2021屆高三高考文科數(shù)學(xué)必刷題考點(diǎn)37 直接證明與間接證明【含答案】

2021屆高三高考文科數(shù)學(xué)必刷題

考點(diǎn)37直接證明與間接證明

1.已知直線］和平面生若〃//P6%則過點(diǎn)P且平行于I的直線（）

A.只有一條，不在平面。內(nèi)B.只有一條，且在平面a內(nèi)

C.有無數(shù)條，一定在平面。內(nèi)D.有無數(shù)條，不一定在平面。內(nèi)

【答案】B

【解析】

假設(shè)過點(diǎn)P且平行于1的直線有兩條m與n,則m/"且n//l

由平行公理得miln,這與兩條直線m與n相交與點(diǎn)P相矛盾，

故過點(diǎn)P且平行于I的直線只有一條，

又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)，所以過點(diǎn)P且平行于1的直線只有一條且在平面內(nèi).

故選：B

2.利用反證法證明：“若，+y2=o,則x=y=o”時(shí)，假設(shè)為（）

A.%y都不為oB.x彳丫且匕y都不為o

c.刀片丁且彳，y不都為oD.%）不都為o

【答案】D

【解析】

原命題的結(jié)論是x，y都為零，反證時(shí)，假設(shè)為不都為零.

a+b1la2+b2

r=f

3.設(shè)函數(shù)f（x）=）4，若a力是兩個(gè)不相等的正數(shù)且2[—

2,則下列關(guān)，系式中正確的是（

A.p=q<v<rB.p=v<q<rc.p=v<r<qD.p<v<Q<r

【答案】B

11

【解析】由題意可得若p=f（*6）=ln（7岫）=2|nab=2（Ina+lnb）,

q=f(^7^)=ln(^7^)>ln(,Vab)=p,

uW(f(a)+f(b))=7(Ina+lnb),

：.p=r<q,r=7/==hi：芋>lnv'a6>q.

故p=v<q<r.

故答案為：B.

4.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角至少有一個(gè)銳角“，正確的假設(shè)是（）

A.三角形的內(nèi)角至.多有兩個(gè)銳角

B.三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)銳角

C.三角形的內(nèi)角沒有一個(gè)銳角

D.三角形的內(nèi)角沒有一個(gè)銳角或至少有兩個(gè)銳角

【答案】C

【解析】

根據(jù)反證法第一步反設(shè)，即假設(shè)結(jié)論不成立或否定結(jié)論.

所以，正確的假設(shè)是“三角形的內(nèi)角沒有一個(gè)銳角

故選C.

1+X1+y八

----<2——-<2

5.“若x>0,、>0且尤+、>2,求證yx中至少有一個(gè)成立用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，下

列假設(shè)正確的是（）

A.假設(shè)y,x

1+xci+yc

---->2-->2

B.假設(shè)y,x

l+x1+y

C.假設(shè)口廠和丁中至多有一個(gè)不小于2

l+x1+y

D.假設(shè)口廠和丁中至少有一個(gè)不小于2

【答案】B

【解析】

1+xci+y.i+xj+y-

----<2,--<2---->2,-->2

由于yx中至少有一個(gè)成立的否定是y*,所以利用反證法證明是應(yīng)該假設(shè)

---->2,----->2

yX---.故答案為：B

6.用反證法證明命題“已知函數(shù)/(*)在口用上單調(diào)，則f(x)在口用上至多有一個(gè)零點(diǎn)，，時(shí)，要做的假設(shè)是()

A.f(x)在口用上沒有零點(diǎn)B.f(x)在口用上至少有一個(gè)零點(diǎn)

C./(%)在口句上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)D.f(x)在［。,句上至,少有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】D

【解析】

因?yàn)椤爸炼嘤幸粋€(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，

所以用反證法證明命題“已知函數(shù)f(x)在口句上單調(diào)，則f(X)在口句上至多有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是

人尤)在口句上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故選D.

7.用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)其結(jié)論“a,6都是正實(shí)數(shù)”的假設(shè)應(yīng)為()

A.。，°都是負(fù)實(shí)數(shù)B.a,6都不是正實(shí)數(shù)

C.06中至少有一個(gè)不是正實(shí)數(shù)D.牝b中至多有一個(gè)不是正實(shí)數(shù)

【答案】C

【解析】

"都是''的否定為"不都是”，故"見》都是正實(shí)數(shù)”否定為"4b中至少有一個(gè)不是正實(shí)數(shù)”.

故選C.

