河南省魯山縣第一某中學2022屆高三開學考試數(shù)學（理）試卷

河南省魯山縣第一高級中學2022屆高三開學考試

數(shù)學（理）試卷

一、選擇題

1.若復數(shù)Z滿足（z-l）i=l+i,則復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A={x|-2<l-x<3},B={xeN|x2<6X），則（為4）八8=（）

A.（3,6]B.（2,6]C.{3,4,5,6}D.{4,5,6}

3.正項等比數(shù)列{6}中，/=2，%?％=64,則的值是（）

A.256B.128C.64D.32

4.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除

問題：將1到2020這2020個數(shù)中，能被3除余1且被4除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成數(shù)列{a,,},則此數(shù)列的項數(shù)為（）

A.167B.168C.169D.170

5.“cosA=0''是"sinA=l”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.正三棱柱ABC-ABC中，鉆=2，⑨=2,該三棱柱的外接球的體積為（）

V3

A.——兀267tD

2…誓

7.函數(shù)/（力=三臂的大致圖象為（）

-4-3-2-

8.已知△A3C的外接圓半徑為1，圓心為O，OA+yf3OB+2OC=0,則月的值為（）

A1一百B6QG+lD6+1

2?2?--T~?2

9.若直線o￥+by-2=0(a/>0)始終平分圓12+,2一2工_4〉-16=0的周長，則，+2的最小值為

ab

()

A.1B.4C.2D.《萬

22”

10.已知函數(shù)/,(x)=|l—4sinxcosx|,下列結(jié)論錯誤的是()

A./(x)的最小正周期為兀

B.曲線y=〃x)關于直線工=-弓對稱

c./(X)在修!|)上單調(diào)遞增

D.方程〃x)=0在［-兀,可上有4個不同的實根

11.設。力為兩條不同的直線，。，)為兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若a//a,b//a,則a//bB.若a//a,hLa,則aJ_Z?

C.若a〃a,a///3;則a〃/?D.若a_Lc,bl。,aA-b<則a〃尸

12.已知△ABC三內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,b,c，且WccosA+asinC=0,若角A平分線段BC

于。點，且AO=I，則b+c的最小值為()

A.2B.26C.3忘4D.4

二、填空題

13.若咚_1)6的展開式中的常數(shù)項是.

rx>o

.設滿足約束條件（，

14x,yx+y<3則目標函數(shù)z=上的最大值是

[x+2y>4X+1

三、解答題

一個書架的其中一層擺放了7本書，現(xiàn)要把新拿來的2本不同的數(shù)學書和1本化學書放入該

層，要求2本數(shù)學書要放在一起，則不同的擺放方法有種.(用數(shù)字作答)

16.己知橢圓c：蘭+$

=l(a>b>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)，P為第二象限內(nèi)橢圓上的一

a2b22

點，連接Pg交y軸于點N，若兩'.兩'=()，忻名|=4|ON|，其中O為坐標原點，則該橢圓的

離心率為.

17.已知等差數(shù)列｛4｝的公差d#0,且q+生+弓=6,%,%,4成等比數(shù)列，若數(shù)列色｝滿

足：旦+%+…+2=lx3"M_3,〃eN*.

aaa

23n+l22

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)求數(shù)列抄〃｝的前〃項和S"

18.為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門經(jīng)常不定期地對產(chǎn)品進行抽查檢測，現(xiàn)對某條生產(chǎn)線上

隨機抽取的100個產(chǎn)品進行相關數(shù)據(jù)的對比，并對每個產(chǎn)品進行綜合評分(滿分100分)，將每個

產(chǎn)品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等

品.

(1)求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù);

(2)用樣本估計總體，視頻率作為概率，在該條生產(chǎn)線中隨機抽取3個產(chǎn)品，求所抽取的產(chǎn)品中

一等品數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

19.已知在六面體中，Q4_L平面ABCD，E￡>_L平面ABCD，且Q4=2￡?，底面ABC。

為菱形，且ZA8C=6O。-

(1)求證：平面A4CJ_平面PRD；

(2)若直線PC與平面A38所成角為45。，試問：在線段PE上是否存在點M，使二面角

P—AC-M為60。？若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由.

20.已知拋物線C:y?=2px(">0)的焦點為尸，過點尸且垂直于x軸的直線與C交于A,8兩點，

△AO3(點O為坐標原點)的面積為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若過點E(0,a)(a>0)的兩直線(，《的傾斜角互補，直線(與拋物線C交于M,N兩點，直

線4與拋物線C交于P,。兩點，△EWN與△FP。的面積相等，求實數(shù)a的取值范圍.

21.已知函數(shù)f(x)=21nx+4ar-x2—l(aeR).

（1）當a=0時.，試判斷函數(shù)/（尤）的單調(diào)性；

（2）若々>0,且當x￡（l,y）時，f（x）,,0恒成立，/@）=0有且只有一個實數(shù)解，證明：

3

0<a<—.

