2013年第18“華杯”總決賽北京賽區(qū)七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（第二試）

2013年第18屆“華杯”總決賽北京賽區(qū)七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（第二試）一、填空題（每題10分，共30分）1．（10分）如圖是矩形，滿足，，是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)滿足．則四邊形的面積為．2．（10分）、兩地相距300米，在、中間，距地100米．甲、乙、丙三人從地同時(shí)出發(fā)，甲、乙向地走，丙向地走．過了一段時(shí)間，三人相遇；又過了一段時(shí)間，三人再次相遇．如果在整個(gè)過程中，三人兩兩之間從未相遇過，甲沒到過地，乙、丙到達(dá)、兩地后立即返回，那么，當(dāng)甲第一次到地時(shí)，乙共行了米．3．（10分）已知：，則的最大值是．二、解答題（每題10分，共30分）4．（10分）10個(gè)正整數(shù)圍成一圈，每個(gè)數(shù)都等于它相鄰兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)加1．這10個(gè)數(shù)的和是多少？5．（10分）已知：，，求的值．6．（10分）有40個(gè)自然數(shù)：1、2、3、、39、40，至少?gòu)倪@40個(gè)數(shù)中取出多少個(gè)不同數(shù)，才能確保其中有四個(gè)不同數(shù)的和等于81？

2013年第18屆“華杯”總決賽北京賽區(qū)七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（第二試）參考答案與試題解析一、填空題（每題10分，共30分）1．（10分）如圖是矩形，滿足，，是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)滿足．則四邊形的面積為．【分析】過作于，根據(jù)勾股定理求出，證，得出比例式，代入求出、，根據(jù)勾股定理求出，求出，分別求出矩形、、的面積，即可求出答案．【解答】解：四邊形是矩形，，，為中點(diǎn)，，在中，由勾股定理得：，過作于，則，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，四邊形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，關(guān)鍵是求出和的面積．2．（10分）、兩地相距300米，在、中間，距地100米．甲、乙、丙三人從地同時(shí)出發(fā)，甲、乙向地走，丙向地走．過了一段時(shí)間，三人相遇；又過了一段時(shí)間，三人再次相遇．如果在整個(gè)過程中，三人兩兩之間從未相遇過，甲沒到過地，乙、丙到達(dá)、兩地后立即返回，那么，當(dāng)甲第一次到地時(shí)，乙共行了1400米．【分析】根據(jù)題意先畫出圖形，再設(shè)米，米，則第一次相遇他們走的路程分別為：甲米、乙米、丙米，第一次相遇到第二次相遇他們走的路程分別為：甲米、乙米、丙米，由于甲、乙、丙運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則速度比等于路程比，得①，②，依此可求，再代入計(jì)算即可求解．【解答】解：如圖：甲、乙、丙三人從地同時(shí)出發(fā)，如圖①所示，第一次在處相遇，此時(shí)甲、乙、丙運(yùn)動(dòng)方向如圖②所示，第二次在處相遇，此時(shí)甲、乙、丙運(yùn)動(dòng)方向如圖③所示，設(shè)米，米，則第一次相遇他們走的路程分別為：甲米、乙米、丙米，第一次相遇到第二次相遇他們走的路程分別為：甲米、乙米、丙米，由于甲、乙、丙運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則速度比等于路程比，得，即①，，即②，①②得，，代入①得，則，則，則甲和乙的速度之比為，甲再走100米，則乙再走700米，，，則乙共行了米．故答案為：1400．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用類問題，正確理解甲、乙、丙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，路程與運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（10分）已知：，則的最大值是6．【分析】根據(jù)題目中的不等式，可以可以設(shè)，然后求出、的值，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可得到的最大值．【解答】解：，設(shè)，則，，解得，，，，，，，即的最大值是6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用不等式的性質(zhì)解答．二、解答題（每題10分，共30分）4．（10分）10個(gè)正整數(shù)圍成一圈，每個(gè)數(shù)都等于它相鄰兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)加1．這10個(gè)數(shù)的和是多少？【分析】設(shè)這10個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為，與其相鄰的兩個(gè)數(shù)為，．由條件可知，且．如果，那么圓圈上的數(shù)為3，2，2，3，2，2，在只有10個(gè)數(shù)時(shí)不能成立，所以．可得圓圈上的10個(gè)數(shù)只能是4，3，2，2，3，4，3，2，2，3（首尾相鄰），相加可求其和為28．【解答】解：設(shè)這10個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為，與其相鄰的兩個(gè)數(shù)為，．由條件可知，這10個(gè)數(shù)中每個(gè)數(shù)都，從十，出發(fā)，可知，或者，，前者導(dǎo)致，與矛盾；后者導(dǎo)致（注意，這里都用到，．現(xiàn)設(shè)與相鄰的另一個(gè)數(shù)為，則，故，即，于是，得．而．如果，那么圓圈上的數(shù)為3，2，2，3，2，2，在只有10個(gè)數(shù)時(shí)不能成立，所以．依托已知的5個(gè)數(shù)（注意，當(dāng)時(shí)，，與，相鄰的另一個(gè)數(shù)都為，與兩個(gè)2相鄰的數(shù)都必為2（不能為4，否則圓圈上數(shù)的個(gè)數(shù)要為3的倍數(shù)），故圓圈上的10個(gè)數(shù)只能是4，3，2，2，3，4，3，2，2，3（首尾相鄰），其和為28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了約數(shù)與倍數(shù)，關(guān)鍵是得到且，注意分類思想的應(yīng)用．5．（10分）已知：，，求的值．【分析】根據(jù)題意得到：，其中為正整數(shù)，再根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)代入求值即可．【解答】解：，，，即，，，，上式可整理為：，設(shè)，，上式轉(zhuǎn)化為：，，，，有，解得（不符合題意舍去）或，，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的條件求值，用字母表示代數(shù)式化簡(jiǎn)求值是解題的關(guān)鍵．6．（10分）有40個(gè)自然數(shù)：1、2、3、、39、40，至少?gòu)倪@40個(gè)數(shù)中取出多少個(gè)不同數(shù)，才能確保其中有四個(gè)不同數(shù)的和等于81？【分析】首先求得22個(gè)不同數(shù)不行，構(gòu)：19，20，21，，40；其中最小4個(gè)數(shù)和為82，進(jìn)一步考慮23個(gè)不同數(shù)，根據(jù)抽屜原理進(jìn)行討論即可求解．【解答】解：22個(gè)不同數(shù)不行，構(gòu)：19，20，21，，40；其中最小4個(gè)數(shù)和為82．23個(gè)不同數(shù)可以，證：將這40個(gè)數(shù)分為20組：，，，，23數(shù)中至少有3組完整的，設(shè)為，；，；，；則重新將這40個(gè)數(shù)分為21組：，，，，，，23數(shù)中至少有完整1組2個(gè)數(shù)；設(shè)為，．則，，；，；，中與，中有