工程流體力學(xué)的-習(xí)題與答案及解析

...wd......wd......wd...第1章緒論選擇題【1.1】 按連續(xù)介質(zhì)的概念，流體質(zhì)點(diǎn)是指：〔〕流體的分子；〔b〕流體內(nèi)的固體顆粒；〔c〕幾何的點(diǎn)；〔d〕幾何尺寸同流動(dòng)空間相比是極小量，又含有大量分子的微元體。解：流體質(zhì)點(diǎn)是指體積小到可以看作一個(gè)幾何點(diǎn)，但它又含有大量的分子，且具有諸如速度、密度及壓強(qiáng)等物理量的流體微團(tuán)?！病场?.2】 與牛頓內(nèi)摩擦定律直接相關(guān)的因素是：〔〕切應(yīng)力和壓強(qiáng)；〔b〕切應(yīng)力和剪切變形速度；〔c〕切應(yīng)力和剪切變形；〔d〕切應(yīng)力和流速。解：牛頓內(nèi)摩擦定律是，而且速度梯度是流體微團(tuán)的剪切變形速度，故?！病场?.3】 流體運(yùn)動(dòng)黏度υ的國(guó)際單位是：〔〕m2/s；〔b〕N/m2；〔c〕kg/m；〔d〕N·s/m2。解：流體的運(yùn)動(dòng)黏度υ的國(guó)際單位是。〔〕【1.4】 理想流體的特征是：〔〕黏度是常數(shù)；〔b〕不可壓縮；〔c〕無(wú)黏性；〔d〕符合。解：不考慮黏性的流體稱(chēng)為理想流體。 〔〕【1.5】當(dāng)水的壓強(qiáng)增加一個(gè)大氣壓時(shí)，水的密度增大約為：〔〕1/20000；〔b〕1/1000；〔c〕1/4000；〔d〕1/2000。解：當(dāng)水的壓強(qiáng)增加一個(gè)大氣壓時(shí)，其密度增大約。 〔〕【1.6】 從力學(xué)的角度分析，一般流體和固體的區(qū)別在于流體：〔〕能承受拉力，平衡時(shí)不能承受切應(yīng)力；〔b〕不能承受拉力，平衡時(shí)能承受切應(yīng)力；〔c〕不能承受拉力，平衡時(shí)不能承受切應(yīng)力；〔d〕能承受拉力，平衡時(shí)也能承受切應(yīng)力。解：流體的特性是既不能承受拉力，同時(shí)具有很大的流動(dòng)性，即平衡時(shí)不能承受切應(yīng)力。 〔〕【1.7】以下流體哪個(gè)屬牛頓流體：〔〕汽油；〔b〕紙漿；〔c〕血液；〔d〕瀝青。解：滿足牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱(chēng)為牛頓流體。 〔〕【1.8】時(shí)空氣和水的運(yùn)動(dòng)黏度，，這說(shuō)明：在運(yùn)動(dòng)中〔〕空氣比水的黏性力大；〔b〕空氣比水的黏性力??；〔c〕空氣與水的黏性力接近；〔d〕不能直接對(duì)比。解：空氣的運(yùn)動(dòng)黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空氣的近800倍，因此水的黏度反而比空氣大近50倍，而黏性力除了同流體的黏度有關(guān)，還和速度梯度有關(guān)，因此它們不能直接對(duì)比?！病场?.9】 液體的黏性主要來(lái)自于液體：〔〕分子熱運(yùn)動(dòng)；〔b〕分子間內(nèi)聚力；〔c〕易變形性；〔d〕抗拒變形的能力。解：液體的黏性主要由分子內(nèi)聚力決定。 〔〕計(jì)算題【1.10】 黏度μ=3.92×10﹣2Pa·s的黏性流體沿壁面流動(dòng)，距壁面y處的流速為v=3y+y2〔m/s〕，試求壁面的切應(yīng)力。解：由牛頓內(nèi)摩擦定律，壁面的切應(yīng)力為【1.11】在相距1mm的兩平行平板之間充有某種黏性液體，當(dāng)其中一板以1.2m/s的速度相對(duì)于另一板作等速移動(dòng)時(shí)，作用于板上的切應(yīng)力為3500Pa。試求該液體的黏度。解：由，【1.12】一圓錐體繞豎直中心軸作等速轉(zhuǎn)動(dòng)，錐體與固體的外錐體之間的縫隙δ=1mm，其間充滿μ=0.1Pa·s的潤(rùn)滑油。錐體頂面半徑R=0.3m,錐體高度H=0.5m,當(dāng)錐體轉(zhuǎn)速n=150r/min時(shí)，求所需旋轉(zhuǎn)力矩。解：如圖，在離圓錐頂h處，取一微圓錐體〔半徑為〕，其高為。這里 該處速度剪切應(yīng)力高為一段圓錐體的旋轉(zhuǎn)力矩為 其中代入總旋轉(zhuǎn)力矩 其中 代入上式得旋轉(zhuǎn)力矩 【1.13】上下兩平行圓盤(pán)，直徑均為d，間隙為δ，其間隙間充滿黏度為μ的液體。假設(shè)下盤(pán)固定不動(dòng)，上盤(pán)以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，試寫(xiě)出所需力矩M的表達(dá)式。解：在圓盤(pán)半徑為處取的圓環(huán)，如圖。其上面的切應(yīng)力那么所需力矩總力矩【1.14】當(dāng)壓強(qiáng)增量=5×104N/m2時(shí)，某種液體的密度增長(zhǎng)0.02%。求此液體的體積彈性模量。解：液體的彈性模量【1.15】一圓筒形盛水容器以等角速度繞其中心軸旋轉(zhuǎn)。試寫(xiě)出圖中A(x,y,z)處質(zhì)量力的表達(dá)式。解：位于處的流體質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量力有慣性力 重力〔Z軸向上〕故質(zhì)量力的表達(dá)式為【1.16】圖示為一水暖系統(tǒng)，為了防止水溫升高時(shí)，體積膨脹將水管脹裂，在系統(tǒng)頂部設(shè)一膨脹水箱。假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)水的總體積為8m3，加溫前后溫差為50℃，在其溫度范圍內(nèi)水的熱脹系數(shù)α=0.0005/解：由液體的熱脹系數(shù) 公式，據(jù)題意， ℃，，℃故膨脹水箱的最小容積 【1.17】汽車(chē)上路時(shí)，輪胎內(nèi)空氣的溫度為20℃，絕對(duì)壓強(qiáng)為395kPa輪胎內(nèi)空氣溫度上升到50°С，試求這時(shí)的壓強(qiáng)。解：由理想氣體狀態(tài)方程，由于輪胎的容積不變，故空氣的密度不變，故 ，其中 ，，得【1.18】圖示為壓力表校正器。器內(nèi)充滿壓縮系數(shù)為k=4.75×10﹣10m2為105Pa時(shí)，油液的體積為200mL。