出，（2）設(shè)，則，．計(jì)算即可。【詳解】解：（1）；．（2），證明如下：設(shè)，則，．．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關(guān)系，屬于中等題。6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示例3如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo).解：由圖6.3-10可知，，所以同理，，，.6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示例4已知，，求，的坐標(biāo).解：，.例5如圖6.3-13，已知的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解法1：如圖6.3-13，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.因?yàn)?，，又，所?即解得，所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.解法2：如圖6.3-14，由向量加法的平行四邊形法則可知，而.所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.練習(xí)4.在下列各小題中，已知向量，的坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo)：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5.在下列各小題中，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求，的坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求法，向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）,；．（2），；．（3），；．（4），；．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6.若點(diǎn)，，，，則與有什么位置關(guān)系？證明你的猜想．【答案】平行，證明見解析【解析】【分析】求出，的坐標(biāo)，即可判斷，的關(guān)系，得到與的位置關(guān)系.【詳解】解：．證明如下：因?yàn)?，，所以．又因?yàn)榕c不共線，所以．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的判定，屬于基礎(chǔ)題.6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示例6已知，，求的坐標(biāo).解：.例7已知，，且，求.解：因?yàn)?，所?解得.例8已知，，，判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點(diǎn)（圖6.3-15）.觀察圖形，我們猜想A，B，C三點(diǎn)共線.下面來證明.因?yàn)?，，又，所?又直線，直線有公共點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線.例9設(shè)P是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，.（1）當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（1）如圖6.3-16，由向量的線性運(yùn)算可知.所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.（2）如圖6.3-17，當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即或.如果（圖6.3-17（1）），那么，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是.同理，如果（圖6.3-17（2）），那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.練習(xí)7.已知，，求，的坐標(biāo)．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：，；．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8.當(dāng)為何值時(shí)，與共線？【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于的方程，解得.【詳解】解：，，，解得時(shí)，時(shí)，與共線．【點(diǎn)睛】本題考查共線向量基本定理的應(yīng)用；如果共線，那么存在唯一的，使成立或，屬于基礎(chǔ)題．9.若點(diǎn)，，，，則與是否共線？【答案】共線【解析】【分析】首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.【詳解】解：，，，，．∵，∴與共線．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，若、，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，計(jì)算可得【詳解】解：（1），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（2），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（3），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)P是線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】或【解析】【分析】．由于點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，或者．即可得出．【詳解】解：，．點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，或者．，或．或．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算、線段的三等分點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例10若點(diǎn)，，，則是什么形狀？證明你的猜想.解：如圖6.3-19，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)A，B，C，我們發(fā)現(xiàn)是直角三角形.證明如下：因?yàn)椋?，所?.于是.因此，是直角三角形.例11設(shè)，，求及，的夾角（精確到1°）.解：因?yàn)?，，所以用?jì)算器計(jì)算可得.利用計(jì)算器中的“”鍵，得.例12用向量方法證明兩角差的余弦公式.證明：如圖6.3-20，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，以x軸的非負(fù)半軸為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B.則，.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.設(shè)與的夾角為，則.所以.另一方面，由圖6.3-20（1）可知，；由圖6.3-20（2）可知，.于是，.所以.于是.練習(xí)12.已知，，求，，．【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：,,．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式,屬于基礎(chǔ)題型.13.已知．求．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算求解即可.【詳解】解：,,,【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算法則以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.14.