4

22.【選修4?4：坐標系與參數(shù)方程】

x=2+2cosa

在平面直角坐標系中，尸為曲線G：1.（。為參數(shù)）上的動點，將尸點縱坐標變?yōu)樵瓉?/p>

y=—sina

2

的2倍，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫近cQ,記點。的軌跡為a，以坐標原點。為極點，X軸非負

半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線G的極坐標方程；

（2）A8是曲線G上不同于。的兩點，且A（01,e）,求|OA|-石|O8|的取值范

圍.

參考答案

1.答案：D

解析：:（z-l）i=l+i,,2=為+1="上+1=2-，，，復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點（2,-1）在第四

ii2

象限，故選D

2.答案：C

解析：A={x|-2<l-x<3}={x|-2<x<3},B={XGN|X246X}={0,1,2,3,4,5,6},

二5A={x|x<-2或x23}，；?（6"）cB={3,4,5,6}.故選C.

3.答案：A

解析：設正項等比數(shù)列{%}的公比為g,%=2，/?4=64，

222

?**axq=2,qq*=64,解得q=4>

則色M=q8=256.

4+a2

4.答案：C

解析：由題意得，能被3除余1且被4除余1的數(shù)就是能被12除余1的數(shù)，所以q=12〃-11，

neN*，由a”K2020,即12九—11<2020，所以〃4?^^?=169+,，由〃wN*，所以此數(shù)列的項

-124

數(shù)為169.

故選c

5.答案：B

解析：cosA=0,sinA=±l,若sinA=l,貝！lcosA=0,所以“cosA=0"是“sinA=l”的必要

不充分條件.

6.答案：D

解析：外接球的球心在上下底面重心的連接線段的中點上，底面重心到棱柱頂點的距離為

3

球心距底面的重心的距離為1,外接球的半徑R=J("了+F=g,

所以該三棱柱的體積v=3兀店，28式Lr

327

7.答案：A

解析：函數(shù)〃刈=竽￥?的定義域為(y,o)5o,+8),且〃力=養(yǎng)巳，

El=〃x),所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除BC選項；

I)2-*+2X2X+2~xv7

當0vx<1時，InxcO，則/'(x)='~—.=.2Ina<0,排除D選項.故選A。

八,2,+2-*2X+2~X

8.答案：A

解析：由題設04+604=-20。，兩邊平方可得。4.0#=OnO/_LOg，所以詼，6。豆，

20C構(gòu)成直角三角形?04>OC夾角稱，OB'OC夾角.,

配與=0乙O豆一03。4=852-0?如=匕巨故選人

632

9.答案:C

解析：???直線依+力—2=0(〃]>0)始終平分圓》2+),2一2犬_”_16=0的周長，

，直線◎+勿，一2=0過圓心(1,2)，

；?”+2/?-2=0，即a+2b=2,

**tz>0,Z?>0，

.?/+2=軍+2）（1+絲+即+4）=宰+莊+2、窄「

ah2ah2ab2ah2Vah2

10.答案:C

解析：:直線ar+by—2=0(a3>0)始終平分圓f一？％-”_]6=0的周長，

???直線辦+勿一2=0過圓心(1,2),

??a+2Z?—2=0，即。+2Z?=2，

***a>Q,/?>0?

??」+2=_L(_L+2)m+2〃)=_L(i+絲+即+4)=2+2+3*9+2、窄=2

ab2ah2ab2ah2\ah2

11.答案：B

解析：

12.答案：D

解析：由及正弦定理，得^/3sinCeosA+sinAsinC=()，

因Cw(0,兀)，sinCwO,所以GcosA+sinA=0,BPtanA=-73,

又AW（0,7C）,所以人=空.如圖,

3

S/MBC=SfsBD+S“CD，

所以4c?sin120。=

-cl-sin60°+—/?-1-sin60°>

222

所以bc=b+c,HP—+—=1>

bc

]h

(/?+(?)?24----1—>2+2./—x—=4，

cbcb

當且僅當c=b，be=b+c9即c=6=2時，等號成乂,

所以人+c的最小值為4.故選D.

13.答案：—

16

解析：（半__L）6的展開式中的常數(shù)項是C：（￡j4（_l）2=’

14.答案：3

yy—0

解析：畫出可行域如下圖陰影部分所示，目標函數(shù)2=表示可行域內(nèi)的點和點

x+1X-（T）'

A（-l,0）連線的斜率，由圖可知，其最大值為陽c=3?

15.答案：144

解析：先把兩本數(shù)學書不分開插入到7本書中有c；方法,

兩本數(shù)學書有A；種擺放方法，

最后把1本化學書插入9個位置有C；種擺放方法，

故共有C；A；C；=144種擺放方法，故答案為144.

16.答案：

3

解析：因為而I.比'=0，所以N耳尸乙=90。，由題意可得△心ONs△死2月，則監(jiān)!=

甲瑪II?，擨

因為|耳周=4］。叫，所以儒=；，所以耨=歌《.因為歸耳|+|「周=2〃，所以

\PFt\=—,\PF^—,所以|尸耳『+歸用2=4,2,可得牝+⑼1=4C2，解得e=￡=@.