現(xiàn)用手輪絲桿和活塞加壓，活塞直徑為1cm，絲桿螺距為2mm，當(dāng)壓強(qiáng)升高至20MPa時(shí)，問(wèn)需將手輪搖多少轉(zhuǎn)解：由液體壓縮系數(shù)定義，設(shè)，因此，，其中手輪轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)后，體積變化了〔為活塞直徑，為螺距〕即 ，其中 ，得 解得 轉(zhuǎn)【1.19】黏度測(cè)量?jī)x有內(nèi)外兩個(gè)同心圓筒組成，兩筒的間隙充滿油液。外筒與轉(zhuǎn)軸連接，其半徑為r2,旋轉(zhuǎn)角速度為。內(nèi)筒懸掛于一金屬絲下，金屬絲上所受的力矩M可以通過(guò)扭轉(zhuǎn)角的值確定。外筒與內(nèi)筒底面間隙為，內(nèi)筒高H，如題1.19圖所示。試推出油液黏度的計(jì)算式。解：外筒側(cè)面的切應(yīng)力為，這里故側(cè)面黏性應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為〔由于是小量，〕對(duì)于內(nèi)筒底面，距轉(zhuǎn)軸取寬度為微圓環(huán)處的切應(yīng)力為那么該微圓環(huán)上黏性力為故內(nèi)筒底面黏性力為轉(zhuǎn)軸的力矩為顯然即第2章流體靜力學(xué)選擇題：【2.1】相對(duì)壓強(qiáng)的起算基準(zhǔn)是：〔〕絕對(duì)真空；〔b〕1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；〔c〕當(dāng)?shù)卮髿鈮?；〔d〕液面壓強(qiáng)。解：相對(duì)壓強(qiáng)是絕對(duì)壓強(qiáng)和當(dāng)?shù)卮髿鈮褐睢? 〔c〕【2.2】金屬壓力表的讀值是：〔〕絕對(duì)壓強(qiáng)；〔b〕相對(duì)壓強(qiáng)；〔c〕絕對(duì)壓強(qiáng)加當(dāng)?shù)卮髿鈮海弧瞕〕相對(duì)壓強(qiáng)加當(dāng)?shù)卮髿鈮?。解：金屬壓力表的讀數(shù)值是相對(duì)壓強(qiáng)。 〔b〕【2.3】某點(diǎn)的真空壓強(qiáng)為65000Pa，當(dāng)?shù)卮髿鈮簽?.1MPa，該點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為：〔〕65000Pa；〔b〕55000Pa；〔c〕35000Pa；〔d〕165000Pa。解：真空壓強(qiáng)是當(dāng)相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)它的絕對(duì)值。故該點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)。 〔c〕【2.4】絕對(duì)壓強(qiáng)與相對(duì)壓強(qiáng)p、真空壓強(qiáng)、當(dāng)?shù)卮髿鈮褐g的關(guān)系是：〔〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：絕對(duì)壓強(qiáng)－當(dāng)?shù)卮髿鈮海较鄬?duì)壓強(qiáng)，當(dāng)相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值即為真空壓強(qiáng)。即，故。 〔c〕【2.5】在封閉容器上裝有U形水銀測(cè)壓計(jì)，其中1、2、3點(diǎn)位于同一水平面上，其壓強(qiáng)關(guān)系為：〔〕p1>p２>p3；〔b〕p1=p２=p3；〔c〕p1<p２<p3；〔d〕p2<p1<p3。解：設(shè)該封閉容器內(nèi)氣體壓強(qiáng)為，那么，顯然，而，顯然。 〔c〕【2.6】用Ｕ形水銀壓差計(jì)測(cè)量水管內(nèi)Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差，水銀面高度hp＝10cm，pA-pB為：〔〕13.33kPa；〔b〕12.35kPa；〔c〕9.8kPa；〔d〕6.4kPa。解：由于故?！瞓〕【2.7】在液體中潛體所受浮力的大?。骸病撑c潛體的密度成正比；〔b〕與液體的密度成正比；〔c〕與潛體的淹沒(méi)深度成正比；〔d〕與液體外表的壓強(qiáng)成反比。解：根據(jù)阿基米德原理，浮力的大小等于該物體所排開(kāi)液體的重量，故浮力的大小與液體的密度成正比。 〔b〕【2.8】靜止流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布規(guī)律：〔〕僅適用于不可壓縮流體；〔b〕僅適用于理想流體；〔c〕僅適用于粘性流體；〔d〕既適用于理想流體，也適用于粘性流體。解：由于靜止流場(chǎng)均可作為理想流體，因此其壓強(qiáng)分布規(guī)律既適用于理想流體，也適用于粘性流體。 〔d〕【2.9】靜水中斜置平面壁的形心淹深與壓力中心淹深的關(guān)系為：〔〕大于；〔b〕等于；〔c〕小于；〔d〕無(wú)規(guī)律。解：由于平壁上的壓強(qiáng)隨著水深的增加而增加，因此壓力中心淹深hD要比平壁形心淹深大。 〔c〕【2.10】流體處于平衡狀態(tài)的必要條件是：〔〕流體無(wú)粘性；〔b〕流體粘度大；〔c〕質(zhì)量力有勢(shì)；〔d〕流體正壓。解：流體處于平衡狀態(tài)的必要條件是質(zhì)量力有勢(shì) 〔c〕【2.11】液體在重力場(chǎng)中作加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其自由面與處處正交：〔〕重力；〔b〕慣性力；〔c〕重力和慣性力的合力；〔d〕壓力。解：由于流體作加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量力除了重力外還有慣性力，由于質(zhì)量力與等壓面是正交的，很顯然答案是 〔c〕計(jì)算題：【2.12】試決定圖示裝置中A、B兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差。