8.用反證法證明“若x<>,則/</，時(shí)，假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是()

A丫3_”3_丫3、--3廠丫3_..31^丫3、-.3-丫x3_,.3_p.丫3/..3

A.x-yB.x>yc.x-y或%>yD.-y或％<y

【答案】c

【解析】?.?用反證法證明命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

而“3<y3,,的否定為：“丫32丫3,,,故選：c

9.用反證法證明命題①：“己知p3+q3=2,求證：p+qW2”時(shí)，可假設(shè)“P+q>2”；命題②：“若一=4,

則x=-2或尤=2”時(shí)，可假設(shè)“XK-2或XH2”.以下結(jié)論正確的是()

A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B.①與②的假設(shè)都正確

C.①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤D.①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確

【答案】C

【解析】

G)p+q<2的命題否定為p+q>2,故①的假設(shè)正確.

x=—2或x=2”的否定應(yīng)是“xH-2且工士2”②的假設(shè)錯(cuò)誤,

所以①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤，故選C.

1

10.“已知函數(shù)/(x)=x2+ox+a(aeR),求證：與|f(2)|中至少有一個(gè)不少于2.”用反證法證明這個(gè),命

題時(shí)，下列假設(shè)正確的是()

11

A.假出/且/

lf(l)T|/(2)|<-

B.假設(shè)2且八2

1

C.假設(shè)〃(1)1與1/(2)|中至多有一個(gè)不小于2

1

D.假設(shè)與lf(2)|中至少有一個(gè)不大于2

【答案】B

【解析】

111

,“-|<(1)<-|/(2)<-

因?yàn)榕c1/(2)|中至少有一個(gè)不少于2的否定是2且2,

故答案為：B.

11.用反證法證明命題："三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)大于或等于60?！?時(shí)，應(yīng)假設(shè)()

A.三個(gè)內(nèi)角都小于60。，B.三個(gè)內(nèi)角都大于或等于60。

C.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)小于60°D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于或等于60°

【答案】A

【解析】.

原命題的否定為：三角形三個(gè)內(nèi)角都小于60。，故選A.

b+1Q+2

12.在用反證法證明命題“已知。>0/>0,且a+b>l,求證：a+1'b中至少有一個(gè)小于2"時(shí)“假設(shè)正

確的是()

b+la+2

A.假設(shè)a+1'b都不大于2

b+1a+2

B.假設(shè)a+1'b都小于2

b+1a+2

C.假設(shè)a+1'b都不小于2

b+1Q.+2

D.假設(shè)a+1'b都大于2

【答案】C

【解析】

因?yàn)橐C“青,管中至少有一個(gè)小于2”，所以假設(shè)原命題結(jié)論不成立，即原命題的反面成立，所以“青.華

都大于或等于2”與選項(xiàng)C相同，所以選C.

13.用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B.三個(gè)內(nèi)角都大于60°

C.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°

【答案】B

【解析】

???用反證法證明在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不大于60°,

二第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，

即假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60。.

故選：B.

n

2（匕-%）2

7?2=1--...............

n

￡（y「％）2

14.給出下列說法：①用餐刻畫回歸效果，當(dāng)R?越大時(shí)，模型的擬合效果越差，反之則越

好;.②歸納推理是由特殊到一般的推理，而演繹推移則是由一般到特殊的推理；③綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由

因索果“，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”；④設(shè)有一個(gè)回歸方程》=3+5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，，平

均增加5個(gè)單位；⑤線性回歸方程1=次+%必過點(diǎn)其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】

①相關(guān)指數(shù)長越大，則相關(guān)性越強(qiáng),模型的擬合效果越好.錯(cuò)誤；

②歸納推理是由特殊到一般的推理,而演繹推理是由一般到特殊的推理廟歸納推理與演繹推理的概念可知

正確.

③綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因素果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”，由概念可知正確.

④由回歸方程的系數(shù)意義知，當(dāng)變蚩增加1個(gè)單位時(shí)，1平均增加5個(gè)單位，正確；

⑤線性回歸方程『=bx+a必過樣本中心點(diǎn)（￡刃，正確.

故選B.

15.用反證法證明命題：“若。則函數(shù)y=/+狽+b至少有一個(gè)零點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是（）

A.函數(shù)丁=/+0%+6沒有零點(diǎn)

B.函數(shù)，=/+以+/＞至多有一個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)丫=4+*+6至多有兩個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)丁=7+球+6恰好有一個(gè)零點(diǎn)

【答案】A

【解析】

根據(jù)反證法的定義，可知“若則函數(shù)丁=爐+5+6至少有一個(gè)零點(diǎn)”的反設(shè)應(yīng)為“若a6R,則函數(shù)

丫=爐+仃+6沒有零點(diǎn)”，故選A.