17.答案：⑴因為4+出+%=6,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得3%=6,即生=2，

因為成等比數(shù)列，所以44=。1

即a2(a2+6d)=(4+2d)~,

又d工0,4=2，所以d=l,4=1,

所以?！?〃.

(2)因為冬+%+…+-^-=r3，1+1-l

A93

所以當〃=1時，—=----=3,所以4=6

a222

%%+…+-3

。2。3%+122

當〃22時，由,

仄J+勿-1_1、3〃3

a2%an22

所以"=(〃+1)3"，所以S,=伉+仇+…+4=2x3+3x32+.?.+(〃+1)3"，

3S,,=2x3?+3x3?+…+(〃+1)3向，

所以

9(1-3"1,32n+la+i

23nn+,v7n+lx3

-25?=2x3+3+3+---+3-(n+l)3=6+?-(?+l)3=--------，

所以S=&±1X3""-3.

"44

解析：

18.答案：(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.005+0.010+0025+4+0.020)x10=1,

解得a=0.040.

令中位數(shù)為x,貝iJ(0.005+0.010+0.025)xl0+0.040x(x-80)=0.5,

解得x=82.5，

所以綜合評分的中位數(shù)為82.5.

(2)由(1)與頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為(0.040+0.020)x10=0.6,

即概率為Q6，

設所抽取的產(chǎn)品為一等品的個數(shù)為X，則*~2田，

所以P（x=o）=c；（|J哈，P（x=i）=c；3/2丫36

乂代二)=125

尸（X=2）=c；x（|）x|喂，P（X=3）=C；

\5)125

所以X的分布列為

39

所抽取的產(chǎn)品為一等品的數(shù)學期望E（X）=3x：

5"5,

解析：

19.答案：（1）連接班），

???四邊形為菱形，

.-.BDA.AC'又出，平面ABCD，

；.BDVPA

又融AAC=A，.??_L平面9C，

又BDu平面PBD，

平面尸3￡>_L平面PAC-

（2）平面AfiC。，

.?.AC為PC在平面ABCD上的射影.

ZPC4為直線PC與平面ABCD所成角，

.?.ZPC4=45°?:.PA=AC^

令DE=1，則R1=AC=2

又四邊形為菱形，ZAfiC=60°?

.[△ABC為等邊三角形，AB=2

取3c的中點”，連接AH，AH=6

則.-.AH^AD^

以A為原點，分別以Aa，AD>AP所在直線為x，Xz,建立空間直角坐標系,

如圖所示，

則E(0,2,l),P(0,0,2),C(百,1,0)，8(6,-1,0)，以0,2,0),

.-.￡P=(0,-2,l)

設M(x,y,z),三點共線，:.EM=A,EP(O<A.<])>

(x,y—2,z—1)=A(0,—2,1),

x=0，y=2—2A,z=l+%，/.A/(0,2—241+4)，

.?.前=(G,l,0)，AM=(0,2-22,1+A)>85=(一百,3,0)，

由(1)知比>_L平面以C，

平面PAC的法向量4//而，

%=(-1,73,0)>

令平面ACM的法向量為ri2=(%,y,z)>

則,而=0,

n2-AM—0

出x+y=0

2(l-2)y+(l+2)z=0

令尸石，則4=。,每學審'

I4+1」

?.?二面角P—AC-M為60。，

?4二1

=

-2ri2a-iyi

Vu+i)2

解得2=0，

1/0<九41,，當2=0時,點M與點E重合,

存在點M即為點E時，二面角P-AC-M為60。.

解析：

20.答案：⑴因為焦點尸已。｝所以點A,B的坐標分別為6,。］，(g-p

所以口。產(chǎn);-2p￡=2，故p=2.

故拋物線C的方程為V=4x.

(2)由題意可知直線44的斜率存在，且不為0，設直線4：x=f(y-a).

點〃(%,兇)，N(x2,y2\

匚二)‘消去'可得

聯(lián)立方程可得Xyi+40"

則4=16r-16必＞0?

因為X+%=*,xy2=4at?

所以-y2\=J1+*J16(.=4\/1+*〃一山,

焦點F到直線/,的距離d=叱旦

所以S^FMN=1x44+*J*-w*=2-Jr-at11+SI.

2Vl+r2

設直線/2:x=-t(y-a)，與拋物線方程聯(lián)立可得A2=16r+\6at>0，

將，用T替換，可得“照=2"7^儂-1]

由S^FMN=S△尸P0可得2帝_聞1+ta\=2\jt2+at\ta-1|?

即叵」絲11,兩邊平方并化簡可得*=L^,

-a\ta-\2-a~

所以2-片>0，解得0<°<五?

又由4>o且4>o得，<一〃或/>。，可知/>片,

所以」不>〃，即廣|廠0,所以〃工1,

所以實數(shù)a的取值范圍是(O,1)U(1,垃).

解析：

21.答案：(1)【解】當a=0時，/(x)=21nx-x2-l,

milX2c2(x+l)(x-l)、八

貝f(X)=——2x=---------------------yx>0,

XX

所以當Ovxvl時，y*(x)>0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當人>1時，f\