h1=500mm，h2=200mm，h3=150mm，h4=250mm，h5=400mm，酒精γ1=7848N/m3，水銀γ2=133400N/m3，水γ3=9810N/m3。解：由于 而 因此 即 【2.13】試對(duì)以下兩種情況求A液體中M點(diǎn)處的壓強(qiáng)〔見(jiàn)圖〕：〔1〕A液體是水，B液體是水銀，y=60cm，z=30cm；〔2〕A液體是比重為0.8的油，B液體是比重為1.25的氯化鈣溶液，y=80cm，z=20cm。解〔1〕由于 而〔2〕【2.14】在斜管微壓計(jì)中，加壓后無(wú)水酒精〔比重為0.793〕的液面較未加壓時(shí)的液面變化為y=12cm。試求所加的壓強(qiáng)p為多大。設(shè)容器及斜管的斷面分別為A和，，。解：加壓后容器的液面下降 那么【2.15】設(shè)U形管繞通過(guò)AB的垂直軸等速旋轉(zhuǎn)，試求當(dāng)AB管的水銀恰好下降到A點(diǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)速。解：U形管左邊流體質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量力為 慣性力為，重力為 在坐標(biāo)系中，等壓面的方程為兩邊積分得根據(jù)題意，時(shí)故因此等壓面方程為U形管左端自由液面坐標(biāo)為，代入上式故 【2.16】在半徑為的空心球形容器內(nèi)充滿密度為ρ的液體。當(dāng)這個(gè)容器以勻角速ω繞垂直軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，試求球壁上最大壓強(qiáng)點(diǎn)的位置。解：建設(shè)坐標(biāo)系如圖，由于球體的軸對(duì)稱(chēng)，故僅考慮平面 球壁上流體任一點(diǎn)的質(zhì)量力為；因此 兩邊積分得 在球形容器壁上； 代入上式，得壁上任一點(diǎn)的壓強(qiáng)為 使壓強(qiáng)有極值，那么即 由于故即最大壓強(qiáng)點(diǎn)在球中心的下方。討論：當(dāng)或者時(shí)，最大壓強(qiáng)點(diǎn)在球中心以下的 位置上。當(dāng)或者時(shí)，最大壓強(qiáng)點(diǎn)在，即球形容器的最低點(diǎn)。【2.17】如以以下圖，底面積為的方口容器，自重G=40N，靜止時(shí)裝水高度h=0.15m，設(shè)容器在荷重W=200N的作用下沿平面滑動(dòng)，容器底與平面之間的摩擦因數(shù)f=0.3，試求保證水不能溢出的容器最小高度。解：先求容器的加速度 設(shè)繩子的張力為 那么 〔〕 〔〕 故解得 代入數(shù)據(jù)得 在容器中建設(shè)坐標(biāo)如圖?！苍c(diǎn)在水面的中心點(diǎn)〕質(zhì)量力為 由 兩邊積分 當(dāng) 處 故 自由液面方程為 〔〕且 當(dāng)滿足方程代入〔〕式 得【2.18】如以以下圖，一個(gè)有蓋的圓柱形容器，底半徑R=2m，容器內(nèi)充滿水，頂蓋上距中心為處開(kāi)一個(gè)小孔通大氣。容器繞其主軸作等角速度旋轉(zhuǎn)。試問(wèn)當(dāng)為多少時(shí)，頂蓋所受的水的總壓力為零。解：如圖坐標(biāo)系下，當(dāng)容器在作等角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，容器內(nèi)流體的壓強(qiáng)分布為當(dāng)時(shí)，按題意故 分布為在頂蓋的下外表，由于，壓強(qiáng)為要使頂蓋所受水的總壓力為零即積分上式 解得 【2.19】矩形閘門(mén)AB寬為1.0m，左側(cè)油深h1=1m，水深h2=2m，油的比重為0.795，閘門(mén)傾角α=60o，試求閘門(mén)上的液體總壓力及作用點(diǎn)的位置。解：設(shè)油，水在閘門(mén)AB上的分界點(diǎn)為E，那么油和水在閘門(mén)上靜壓力分布如以以下圖。現(xiàn)將壓力圖F分解成三局部，，，而， 其中油水故總壓力設(shè)總壓力作用在閘門(mén)AB上的作用點(diǎn)為D，實(shí)質(zhì)是求水壓力圖的形狀中心離開(kāi)A點(diǎn)的距離。由合力矩定理，故或者【2.20】一平板閘門(mén)，高H=1m，支撐點(diǎn)O距地面的高度=0.4m，問(wèn)當(dāng)左側(cè)水深h增至多大時(shí)，閘門(mén)才會(huì)繞O點(diǎn)自動(dòng)翻開(kāi)。解：當(dāng)水深h增加時(shí)，作用在平板閘門(mén)上靜水壓力作用點(diǎn)D也在提高，當(dāng)該作用點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸中心O處上方時(shí)，才能使閘門(mén)翻開(kāi)。此題就是求當(dāng)水深h為多大，水壓力作用點(diǎn)恰好位于O點(diǎn)處。此題采用兩種方法求解〔1〕解析法：由公式其中代入或者解得〔2〕圖解法：設(shè)閘門(mén)上緣A點(diǎn)的壓強(qiáng)為，下緣B點(diǎn)的壓強(qiáng)為，那么靜水總壓力F〔作用在單位寬度閘門(mén)上〕其中的作用點(diǎn)在O處時(shí)，對(duì)B點(diǎn)取矩故或者解得【2.21】如以以下圖，箱內(nèi)充滿液體，活動(dòng)側(cè)壁OA可以繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)要使活動(dòng)側(cè)壁恰好能貼緊箱體，U形管的h應(yīng)為多少。解：測(cè)壓點(diǎn)B處的壓強(qiáng)那么A處的壓強(qiáng)即設(shè)E點(diǎn)處，那么E點(diǎn)的位置在故設(shè)負(fù)壓總壓力為，正壓總壓力為〔單位寬度側(cè)壁〕即大小以上兩總壓力對(duì)點(diǎn)力矩之和應(yīng)等于0,即即展開(kāi)整理后得【2.22】有一矩形平板閘門(mén)，水壓力經(jīng)過(guò)閘門(mén)的面板傳到3條水平梁上，為了使各橫梁的負(fù)荷相等，試問(wèn)應(yīng)分別將它們置于距自由外表多深的地方。閘門(mén)高為4m，寬6m，水深H=3m。解：按題意，解答顯然與閘門(mén)寬度b無(wú)關(guān)，因此在實(shí)際計(jì)算中只需按單位寬度計(jì)算即可。