7.7空間向量的概念及運(yùn)算答案

7.7空間向量的概念及運(yùn)算課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.了解空間向量的概念、空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直空間向量基本定理與坐標(biāo)表示及空間向量的線性運(yùn)算通過空間向量基本定理與坐標(biāo)表示及空間向量的線性運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)共線、共面向量定理及應(yīng)用通過共線、共面向量定理的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用通過空間數(shù)量積及其應(yīng)用,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列說法正確的有().A.若AB∥CD,則AB∥CDB.若AB與CD異面,則AB與CD異面C.若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn),則有AB+BC+CD+DA=0D.A,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若OP=34OA+18OB+18OC,則P,答案CD解析對(duì)于A,若AB,CD共線,則AB∥CD或A,B,C,D四點(diǎn)共線,所以A不正確;對(duì)于B,由空間任意兩個(gè)向量都共面,所以B不正確;對(duì)于C,向量加法法則可得,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,對(duì)空間任意一點(diǎn)O,OP=34OA+18OB+18OC,又34+18+18=1,所以P,A,2.(對(duì)接教材)如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M為棱CC1上任意一點(diǎn).(1)向量AM在平面ABC上的投影向量為,AM·BC=;

(2)向量AM在直線BC上的投影向量為,AM·BC=.

答案(1)AC1(2)BC1解析(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中,CC1⊥平面ABC,因此,向量AM在平面ABC上的投影向量為AC.AM·BC=AC·BC=2×1×cos45°=1.(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB⊥BC,CC1⊥BC,因此,向量AM在直線BC上的投影向量為BC.AM·BC=BC·BC=|BC|2=1.3.(對(duì)接教材)若{a,b,c}為空間向量的一個(gè)基底,則下列各項(xiàng)中,能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是().A.{a,a+b,ab} B.{b,a+b,ab}C.{c,a+b,ab} D.{a+b,ab,a+2b}答案C解析對(duì)于A,因?yàn)?a+b)+(ab)=2a,所以a,a+b,ab共面,不能構(gòu)成基底,排除A;對(duì)于B,因?yàn)?a+b)(ab)=2b,所以b,a+b,ab共面,不能構(gòu)成基底,排除B;對(duì)于D,a+2b=32(a+b)12(ab),所以a+b,ab,a+2b共面,不能構(gòu)成基底,排除D;對(duì)于C,若c,a+b,ab共面,則c=λ(a+b)+μ(ab)=(λ+μ)a+(λμ)b,則a,b,c共面,與{a,b,c}為空間向量的一個(gè)基底相矛盾,故c,a+b,ab4.(易錯(cuò)自糾)(多選)下列各組向量中,是平行向量的是().A.a=(1,2,2),b=(2,4,4)B.c=(1,0,0),d=(3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(2,3,5),h=(16,24,40)答案ABC解析對(duì)于A,因?yàn)閎=2a,所以a與b是平行向量;對(duì)于B,因?yàn)閐=3c,所以c與d是平行向量;對(duì)于C,f是零向量,與e是平行向量;對(duì)于D,因?yàn)椴淮嬖讦恕蔙,使得g=λh,所以g與h不是平行向量.5.(真題演練)(2023·新高考Ⅰ卷改編)已知向量a=(1,1,1),b=(1,1,2),若(a+λb)⊥(a+μb),則().A.λ+μ=1 B.λ+μ=1C.μλ=12 D.μλ=答案D解析因?yàn)閍=(1,1,1),b=(1,1,2),所以a+λb=(1λ,1λ,1+2λ),a+μb=(1μ,1μ,1+2μ),由(a+λb)⊥(a+μb)可得,(a+λb)·(a+μb)=0,即(1λ)(1μ)+(1λ)(1μ)+(1+2λ)(1+2μ)=0,則λμ=12空間向量的線性運(yùn)算典例1如圖所示,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c(1)AP;(2)A1N;(3)MP+解析(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn),所以AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn),所以A1N=A1A+AB+BN=a+b+12BC=a+b+12AD(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn),所以MP=MA+AP=12A1A+AP=12a+a+c+12b=12又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=1所以MP+NC1=12a+12b+c+a+12c=32a+1.線性運(yùn)算要熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律.2.用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合圖形找出已知向量和所求向量的聯(lián)系;(2)利用三角形法則、平行四邊形法則和多邊形法則;(3)先把所求向量用已知基向量表示出來,再用待定系數(shù)法求出線性表達(dá)式.訓(xùn)練1(多選)如圖所示,M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在線段OM上,點(diǎn)P在線段AN上,且AP=3PN,ON=23OM,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則下列等式成立的是(A.OM=12b12cB.AN=13b+13caC.AP=14b14c34aD.OP=1答案BD解析對(duì)于A,利用向量的平行四邊形法則,得OM=12OB+12OC=12b+1對(duì)于B,利用向量的平行四邊形法則和三角形法則,得AN=ONOA=23OMOA=2312OB+12OCOA=13OB+1對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AN上,且AP=3PN,所以AP=34AN=3413b+13c-a對(duì)于D,OP=OA+AP=a+14b+14c34a=14a+14b+1共線、共面向量定理的應(yīng)用典例2(1)若A(1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三點(diǎn)共線,則m+n=.