已知，利用計(jì)算工具，求與的夾角（精確到1°）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：∵,∴．又∵,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的夾角運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.習(xí)題6.3復(fù)習(xí)鞏固15.如圖，在中，，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，設(shè)，用表示.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，，分別代換即可.【詳解】解：【點(diǎn)睛】此題考查平面向量基本運(yùn)算，根據(jù)線性運(yùn)算法則求解即可.16.已知作用在坐標(biāo)原點(diǎn)的三個(gè)力對(duì)應(yīng)向量分別為，求作用在原點(diǎn)的合力的坐標(biāo).【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】解：.【點(diǎn)睛】此題考查力的合成，根據(jù)向量加法關(guān)系求解.17.在下列各小題中，已知向量的坐標(biāo)，以及表示的有向線段的起點(diǎn)A的坐標(biāo)，求終點(diǎn)B的坐標(biāo).（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)，，求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1），.（2）,，（3），【點(diǎn)睛】此題考查向量的加減運(yùn)算，用端點(diǎn)坐標(biāo)表示向量.18.已知的頂點(diǎn)，，，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1，5)﹒【解析】【分析】由平行四邊形可得：，于是．【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，由平行四邊形可得：，，，，．∴D的坐標(biāo)為(1，5)﹒19.已知點(diǎn)，且，求點(diǎn)及向量的坐標(biāo).【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合的坐標(biāo)形式，求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：因?yàn)椋渣c(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以向量.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.20.已知點(diǎn)，且,求點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo).【答案】C，D，E【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則，依次求出，，的坐標(biāo)表示，再結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo).【詳解】解：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.,，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為；，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為；，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.21.你認(rèn)為下列各組點(diǎn)具有什么樣的位置關(guān)系？證明你的猜想.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）三點(diǎn)共線，證明見解析；（2）三點(diǎn)共線，證明見解析；（3）三點(diǎn)共線，證明見解析【解析】【分析】（1）通過計(jì)算：，三點(diǎn)共線；（2）通過計(jì)算：，三點(diǎn)共線；（3）通過計(jì)算：，三點(diǎn)共線.【詳解】解：（1）A，B，C三點(diǎn)共線、因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€AB與AC有公共點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線.（2）P，Q,R三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所?因?yàn)橹本€PR與PQ有公共點(diǎn)P，所以P，Q，R三點(diǎn)共線.（3）E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，因?yàn)椋?因?yàn)橹本€EF與EC有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】此題考查利用平面向量處理三點(diǎn)共線問題，準(zhǔn)確進(jìn)行線性運(yùn)算求解.22.分別在平面直角坐標(biāo)系中作出下列各組點(diǎn)，猜想以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形的形狀，然后給出證明：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）直角三角形，證明見解析；（2）直角三角形，證明見解析；（3）直角三角形，證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象通過計(jì)算得：得直角三角形；（2）結(jié)合圖象通過計(jì)算得：得直角三角形；（3）結(jié)合圖象通過計(jì)算得：得直角三角形.【詳解】解：（1）如圖，為直角三角形，證明如下：,.為直角三角形.（2）如圖，△ABC為直角三角形，證明如下：為直角三角形.（3）如圖，△ABC為直角三角形，證明如下：為直角三角形.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，通過非零向量數(shù)量積為零判定向量垂直得三角形形狀.23.已知，且，求的坐標(biāo).【答案】或【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系和平行關(guān)系列方程組求解.【詳解】解：設(shè)，則，解得：或于是或.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的模長(zhǎng)關(guān)系和平行關(guān)系的坐標(biāo)表示，根據(jù)方程組求解未知數(shù).24.已知，求與垂直的單位向量的坐標(biāo).【答案】或【解析】【分析】設(shè)與垂直的單位向量，通過模長(zhǎng)關(guān)系和垂直關(guān)系列方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)與垂直的單位向量，則，解得：或于是或.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的模長(zhǎng)關(guān)系和垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，根據(jù)方程組求解未知數(shù).綜合運(yùn)用25.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是AD，BC的三等分點(diǎn).設(shè).（1）用表示；（2）如果，EF，EG有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量運(yùn)算法則，依次代換即可表示；（2）根據(jù)（1）的表示形式計(jì)算，則.【詳解】解：（1）（2）.證明如下：由（1）知，，【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的計(jì)算，通過非零向量數(shù)量積為零判定向量垂直.26.已知點(diǎn).