作用在閘門(mén)上的靜水壓力呈三角形分布，將此壓力圖面積均勻地分成三塊，而且此三塊面積的形心位置恰巧就在這三條水平梁上，那么這就是問(wèn)題的解。的面積的面積故的面積故要求梯形CDFE的形心位置y2，可對(duì)點(diǎn)取矩故同理梯形ABDC的形心位置y3為故【2.23】一直徑D=0.4m的盛水容器懸于直徑為D1=0.2m的柱塞上。容器自重G=490N，=0.3m。如不計(jì)容器與柱塞間的摩擦，試求：〔1〕為保持容器不致下落，容器內(nèi)真空壓強(qiáng)應(yīng)為多大?！?〕柱塞浸沒(méi)深度h對(duì)計(jì)算結(jié)果有無(wú)影響。解：〔1〕此題只要考慮盛水容器受力平衡的問(wèn)題。設(shè)容器內(nèi)自由液面處的壓強(qiáng)為p〔實(shí)質(zhì)上為負(fù)壓〕，那么柱塞下端的壓強(qiáng)為由于容器上頂被柱塞貫穿，容器周?chē)谴髿鈮?，故容器上頂和下底的壓力差為〔方向↑，?shí)際上為吸力〕要求容器不致下落，因此以上吸力必須與容器的自重及水的重量相平衡即或者即〔真空壓強(qiáng)〕〔2〕從以上計(jì)算中可知，假設(shè)能保持不變，那么柱塞浸沒(méi)深度h對(duì)計(jì)算結(jié)果無(wú)影響。假設(shè)隨著h的增大，導(dǎo)致的增大，那么從公式可知容器內(nèi)的真空壓強(qiáng)p也將增大?！?.24】如以以下圖一儲(chǔ)水容器，容器壁上裝有3個(gè)直徑為d=0.5m的半球形蓋，設(shè)h=2.0m，H=2.5m，試求作用在每個(gè)球蓋上的靜水壓力。解：對(duì)于蓋，其壓力體體積為〔方向↑〕對(duì)于b蓋，其壓力體體積為〔方向↓〕對(duì)于蓋，靜水壓力可分解成水平及鉛重兩個(gè)分力，其中水平方向分力〔方向←〕鉛重方向分力〔方向↓〕【2.25】在圖示鑄框中鑄造半徑R=50cm，長(zhǎng)L=120cm及厚b=2cm的半圓柱形鑄件。設(shè)鑄模澆口中的鐵水〔γFe=70630N/m3〕面高H=90cm，澆口尺寸為d1=10cm，d2=3cm，h=8cm，鑄框連同砂土的重量G0=4.0t，試問(wèn)為抑制鐵水液壓力的作用鑄框上還需加多大重量G。解：在鑄框上所需加壓鐵的重量和鑄框連同砂土的重量之和應(yīng)等于鐵水對(duì)鑄模鉛垂方向的壓力。鐵水對(duì)鑄模的作用力〔鉛垂方向〕為其中為〔方向↑〕需加壓鐵重量【2.26】容器底部圓孔用一錐形塞子塞住，如圖H=4r，h=3r，假設(shè)將重度為γ1的錐形塞提起需力多大〔容器內(nèi)液體的重度為γ〕。解：塞子上頂所受靜水壓力〔方向↓〕塞子側(cè)面所受鉛垂方向壓力其中〔方向↑〕塞子自重〔方向↓〕故假設(shè)要提起塞子，所需的力F為注.圓臺(tái)體積，其中h一圓臺(tái)高，r,R—上下底半徑?！?.27】如以以下圖，一個(gè)漏斗倒扣在桌面上，h=120mm，d=140mm，自重G=20N。試求充水高度H為多少時(shí)，水壓力將把漏斗舉起而引起水從漏斗口與桌面的間隙泄出。解：當(dāng)漏斗受到水壓力和重力相等時(shí)，此時(shí)為臨界狀態(tài)。水壓力〔向上〕故代入數(shù)據(jù)解得【2.28】一長(zhǎng)為20m，寬10m，深5m的平底船，當(dāng)它浮在淡水上時(shí)的吃水為3m，又其重心在對(duì)稱(chēng)軸上距船底0.2m的高度處。試求該船的初穩(wěn)心高及橫傾8o時(shí)的復(fù)原力矩。解：設(shè)船之長(zhǎng)，寬，吃水分別為L(zhǎng),B,T那么水線面慣性矩〔取小值〕排水體積由公式初穩(wěn)心高〔浮心在重心之上〕復(fù)原力矩【2.29】密度為ρ1的圓錐體，其軸線鉛垂方向，頂點(diǎn)向下，試研究它浮在液面上時(shí)的穩(wěn)定性〔設(shè)圓錐體中心角為2θ〕。解：圓錐體重量流體浮力當(dāng)圓錐正浮時(shí)即〔〕圓錐體重心為G，那么浮心為C，那么穩(wěn)心為M圓錐水線面慣性矩初穩(wěn)性高度圓錐體能保持穩(wěn)定平衡的條件是故須有，，或者〔〕將〔〕式代入〔〕式得或者因此當(dāng)時(shí)圓錐體是穩(wěn)定平衡當(dāng)時(shí)圓錐體是隨偶平衡當(dāng)時(shí)圓錐體是不穩(wěn)定平衡【2.30】某空載船由內(nèi)河出海時(shí)，吃水減少了20cm，接著在港口裝了一些貨物，吃水增加了15cm。設(shè)最初船的空載排水量為1000t，問(wèn)該船在港口裝了多少貨物。設(shè)吃水線附近船的側(cè)面為直壁，設(shè)海水的密度為ρ=1026kg/m3。解：由于船的最初排水量為，即它的排水體積為，它未裝貨時(shí)，在海水中的排水體積為，按題意，在吃水線附近穿的側(cè)壁為直壁，那么吃水線附近的水線面積為因此載貨量【2.31】一個(gè)均質(zhì)圓柱體，高H，底半徑R,圓柱體的材料密度為600kg/m3。〔1〕將圓柱體直立地浮于水面，當(dāng)R/H大于多少時(shí)，浮體才是穩(wěn)定的〔2〕將圓柱體橫浮于水面，當(dāng)R/H小于多少時(shí)，浮體是穩(wěn)定的解：〔1〕當(dāng)圓柱直立時(shí)，浸沒(méi)在水中的高度設(shè)為h，如圖〔〕所示那么即式中為水的密度，為圓柱體的密度式中G為圓柱體重心，C浮心，C在G下方初穩(wěn)心半徑CM為其中〔即圓面積對(duì)某直徑的慣性矩〕得當(dāng)，浮體是穩(wěn)定的即整理得〔2〕當(dāng)圓柱體橫浮于水面時(shí)，設(shè)被淹的圓柱截面積為A，深度為h，如圖〔b〕所示。那么即〔a〕或者〔b〕將〔a〕〔b〕代入數(shù)據(jù)得應(yīng)用迭代法〔見(jiàn)附錄〕解得該圓截面的圓心就是圓柱體的重心G，浮心C位置為式中，得故由于浮面有兩條對(duì)稱(chēng)軸，，面積慣性矩分別為，式中因而初穩(wěn)心半徑分別為及其中當(dāng)浮體穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)滿足得不等式恒滿足因此使圓柱體橫浮時(shí)穩(wěn)定應(yīng)滿足，或者第3章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)選擇題：【3.1】 用歐拉法表示流體質(zhì)點(diǎn)的加速度等于：〔〕；〔〕；〔〕；〔〕。