答案3解析AB=(3,1,1),AC=(m+1,n2,2).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使得AC=λAB,即(m+1,n2,2)=λ(3,1,1)=(3λ,λ,λ),所以m+1=3λ所以m+n=3.如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,D1E=kD1A,D1F=kD1B,(1)當(dāng)k=34時(shí),試用AB,AD,AA1(2)證明:E,F,G,H四點(diǎn)共面.解析(1)AF=AE+EF=14AD=14AD=14AD1+34AB=(2)設(shè)AC=λAB+μAD(λ,μ不為0),EG=D1GD1E=kD=k(λAB+μAD)=kλAB+kμAD=kλ(D1BD1A)+μk=λ(D1FD1E)+μ(D1HD則EF,EG,EH共面且有公共點(diǎn)E,則E,F,G,H四點(diǎn)共面.證明空間四點(diǎn)P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB(x,y∈R);(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)(x,y,z∈R);(3)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).訓(xùn)練2如圖所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1(1)向量MN是否與向量AB,AA1(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行?解析(1)因?yàn)锳M=kAC1,BN=k所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB=k(C1A+BC)=k(C1AC1=kB1A=ABkA=ABk(AA1+=(1k)ABkAA所以由共面向量定理知向量MN與向量AB,AA1(2)當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)M,A重合,點(diǎn)N,B重合,MN在平面ABB1A1內(nèi),當(dāng)0<k≤1時(shí),MN不在平面ABB1A1內(nèi),又由(1)知MN與AB,AA1共面,所以MN∥平面ABB1A綜上可知,當(dāng)k=0時(shí),MN?平面ABB1A1,即MN與平面ABB1A1不平行;當(dāng)0<k≤1時(shí),MN∥平面ABB1A1.空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用典例3如圖,正四面體ABCD的棱長等于1,E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn),計(jì)算:(1)EG·BD;(2)EG的長;(3)向量EG與AB的夾角.解析設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.(1)EG·BD=(EA+AG)·(ADAB)=-12AB+1=-12a+1=12×1×1×12+1×1×12+1+11×1×121×1=12(2)因?yàn)镋G=12a+12b+1所以|EG|2=14a2+14b2+14c212a·b+12b·c12c·a=12,則|EG|=(3)因?yàn)镋G=12(AC+ADAB)=12(b+ca),所以EG·AB=12(a·b+a·ca2)=12×所以向量EG與AB的夾角為90°.(1)空間向量數(shù)量積的計(jì)算方法①定義法:設(shè)向量a,b的夾角為θ,則a·b=|a||b|·cosθ.②坐標(biāo)法:設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2.③投影法:向量a,b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積,還等于向量a在向量b所在平面上的投影向量與向量b的數(shù)量積.(2)數(shù)量積的應(yīng)用①解決垂直問題:利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.②求兩向量的夾角:利用空間向量數(shù)量積求夾角.設(shè)向量a,b所成的角為θ,則cosθ=a·b|③求線段長度(距離):運(yùn)用公式|a|2=a·a,可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.訓(xùn)練3(1)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.①求AC1的長.②求證:AC1⊥BD.③求BD1與AC夾角的余弦值.解析①記AB=a,AD=b,AA1=則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=12因?yàn)閨AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×12所以|AC1|=6,即AC1的長為②因?yàn)锳C1=a+b+c,BD=b所以AC1·BD=(a+b+c)·(ba)=(b+a)·(ba)+c·(ba)=所以AC1⊥BD,所以AC1③因?yàn)锽D1=b+ca,AC=a+所以|BD1|=2,|AC|=BD1·AC=(b+ca)·(a+=b2a2+a·c+b·c=1.所以cos<BD1,AC>=BD所以BD1與AC夾角的余弦值為66(2)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).①求向量AB在向量AC上的投影向量的坐標(biāo);②求以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積.