16.用反證法證明“a,b,c中至少有一個(gè)大于0”，下列假設(shè)正確的是

A..假設(shè)a,b,c都小于0

B.假設(shè)a,b,c都大于0

C.假設(shè)a,b,c中至多有一個(gè)大于0

D.假設(shè)a,b,c中都不大于0

【答案】D

【解析】

用反證法證明“a,b,c中至少有一個(gè)大于0”，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立，而要證命題的否定為：3員設(shè)

a,b,c中都不大于0".

故選：D.

17.用分析法證明：欲使①A>B,只需②CVD,這里②是①的

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立，

二②是①的充分條件.

故選：A.

18.用反證法證明命題：“若a/eH,則函數(shù)八幻=/+仃-6至少有一個(gè)零點(diǎn)，，時(shí)，假設(shè)應(yīng)為()

A.函數(shù)沒有零點(diǎn)B.函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)

【答案】A

【解析】原命題的否定為:若a，b￡R,則函數(shù)/(#)=/+ax-b沒有零點(diǎn)，，.

故選：A.

1,11

.a+—,b+—,c+—

19.用反證法證明“已知。，瓦c6R+,求證：bca這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，，時(shí)，所做出的假設(shè)

為.

1,11

a+丁/+-c+-

【答案】假設(shè)bca這三個(gè)數(shù)都小于2

【解析】

lll

題中原命題的結(jié)論為“a+*b+廣c+￡這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2,

否定結(jié)論可知其做出的假設(shè)為：假設(shè)“+彳：這三個(gè)數(shù).都小于2.

20.某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.

甲說：我在1日和3日都有值班；

乙說：我在8日和9日都有值班；

丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟?據(jù)此可判斷丙必,定值班的日期是.

【答案】6日和11日

【解析】分析：確定三人各自值班的日期之和為26,根據(jù)甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8

日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5,即可確定丙必定值

班的日期.

詳解:由題意，1至12的和為78,

因?yàn)槿烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋?/p>

所以三人各自值班的日期之和為26,

根據(jù)甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5,

據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是6日和11日.

故答案為：6日和11日.

21.已知a,b,c€(0,+8).

4,916

Q+:bH—c+—

求證：b,c,Q中至少有一個(gè)不小于6.

【答案】見解析

【解析】

假設(shè)o&+c>ac+?都小于6,

即obc+-<6a,c+-<6

；?a+：+b+2+c+心v18.

bca

va.b.ce(O.+oo).

49161649

/.a+-+&+-+cd---=aH----F+c+-

bcaabc

I~16[~4l~9

>2|a----2也丁+2c--=18

qa<》qc

[當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2,c=3時(shí)取等）

這與假設(shè)a+；+b+；+c+?<1濟(jì)目矛盾,故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立.

oca

22.（1）證明：1,邪,就不可能成等差數(shù)列；

（2）證明：1,乖,價(jià)不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng).

【答案】（D見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）假設(shè)1,小，也成等差數(shù)列，

則2v5=1+&，兩邊平方得

12=6+2再即6=2強(qiáng)

因?yàn)?=2&,矛盾，

所以1,小，也不可能成等差數(shù)列.

（2）假設(shè)1,國鳴為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，

x/3=l+md?

則存在正整數(shù)m,“（小豐n）滿足'=1+nd?,

①xn-②xm得JSn-依m(xù)=n-mt

2

兩邊平方得3M+5m2-2v15mn=(n-m)@,

由于③式左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)H無理數(shù)，故假設(shè)不正確,

即1,小，代不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng).

23.（1）已知a,b,c,dwR,求證：7?2+b2^2+^ac+bd；

（2）求證：1，2環(huán)不可能是一個(gè)等差數(shù)列的中的.三項(xiàng).

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)(a2+&2)(c2+d2)=a2c2+b2d24-(a2d2+62c2)>a2c2+b2d2+2abcd

=(ac+bd)"

/.yja2+&2Vc2+d2>|ac+bd\>nc+bdy

(2)假設(shè)L2,、行是公差為d的等差數(shù)列｛aj中的三項(xiàng),

a?-_￡iqa“

設(shè)am=Lap=2.(1,=v'5,則4=p-mq-p

=z

■p-tn-=q-p=>故p-m=v'5—2.

'/m.p,qeN*,

腎是有理數(shù).而、寫-2是無理數(shù)，故產(chǎn)生矛盾.

假設(shè)不成立，即L2,、寫不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng).

24.已知a>0,b>0.

（1）設(shè)a,6,c為實(shí)數(shù)，求證：02+b2+c2>ab+be+ca

（2）求證：斤兆（其中介3）

【答案】（1）證明見解析.

（2）證明見解析