解：用歐拉法表示的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為〔d〕【3.2】 恒定流是：〔〕流動(dòng)隨時(shí)間按一定規(guī)律變化；〔〕各空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化；〔〕各過(guò)流斷面的速度分布一樣；〔〕遷移加速度為零。解：恒定流是指用歐拉法來(lái)觀察流體的運(yùn)動(dòng)，在任何固定的空間點(diǎn)假設(shè) 流體質(zhì)點(diǎn)的所有物理量皆不隨時(shí)間而變化的流動(dòng). 〔b〕【3.3】 一元流動(dòng)限于：〔〕流線是直線；〔〕速度分布按直線變化；〔〕運(yùn)動(dòng)參數(shù)是一個(gè)空間坐標(biāo)和時(shí)間變量的函數(shù)；〔〕運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。解：一維流動(dòng)指流動(dòng)參數(shù)可簡(jiǎn)化成一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。 〔c〕【3.4】 均勻流是：〔〕當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱悖弧病尺w移加速度為零；〔〕向心加速度為零；〔〕合加速度為零。解：按歐拉法流體質(zhì)點(diǎn)的加速度由當(dāng)?shù)丶铀俣群妥兾患铀俣取惨喾Q(chēng)遷移加速度〕這兩局部組成，假設(shè)變位加速度等于零，稱(chēng)為均勻流動(dòng) 〔b〕【3.5】 無(wú)旋運(yùn)動(dòng)限于：〔〕流線是直線的流動(dòng)；〔〕跡線是直線的流動(dòng)；〔〕微團(tuán)無(wú)旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)；〔〕恒定流動(dòng)。解：無(wú)旋運(yùn)動(dòng)也稱(chēng)勢(shì)流，是指流體微團(tuán)作無(wú)旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，或旋度等于零的流動(dòng)?！瞕〕【3.6】 變直徑管，直徑，，流速。為：〔〕；〔〕；〔〕；〔〕。解：按連續(xù)性方程，，故 〔c〕【3.7】 平面流動(dòng)具有流函數(shù)的條件是：〔〕理想流體；〔〕無(wú)旋流動(dòng)；〔〕具有流速勢(shì)；〔〕滿足連續(xù)性。解：平面流動(dòng)只要滿足連續(xù)方程，那么流函數(shù)是存在的。 〔d〕【3.8】恒定流動(dòng)中，流體質(zhì)點(diǎn)的加速度：〔〕等于零；〔〕等于常數(shù)；〔〕隨時(shí)間變化而變化；〔〕與時(shí)間無(wú)關(guān)。解：所謂恒定流動(dòng)〔定常流動(dòng)〕是用歐拉法來(lái)描述的，指任意一空間點(diǎn)觀察流體質(zhì)點(diǎn)的物理量均不隨時(shí)間而變化，但要注意的是這并不表示流體質(zhì)點(diǎn)無(wú)加速度。 〔〕【3.9】 在流動(dòng)中，流線和跡線重合：〔〕無(wú)旋；〔〕有旋；〔〕恒定；〔〕非恒定。解：對(duì)于恒定流動(dòng)，流線和跡線在形式上是重合的。 〔〕【3.10】流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)與剛體運(yùn)動(dòng)相比，多了一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：〔〕平移；〔〕旋轉(zhuǎn)；〔〕變形；〔〕加速。解：流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)由以下三種運(yùn)動(dòng)：平移、旋轉(zhuǎn)、變形迭加而成。而剛體是不變形的物體。 〔〕【3.11】一維流動(dòng)的連續(xù)性方程VA=C成立的必要條件是：〔〕理想流體；〔〕粘性流體；〔〕可壓縮流體；〔〕不可壓縮流體。解：一維流動(dòng)的連續(xù)方程成立的條件是不可壓縮流體，倘假設(shè)是可壓縮流體，那么連續(xù)方程為 〔〕【3.12】流線與流線，在通常情況下：〔〕能相交，也能相切；〔〕僅能相交，但不能相切；〔〕僅能相切，但不能相交；〔〕既不能相交，也不能相切。解：流線和流線在通常情況下是不能相交的，除非相交點(diǎn)該處的速度為零〔稱(chēng)為駐點(diǎn)〕，但通常情況下兩條流線可以相切。 〔〕【3.13】歐拉法描述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)：〔〕直接；〔〕間接；〔〕不能； 〔〕只在恒定時(shí)能。解：歐拉法也稱(chēng)空間點(diǎn)法，它是占據(jù)某一個(gè)空間點(diǎn)去觀察經(jīng)過(guò)這一空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量，因而是間接的。而拉格朗日法〔質(zhì)點(diǎn)法〕是直接跟隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)觀察它的物理量〔〕【3.14】非恒定流動(dòng)中，流線與跡線：〔〕一定重合；〔〕一定不重合；〔〕 特殊情況下可能重合；〔〕一定正交。解：對(duì)于恒定流動(dòng)，流線和跡線在形式上一定重合，但對(duì)于非恒定流動(dòng)，在某些特殊情況下也可能重合，舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子，如果流體質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，盡管是非恒定的，但流線和跡線可能是重合。 〔〕【3.15】一維流動(dòng)中，“截面積大處速度小，截面積小處速度大〞成立的必要條件是：〔〕理想流體；〔〕粘性流體；〔〕可壓縮流體；〔〕不可壓縮流體。解：這道題的解釋同3.11題一樣的。 