解析①由題意可得AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),設(shè)AB在AC上的投影向量為λAC=(λ,3λ,2λ),由投影向量的定義可知AB·AC=λAC·AC,所以λ=AB·AC|AC|2=所以λAC=12所以AB在AC上的投影向量為12②由①得AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC|=-2+3+614×14=714=所以以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=2×12|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=7建立空間坐標(biāo)系的原則在運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題時(shí),常常要建立空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)系建立的是否恰當(dāng),直接影響解題的繁簡(jiǎn)程度.典例如圖,在四棱錐VABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.請(qǐng)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).解析取AD的中點(diǎn)O,連接VO,因?yàn)椤鱒AD是正三角形,所以VO⊥AD,VO=22-1因?yàn)槠矫鎂AD⊥平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,VO?平面VAD,所以VO⊥平面ABCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OV的方向分別為x軸、z軸的正方向,過點(diǎn)O作y軸∥CD,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),V(0,0,3).建立空間直角坐標(biāo)系的原則(1)右手坐標(biāo)系:右手拇指指向x軸正方向,右手食指指向y軸正方向,右手中指指向z軸正方向.(2)“就地取材,簡(jiǎn)單原則”①注意利用圖形中的垂直關(guān)系和對(duì)稱性建立坐標(biāo)系;②讓問題中涉及的點(diǎn)盡量多的放在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).特別提醒(1)建系之前必須證明建系的垂直條件;(2)空間向量的坐標(biāo)與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān),坐標(biāo)位置不同,只會(huì)影響計(jì)算的繁簡(jiǎn),不會(huì)影響結(jié)果.訓(xùn)練如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=5.設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi),且MN⊥B1C,當(dāng)線段MN最短時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).解析連接A1B,AB1,因?yàn)镠是正方形AA1B1B的中心,所以A1B,AB1交于點(diǎn)H,且HA1⊥HB1.因?yàn)镃1H⊥平面AA1B1B,所以可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,0),B1(0,2,0),A(0,2,0),B(2,0,0),C1(0,0,5).設(shè)C(x,y,z),所以C1C=A1A=(2,所以x=?2,y=?2,z-5=0,所以C(2,2,5),所以B1因?yàn)镹為棱B1C1的中點(diǎn),所以N0,1,52,因?yàn)镸在底面AA1B1B上,所以設(shè)M(m,n,則NM=m,n-1,-52,因?yàn)镸N⊥B1C,所以2m4n+452=0,即4m+又|NM|=m=-2=5n所以當(dāng)n=12時(shí),線段MN最短,又4m+8n3=0,所以m=14,所以M一、單選題1.已知PA=(2,1,3),PB=(1,2,3),PC=(7,6,λ),若P,A,B,C四點(diǎn)共面,則實(shí)數(shù)λ=().A.9 B.9 C.3 D.3答案B解析由P,A,B,C四點(diǎn)共面,可得PA,PB,PC共面,所以PC=xPA+yPB=(2xy,x+2y,3x+3y)=(7,6,λ),所以2x-2.已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),則向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是().A.16,16,-13 B.答案D解析因?yàn)锳(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),所以AB=(1,2,0),AC=(1,1,2),所以|AB|=(-1)2+22+02=5,AB·AC=(1)×1+2×1+0×2=1,所以向量AB在AC上的投影向量是|AB|·AB·AC|AB|·|AC|·AC|AC所以向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是163.在四面體ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,AB·CD=2,則∠BAC=().A.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析因?yàn)锳B·CD=2,所以AB·(ADAC)=2,即AB·ADAB·AC=2,因?yàn)锳B=AC=AD=2,∠BAD=90°,所以4cos∠BAC=2,即cos∠BAC=12,所以∠BAC=60°4.