當(dāng)時(shí)，分別求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：，，，.【解析】【分析】根據(jù)分別計(jì)算時(shí)的坐標(biāo).【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量基本運(yùn)算的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo).27.已知，，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，可得，可得．【詳解】點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，，，，．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為28.求證：以為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)矩形.【答案】證明見解析【解析】【分析】分別利用坐標(biāo)計(jì)算即可得證【詳解】證明：因?yàn)?，，不為零向量，且不與平行，所以以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.，所以以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.【點(diǎn)睛】此題考查向量的相等和垂直的判斷，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.拓廣探索29.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，設(shè)，（1）計(jì)算的大小；（2）根據(jù)平面向量基本定理判斷，本題中對(duì)向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理.【答案】（1）；（2）合理【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形作輔助線在直角三角形中求解；（2）根據(jù)平面向量基本定理，作為一組基底，則平面內(nèi)任意向量都有唯一有序數(shù)對(duì)使得.【詳解】解：（1）建立如圍所示的直角坐標(biāo)系，將分解到軸和軸可求得，所以.（2）作為一組基底，對(duì)于任意向量都是唯一確定的，所以本題中對(duì)向量坐標(biāo)的規(guī)定合理.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量基本運(yùn)算，涉及數(shù)形結(jié)合處理模長(zhǎng)問題，對(duì)平面向量基本定理辨析30.用向量方法證明：對(duì)于任意的，恒有不等式【答案】證明見解析【解析】【分析】構(gòu)造向量，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明.【詳解】證明：構(gòu)造向量.（其中為向量u，v的夾角）.所以，所以.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明不等式，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確建立模型求解.6.3.1平面向量基本定理例1如圖6.3-4，，不共線，且，用，表示．解：因，所以．例2如圖6.3-5，是的中線，，用向量方法證明是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個(gè)基底表示，本題可取為基底，用它表示，．證明，可得，從而證得是直角三角形．證明：如圖6.3-6，設(shè)，，則，，于..因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所?因此.于是是直角三角形.練習(xí)1.如圖，，，是的三條中線，，．用表示，，，．【答案】；；；．【解析】【分析】直接利用向量的減法三角形法則和平行四邊形法則即可。【詳解】解：；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的減法三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。2.如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，G是的三等分點(diǎn)．（1）用表示，，；（2）能由（1）得出，的關(guān)系嗎？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形法則以及平行四邊形法則即可。（2）利用（1）的結(jié)果找出的關(guān)系即可得出，的關(guān)系【詳解】解：（1），，．（2）由（1）知，，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形法則以及平行四邊形法則，屬于基礎(chǔ)題。3.如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論．【答案】（1），；（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出，（2）設(shè)，則，．計(jì)算即可?！驹斀狻拷猓海?）；．（2），證明如下：設(shè)，則，．．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關(guān)系，屬于中等題。變式練習(xí)題4.在?ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可證得結(jié)論成立.【詳解】解：如下圖所示，由平面向量的加法法則可得，，，因?yàn)椋?，，解得，因此?故答案為：.5.若向量不共線，且（其中），求證：共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件和向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合向量與有公共點(diǎn)，即可證得三點(diǎn)共線．【詳解】由題意，向量不共線，且（其中），可得，所以，即，所以，由向量與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線．6.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求AP∶PM.【答案】4∶1.【解析】【詳解】設(shè)=e1,=e2,則=+=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分別共線,∴存在λ,μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而=+=2e1+3e2,∴∴∴=,∴=,即AP∶PM=4.7.如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量.【答案】＝a＋b.【解析】【詳解】設(shè)＝ma＋nb，則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b.又∵A，M，D三點(diǎn)共線，∴與共線．∴存在實(shí)數(shù)t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C，M，B三點(diǎn)共線，∴與共線．∴存在實(shí)數(shù)t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴消去t1得4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.8..如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1.【答案】證明見解析【解析】【分析】由三點(diǎn)共線計(jì)算可得，由三點(diǎn)共線，計(jì)算可得，即可求得，由三點(diǎn)共線，計(jì)算可得，消去,即可證得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，又三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得,由于不共線，所以,解得.故.