〔〕【3.16】速度勢(shì)函數(shù)存在于流動(dòng)中：〔〕不可壓縮流體；〔〕平面連續(xù)；〔〕所有無(wú)旋；〔〕任意平面。解：速度勢(shì)函數(shù)〔速度勢(shì)〕存在的條件是勢(shì)流〔無(wú)旋流動(dòng)〕 〔〕【3.17】流體作無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的特征是：〔〕所有流線都是直線；〔〕所有跡線都 是直線；〔〕任意流體元的角變形為零；〔〕任意一點(diǎn)的渦量都為零。解：流體作無(wú)旋運(yùn)動(dòng)特征是任意一點(diǎn)的渦量都為零。 〔〕【3.18】速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)同時(shí)存在的前提條件是：〔〕兩維不可壓縮連續(xù)運(yùn)動(dòng)；〔〕兩維不可壓縮連續(xù)且無(wú)旋運(yùn)動(dòng)；〔〕三維不可壓縮連續(xù)運(yùn)動(dòng)；〔〕三維不可壓縮連續(xù)運(yùn)動(dòng)。解：流函數(shù)存在條件是不可壓縮流體平面流動(dòng)，而速度勢(shì)存在條件是無(wú)旋流動(dòng)，即流動(dòng)是平面勢(shì)流。 〔〕計(jì)算題【3.19】設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為 其中C1、C2、C3為常數(shù)。試求〔1〕t=0時(shí)位于，，處的流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；〔2〕求任意流體質(zhì)點(diǎn)的速度；〔3〕用Euler法表示上面流動(dòng)的速度場(chǎng)；〔4〕用Euler法直接求加速度場(chǎng)和用Lagrange法求得質(zhì)點(diǎn)的加速度后再換算成Euler法的加速度場(chǎng)，兩者結(jié)果是否一樣。解：〔1〕以，，，代入軌跡方程，得故得當(dāng)時(shí)位于流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為 〔〕〔2〕求任意質(zhì)點(diǎn)的速度 〔〕 〔3〕假設(shè)用Euler法表示該速度場(chǎng) 由〔〕式解出； 即 〔〕 〔〕式對(duì)t求導(dǎo)并將〔〕式代入得〔〕〔4〕用Euler法求加速度場(chǎng)由〔〕式Lagrange法求加速度場(chǎng)為〔〕 將〔〕式代入〔〕式得兩種結(jié)果完全一樣【3.20】流場(chǎng)中的速度分布為 〔1〕試問(wèn)此流動(dòng)是否恒定。〔2〕求流體質(zhì)點(diǎn)在通過(guò)場(chǎng)中〔1,1,1〕點(diǎn)時(shí)的 加速度。解： 〔1〕由于速度場(chǎng)與時(shí)間t有關(guān)，該流動(dòng)為非恒定流動(dòng)?！?〕 將代入上式，得【3.21】一流動(dòng)的速度場(chǎng)為 試確定在t=1時(shí)通過(guò)〔2,1〕點(diǎn)的軌跡線方程和流線方程。解：跡線微分方程為即以上兩式積分得兩式相減得即 將,代入得 故過(guò)〔2,1〕點(diǎn)的軌跡方程為 流線的微分方程為即消去,兩邊積分得或者以 ,代入得積分常數(shù) 故在,通過(guò)〔2，1〕點(diǎn)的流線方程為【3.22】流動(dòng)的速度分布為 其中為常數(shù)?！?〕試求流線方程，并繪制流線圖；〔2〕判斷流動(dòng)是否有旋，假設(shè)無(wú)旋，那么求速度勢(shì)并繪制等勢(shì)線。解：對(duì)于二維流動(dòng)的流線微分方程為 即 消去得 積分得 或者 假設(shè)取一系列不同的數(shù)值，可得到流線族—雙曲線族，它們的漸近 線為如圖 有關(guān)流線的指向，可由流速分布來(lái)確定。 對(duì)于, 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 對(duì)于, 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 據(jù)此可畫(huà)出流線的方向 判別流動(dòng)是否有旋，只要判別是否為零， 所以流動(dòng)是有旋的，不存在速度勢(shì)。【3.23】一二維流動(dòng)的速度分布為 其中A、B、C、D為常數(shù)。〔1〕A、B、C、D間呈何種關(guān)系時(shí)流動(dòng)才無(wú)旋； 〔2〕求此時(shí)流動(dòng)的速度勢(shì)。解：〔1〕該流動(dòng)要成為實(shí)際流動(dòng)時(shí)，須滿足， 即 或者得 該流動(dòng)無(wú)旋時(shí)，須滿足， 即 或者，得 〔2〕滿足以上條件時(shí)，速度分布為 積分得 由于 故 因此速度勢(shì)【3.24】設(shè)有粘性流體經(jīng)過(guò)一平板的外表。平板近旁的速度分布為〔為常數(shù)，y為至平板的距離〕 試求平板上的變形速率及應(yīng)力。解：流體微團(tuán)單位長(zhǎng)度沿方向的直線變形速率為,現(xiàn) 〔為軸方向〕 故 同理沿方向直線變形速率為 沿方向直線變形速度為 在平面上的角變形速率 在平面上的角變形速率 在平面上的角變形速率 牛頓流體的本構(gòu)關(guān)系為〔即變形和應(yīng)力之間關(guān)系〕 故在平板上， 而 【3.25】設(shè)不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的3個(gè)速度分量為 其中為常數(shù)。試證明這一流動(dòng)的流線為const，const兩曲面的交線。解：由流線的微分方程得即 積分〔〕得 積分〔〕得即證明了流線為曲面常數(shù)與曲面常數(shù)的交線。【3.26】平面流動(dòng)的速度場(chǎng)為。求t=1時(shí)的流線方程，并畫(huà)出區(qū)間穿過(guò)x軸的4條流線圖形。解：流線的微分方程為時(shí)的流線為 或者 即 積分得 為流線方程 設(shè) 時(shí)可畫(huà)出穿過(guò)軸的4條流線【3.27】不可壓縮流體平面流動(dòng)，在y方向的速度分量為。 試求速度在x方向的分量。解：此平面流動(dòng)必須滿足對(duì)于二維流動(dòng)即以代入故 故【3.28】求兩平行板間，流體的單寬流量。