如圖,在平行六面體ABCDA'B'C'D'中,AC與BD的交點(diǎn)為O,點(diǎn)M在BC'上,且BM=2MC',則下列向量中與OM相等的向量是().A.12AB+76AD+23AA'B.C.12AB+16AD+23AA'答案C解析因?yàn)锽M=2MC',所以BM=23BC'.在平行六面體ABCDA'B'C'D'中,OM=OB+BM=OB+23BC'=12DB+23(AD+AA')=12(ABAD)+23二、多選題5.若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,則下列向量組也可以作為空間一個(gè)基底的是().A.{a+c,b,ac} B.{a+b,b,ab}C.{ab,bc,c} D.{a+c,b,abc}答案ACD解析若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,則a,b,c不共面,A選項(xiàng),設(shè)a+c=mb+n(ac),即a+c=na+mbnc,則n=1,m=0,-n=1,此方程組無解,即不存在m,n使得等式成立,因此a+c,故可以作為一個(gè)基底,A正確;B選項(xiàng),設(shè)a+b=mb+n(ab),即a+b=na+(mn)b,則n=1,m-n=1,解得m=2,n=1,即當(dāng)m=2,n=1時(shí),等式成立,因此a+故不可以作為一個(gè)基底,B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),設(shè)ab=m(bc)+nc,即ab=mb+(nm)c,顯然不存在m,n使得等式成立,因此ab,bc,c不共面,故可以作為一個(gè)基底,C正確;D選項(xiàng),設(shè)a+c=mb+n(abc),即a+c=na+(mn)bnc,則n=1,m-n=0,-n=1,此方程組無解,即不存在m,n使得等式成立,因此a+c,b,ab如圖,一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCDA1B1C1D1,其中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60°,則下列說法正確的是().A.AC1=66B.AC1⊥DBC.向量B1C與AA1的夾角是60°D.BD1答案AB解析因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60°,所以AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=6×6×cos60所以(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD=36+36+36+3×2×18=216,則|AC1|=|AC1·DB=(AA1+AB+AD)·(ABAD)=AA1·ABAA1·AD+AB2AB·AD+AD·顯然△AA1D為等邊三角形,則∠AA1D=60°,因?yàn)锽1C=A1D,且向量A1D與AA1的夾角是120°,所以B1C因?yàn)锽D1=AD+AA1AB,AC=AB+AD,所以|BD1|=(AD+AA1-AB)2=62,|AC|=(AB+AD)2=63,BD1·AC=(AD+AA1AB)·(三、填空題7.若空間中三點(diǎn)A(1,5,2),B(2,4,1),C(p,3,q)共線,則p+q=.

答案7解析因?yàn)榭臻g中三點(diǎn)A(1,5,2),B(2,4,1),C(p,3,q)共線,所以AB∥AC,因?yàn)锳B=(1,1,3),AC=(p1,2,q+2),所以p-11=-2-1解得p=3,q=4,所以p+q=3+4=7.8.已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑,點(diǎn)P在正方體的表面運(yùn)動(dòng),正方體的棱長為2,則PM·PN的取值范圍為.

答案[0,2]解析設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為O,則OM=ON=1.因?yàn)镻M·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=PO2+PO·(OM+ON)+OM·ON,又MN為球O的直徑,所以O(shè)M+ON=0,OM·ON=1所以PM·PN=PO21又點(diǎn)P在正方體的表面運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)P為正方體的頂點(diǎn)時(shí),|PO|最大,最大值為3;當(dāng)P為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí),|PO|最小,最小值為1.所以PO21∈[0,2所以PM·PN的取值范圍為[0,2].四、解答題9.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c.(1)求向量a,b,c的坐標(biāo);(2)求a+c與b+c所成角的余弦值.解析(1)因?yàn)橄蛄縜=(x,1,2),b=(1,y,2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c,易知y≠0,否則a∥b不成立,所以x1=1y=2-2,3+y所以向量a=(1,1,2),b=(1,1,2),c=(3,1,1).(2)因?yàn)閍+c=(2,2,3),b+c=(4,0,1),所以(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(1)=5,|a+c|=22+22+32=17,|所以向量a+c與b+c所成角的余弦值為(a+c)·(b10.如圖,四邊形ABCD和ADPQ均是邊長為2的正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,當(dāng)cosθ最大