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得,消去,得＋＝平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示例3如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo).解：由圖6.3-10可知，，所以.同理，，，.6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示例4已知，，求，的坐標(biāo).解：，.例5如圖6.3-13，已知的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是，，，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).解法1：如圖6.3-13，設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.因?yàn)?，，又，所?即解得，所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.解法2：如圖6.3-14，由向量加法的平行四邊形法則可知，而.所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.練習(xí)1.在下列各小題中，已知向量，的坐標(biāo)，分別求的坐標(biāo)：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】解：（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.在下列各小題中，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求，的坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求法，向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）,；．（2），；．（3），；．（4），；．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.若點(diǎn)，，，，則與有什么位置關(guān)系？證明你的猜想．【答案】平行，證明見解析【解析】【分析】求出，的坐標(biāo)，即可判斷，的關(guān)系，得到與的位置關(guān)系.【詳解】解：．證明如下：因?yàn)?，，所以．又因?yàn)榕c不共線，所以．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的判定，屬于基礎(chǔ)題.6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示例6已知，，求的坐標(biāo).解：.例7已知，，且，求.解：因?yàn)?，所?解得.例8已知，，，判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.解：在平面直角坐標(biāo)系中作出A，B，C三點(diǎn)（圖6.3-15）.觀察圖形，我們猜想A，B，C三點(diǎn)共線.下面來證明.因?yàn)椋郑?又直線，直線有公共點(diǎn)A，所以A，B，C三點(diǎn)共線.例9設(shè)P是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，.（1）當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（1）如圖6.3-16，由向量的線性運(yùn)算可知.所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.（2）如圖6.3-17，當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即或.如果（圖6.3-17（1）），那么，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是.同理，如果（圖6.3-17（2）），那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.練習(xí)4.已知，，求，的坐標(biāo)．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：，；．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5.當(dāng)為何值時(shí)，與共線？【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得到關(guān)于的方程，解得.【詳解】解：，，，解得時(shí)，時(shí)，與共線．【點(diǎn)睛】本題考查共線向量基本定理的應(yīng)用；如果共線，那么存在唯一的，使成立或，屬于基礎(chǔ)題．6.若點(diǎn)，，，，則與是否共線？【答案】共線【解析】【分析】首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.【詳解】解：，，，，．∵，∴與共線．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，若、，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，計(jì)算可得【詳解】解：（1），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（2），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（3），，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)P是線段的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】或【解析】【分析】．由于點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，或者．即可得出．【詳解】解：，．點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，或者．，或．或．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算、線段的三等分點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例10若點(diǎn)，，，則是什么形狀？證明你的猜想.解：如圖6.3-19，在平面直角坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)A，B，C，我們發(fā)現(xiàn)是直角三角形.證明如下：因?yàn)?，，所?.于是.因此，是直角三角形.例11設(shè)，，求及，的夾角（精確到1°）.解：.因?yàn)?，，所以用?jì)算器計(jì)算可得.利用計(jì)算器中的“”鍵，得.例12用向量方法證明兩角差的余弦公式.證明：如圖6.3-20，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O，以x軸的非負(fù)半軸為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B.則，.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.設(shè)與的夾角為，則.所以.另一方面，由圖6.3-20（1）可知，；由圖6.3-20（2）可知，.于是，.所以.于是.練習(xí)9.已知，，求，，．【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：,,．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式,屬于基礎(chǔ)題型.10.已知．求．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算求解即可.【詳解】解：,,,【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算法則以及向量坐標(biāo)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.11.