速度分布為。 式中y=0為中心線，為平板所在位置，為常數(shù)。解：如圖，由，平板間的速度分布為拋物線分布。 通過(guò)截面的體積流量為那么平板間的流量 【3.29】以下兩個(gè)流動(dòng)，哪個(gè)有旋哪個(gè)無(wú)旋哪個(gè)有角變形哪個(gè)無(wú)角變形 〔1〕，， 〔2〕，， 式中、是常數(shù)。解：〔1〕判別流動(dòng)是否有旋，只有判別是否等于零。 所以流動(dòng)為有旋流動(dòng)。角變形 所以流動(dòng)無(wú)角變形。 (2) 故流動(dòng)為無(wú)旋同理 【3.30】平面流動(dòng)的速度分布，。試確定流動(dòng)：〔1〕是否滿足連續(xù)性方程；〔2〕是否有旋；〔3〕如存在速度勢(shì)和流函數(shù)，求出和。 解：〔1〕由是否為零 得 故滿足連續(xù)性方程 〔2〕由二維流動(dòng)的 得 故流動(dòng)有旋 〔3〕此流場(chǎng)為不可壓縮流動(dòng)的有旋二維流動(dòng)，存在流函數(shù) 而速度勢(shì)不存在 積分得 故 ， 因此 〔常數(shù)可以作為零〕【3.31】速度勢(shì)為：〔1〕；〔2〕，求其流函數(shù)。解：〔1〕在極坐標(biāo)系中當(dāng) 即 因此 故 得 〔2〕當(dāng)時(shí)將直角坐標(biāo)表達(dá)式化為極坐標(biāo)形式因此 故 得 【3.32】有一平面流場(chǎng)，設(shè)流體不可壓縮，x方向的速度分量為邊界條件為，，求；求這個(gè)平面流動(dòng)的流函數(shù)。解：〔1〕由不可壓縮流體應(yīng)滿足即 故 〔2〕 即 ， 得 【3.33】平面勢(shì)流的速度勢(shì)，求流函數(shù)以及通過(guò)〔0,0〕及〔1,2〕兩點(diǎn)連線的體積流量。解：由于 由于 ， 故流函數(shù)為 〔取絕對(duì)值〕第4章理想流體動(dòng)力學(xué)選擇題如圖等直徑水管，A—A為過(guò)流斷面，B—B為水平面，1、2、3、4為面上各點(diǎn)，各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)有以下關(guān)系：〔〕；〔〕；〔〕；〔〕。解：對(duì)于恒定漸變流過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)按靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律，即 ，故在同一過(guò)流斷面上滿足 〔〕【4.2】 伯努利方程中表示〔〕單位重量流體具有的機(jī)械能；〔〕單位質(zhì)量流體具有的機(jī)械能；〔〕單位體積流體具有的機(jī)械能；〔〕通過(guò)過(guò)流斷面流體的總機(jī)械能。解：伯努利方程表示單位重量流體所具有的位置勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和或者是總機(jī)械能。故 〔〕【4.3】 水平放置的漸擴(kuò)管，如忽略水頭損失，斷面形心的壓強(qiáng)，有以下關(guān)系：〔〕；〔〕；〔〕；〔〕不定。解：水平放置的漸擴(kuò)管由于斷面1和2形心高度不變，但因此〔〕【4.4】 粘性流體總水頭線沿程的變化是：〔〕沿程下降；〔〕沿程上升；〔〕保持水平；〔〕前三種情況都有可能。解：粘性流體由于沿程有能量損失，因此總水頭線沿程總是下降的 〔〕【4.5】 粘性流體測(cè)壓管水頭線沿程的變化是：〔〕沿程下降；〔〕沿程上升；〔〕保持水平；〔〕前三種情況都有可能。解：粘性流體測(cè)壓管水頭線表示單位重量流體所具有的勢(shì)能，因此沿程的變化是不一定的。 〔〕計(jì)算題【4.6】 如圖，設(shè)一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm。試求：〔1〕管內(nèi)的流量；〔2〕管內(nèi)最高點(diǎn)S的壓強(qiáng)；〔3〕假設(shè)h不變，點(diǎn)S繼續(xù)升高〔即a增大，而上端管口始終浸入水內(nèi)〕，問(wèn)使吸虹管內(nèi)的水不能連續(xù)流動(dòng)的a值為多大。解：(1)以水箱底面為基準(zhǔn)，對(duì)自由液面上的點(diǎn)1和虹吸管下端出口處2建設(shè)1-2流線伯努利方程，那么 其中 ，， 那么 管內(nèi)體積流量 (2)以管口2處為基準(zhǔn)，對(duì)自由液面1處及管內(nèi)最高點(diǎn)列1-流線伯努利方程。那么 其中,,,, 即9807 即點(diǎn)的真空壓強(qiáng) (3)當(dāng)不變，點(diǎn)增大時(shí)，當(dāng)點(diǎn)的壓強(qiáng)等于水的汽化壓強(qiáng)時(shí)， 此時(shí)點(diǎn)發(fā)生水的汽化，管內(nèi)的流動(dòng)即中止。查表，在常溫下〔15 ℃〕水的汽化壓強(qiáng)為1697〔絕對(duì)壓強(qiáng)〕以管口2為基準(zhǔn)，列點(diǎn)的伯努利方程， 其中，，，，〔大氣絕對(duì)壓強(qiáng)〕 即此題要注意的是伯努利方程中兩邊的壓強(qiáng)計(jì)示方式要一樣，由于為絕對(duì)壓強(qiáng)，因此出口處也要絕對(duì)壓強(qiáng)。【4.7】 如圖，兩個(gè)緊靠的水箱逐級(jí)放水，放水孔的截面積分別為A1與A2，試問(wèn)h1與h2成什么關(guān)系時(shí)流動(dòng)處于恒定狀態(tài)，這時(shí)需在左邊水箱補(bǔ)充多大的流量。解：以右箱出口處4為基準(zhǔn)，對(duì)右箱自由液面3到出口處4列流線伯努利方程其中，那么 以左箱出口處2為基準(zhǔn)，對(duì)左箱自由液面1到出口處2列流線伯 努利方程其中，，故 當(dāng)流動(dòng)處于恒定流動(dòng)時(shí)，應(yīng)有右箱出口處的流量和左水箱流入右 水箱的流量及補(bǔ)充入左水量的流量均相等，即 即 或者 且左水箱需補(bǔ)充的流量為 此題要注意的是左水箱的水僅是流入右水箱，而不能從1-4直接列一條流線?！?.8】 如圖，水從密閉容器中恒定出流，經(jīng)一變截面管而流入大氣中，H=7m,=0.3,A1=A3=50cm2，A2=100cm2，A4=25cm2，假設(shè)不計(jì)流動(dòng)損失，試求：〔1〕各截面上的流速、流經(jīng)管路的體積流量；〔2〕各截面上的總水頭。