已知，利用計(jì)算工具，求與的夾角（精確到1°）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：∵,∴．又∵,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的夾角運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.變式練習(xí)題12.已知點(diǎn)A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？【答案】向量與平行，直線AB與CD平行【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)表示即可判斷，然后計(jì)算坐標(biāo)，判斷點(diǎn)A，B，C是否共線得解.【詳解】因點(diǎn)A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，則=(2，4)，=(1，2)，顯然有2×2-1×4=0，于是得∥，因=(2，6)，而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，則與不平行，即點(diǎn)A，B，C不共線，因此，AB與CD不重合，所以直線AB與CD平行.13.已知，，，．（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？t為何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上？（2）四邊形OABP能否構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的位置列方程或不等式得出答案；（2）令列方程組，根據(jù)方程組是否有解得出結(jié)論．【小問1詳解】解：因?yàn)?，，，所以，所?，若在軸上，則，即；若在軸上，則，即；【小問2詳解】解：假設(shè)四邊形為平行四邊形，則，，，不等式組無解，四邊形是不可能為平行四邊形．14.設(shè)k為實(shí)數(shù)，若向量，，，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？【答案】k＝11或k＝－2.【解析】【分析】由題設(shè)得＝(k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共線的坐標(biāo)表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.【詳解】由題設(shè)，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0，k＝11或－2.故當(dāng)k＝11或－2時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線.15.已知向量，．當(dāng)k為何值時(shí)，與的夾角是鈍角？【答案】且【解析】【分析】由條件可得且不共線，然后可建立不等式求解.【詳解】因?yàn)榕c的夾角是鈍角，所以且不共線，即所以且.16.設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）.（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）通過分類討論，點(diǎn)P滿足兩種情況或，然后利用向量加法的三角形法則即可求出答案.【小問1詳解】（1）如圖，由向量的線性運(yùn)算可知,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【小問2詳解】當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，或，若，如圖(1)，那么，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是.同理，如果，如圖(2)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法例1如圖6.4-1，是的中位線，用向量方法證明：，.分析：我們?cè)诔踔凶C明過這個(gè)結(jié)論，證明中要加輔助線，有一定難度.如果用向量方法證明這個(gè)結(jié)論，可以取為基底，用，表示，，證明即可.證明：如圖6.4-2，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，.從而.又，所以，于是，.例2如圖6.4-3，已知平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線和的長(zhǎng)度與兩條鄰邊和的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？分析：平行四邊形中與兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的和與差，我們可以通過向量運(yùn)算來探索它們的模之間的關(guān)系.解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：如圖6.4-4，取為基底，設(shè)，，則，.第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系：，.上面兩式相加，得.第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：.練習(xí)1.證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.2.如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，求的余弦值.3.如下圖，在中，點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N.設(shè)，，求的值.6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例例3在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：不妨以兩人共提旅行包為例，只要研究清楚兩個(gè)拉力的合力、旅行包所受的重力以及兩個(gè)拉力的夾角三者之間的關(guān)系，就可以獲得問題的數(shù)學(xué)解釋.解：先來看共提旅行包的情況.如圖6.4-5，設(shè)作用在旅行包上的兩個(gè)拉力分別為，，為方便起見，我們不妨設(shè).另設(shè)，的夾角為，旅行包所受的重力為.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道.這里，為定值.分析上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由0逐漸變大到時(shí)，由0逐漸變大到，的值由大逐漸變小，此時(shí)由小逐漸變大；反之，當(dāng)由逐漸變小到0時(shí)，由逐漸變小到0，的值由小逐漸變大，此時(shí)由大逐漸變小.這就是說，，之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力.同理，在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力.事實(shí)上，要使最小，只需最大，此時(shí)，可得.于是的最小值為，若要使，只需，此時(shí)，即.例4如圖6.4-6，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要多長(zhǎng)時(shí)間（精確到0.1min）？分析：如果水是靜止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行駛，就能使航程最短，此時(shí)所用時(shí)間也是最短的.考慮到水的流速，要使航程最短，船的速度與水流速度的合速度必須垂直于河岸.解：設(shè)點(diǎn)B是河對(duì)岸一點(diǎn)，與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實(shí)際沿著方向行駛時(shí)，船的航程最短.如圖6.4-7，設(shè)，則.此時(shí)，船的航行時(shí)間.所以，當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行