解：〔1〕以管口4為基準(zhǔn)，從密閉容器自由液面上0點(diǎn)到變截面管出口處4列0－4流線伯努利方程， 其中，即 由連續(xù)性原理，由于故又 由于故由于故流經(jīng)管路的體積流量〔2〕以管口為基準(zhǔn)，該處總水頭等于，由于不計(jì)粘性損失，因此各截面上總水頭均等于。【4.9】 如圖，在水箱側(cè)壁同一鉛垂線上開(kāi)了上下兩個(gè)小孔，假設(shè)兩股射流在O點(diǎn)相交,試證明。解：列容器自由液面0至小孔1及2流線的伯努利方程，可得到小孔處出流速度。此公式稱(chēng)托里拆利公式〔Toricelli〕，它在形式上與初始速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)一樣，這是不考慮流體粘性的結(jié)果。 由公式，分別算出流體下落距離所需的時(shí)間，其中 經(jīng)過(guò)及時(shí)間后，兩孔射流在某處相交，它們的水平距離相等， 即 ，其中，， 因此 即【4.10】 如圖，Venturi管A處的直徑d1=20cm，B處的直徑d2=2cm。當(dāng)閥門(mén)D關(guān)閉，閥門(mén)C開(kāi)啟時(shí)測(cè)得U型壓力計(jì)中水銀柱的差h=8mm，求此時(shí)Venturi管內(nèi)的流量。又假設(shè)將閥門(mén)C關(guān)閉，閥門(mén)D開(kāi)啟，利用管中的射流將真空容器內(nèi)的壓強(qiáng)減至100mm〔水銀柱〕時(shí)，管內(nèi)的流量應(yīng)為多大。解：由于此題流體是空氣，因此忽略其重力。從A至B兩過(guò)流斷面列總流伯努利方程因此〔〕 假設(shè)，處的截面面積各為及，由連續(xù)方程 得 將上式代入〔〕式得 那么文丘里管中的流量 倘假設(shè)閥門(mén)C關(guān)閉，閥門(mén)D開(kāi)啟時(shí)，真空容器內(nèi)的壓強(qiáng)減至水 銀柱時(shí)， 那么 即 此時(shí)流量【4.11】 如圖，一呈上大下小的圓錐形狀的儲(chǔ)水池，底部有一泄流管，直徑d=0.6m，流量因數(shù)μ＝0.8，容器內(nèi)初始水深h=3m，水面直徑D=60m，當(dāng)水位降落1.2m后，水面直徑為48m，求此過(guò)程所需時(shí)間。解：此題按小孔出流，設(shè)某時(shí)刻時(shí)，水面已降至處， 那么由托里拆利公式，泄流管處的出流速度為儲(chǔ)水池錐度為，因此當(dāng)水面降至處時(shí)，水面的直徑為由連續(xù)方程在時(shí)間內(nèi)流出的水量等于液面下降的水量 故 由于 故此題從總的過(guò)程是非恒定流，假設(shè)應(yīng)用非恒定流的伯努利方程很復(fù)雜，為此將整個(gè)過(guò)程微分，每個(gè)微分時(shí)間內(nèi)作為恒定流來(lái)處理，然后應(yīng)用積分的方法來(lái)求解。【4.12】 如圖，水箱通過(guò)寬B=0.9m，高H=1.2m的閘門(mén)往外泄流，閘門(mén)開(kāi)口的頂端距水面h=0.6m。試計(jì)算〔1〕閘門(mén)開(kāi)口的理論流量；〔2〕將開(kāi)口作為小孔處理時(shí)所引起的百分誤差。解：〔1〕由圖 由于，故此題應(yīng)按大孔出流來(lái)處理，將大孔口，沿水平 方向分割成許多小孔，然后對(duì)于每一小孔按Torricelli定理 出流速度，小孔面積 理論出流量為 總出流量〔2〕當(dāng)按小孔出流處理時(shí)， 出流量 兩者引起的相對(duì)誤差為 【4.13】 今想利用水箱A中水的流動(dòng)來(lái)吸出水槽B中的水。水箱及管道各局部的截面積及速度如以以下圖。試求〔1〕使最小截面處壓強(qiáng)低于大氣壓的條件；〔2〕從水槽B中把水吸出的條件?！苍诖思俣?以及與水箱A中流出的流量相比，從B中吸出的流量為小量。〕解：〔1〕在及的假定下，此題可看作小孔出流由Torricelli定理 以處為基準(zhǔn)，對(duì)水箱自由液面及最小截面建設(shè)總流伯努利方程其中， 故 要使最小截面處壓強(qiáng)低于大氣壓即為負(fù)值必須使 由連續(xù)方程得 故 得此時(shí)的條件應(yīng)為 〔2〕假設(shè)從水槽中吸出水時(shí)，需具備的條件為或者將代入即 或者 ，由于將上述不等式代入 得 【4.14】 如圖，一消防水槍?zhuān)蛏蟽A角水管直徑D=150mm，壓力表讀數(shù)p=3m水柱高，噴嘴直徑d=75mm，求噴出流速，噴至最高點(diǎn)的高程及在最高點(diǎn)的射流直徑。解：不計(jì)重力，對(duì)壓力表截面1處至噴咀出口2處列伯努利方程 其中 得 另外，由連續(xù)方程 得 上式代入式得 因此 設(shè)最高點(diǎn)位置為，那么根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的上拋運(yùn)動(dòng)有 射流至最高點(diǎn)時(shí)，僅有水平速度，列噴咀出口處2至 最高點(diǎn)處3的伯努利方程〔在大氣中壓強(qiáng)均為零〕。 得 或者水平速度始終是不變的 由連續(xù)方程，最高點(diǎn)射流直徑為 故 【4.15】 如圖，水以V=10m/s的速度從內(nèi)徑為50mm的噴管中噴出，噴管的一端那么用螺栓固定在內(nèi)徑為100mm水管的法蘭上，如不計(jì)損失，試求作用在連接螺栓上的拉力。解：由連續(xù)方程 故 對(duì)噴管的入口及出口列總流伯努利方程 其中 得 取控制面,并建設(shè)坐標(biāo)如圖,設(shè)噴管對(duì)流體的作用力為。 動(dòng)量定理為 即 故 那么作用在連接螺栓上的拉力大小為220.8方向同方向相反.【4.16】 將一平板伸到水柱內(nèi)，板面垂直于水柱的軸線，水柱被截后的流動(dòng)如以以下圖。水柱的流量Q=0.036m3/s，水柱的來(lái)流速度V=30m/s，假設(shè)被截取的流量Q=0.012m3/s，試確定水柱作用在板上的合力R和水流的偏轉(zhuǎn)角解：設(shè)水柱的周?chē)鶠榇髿鈮?。由于不?jì)重力，因此由伯努利方程可知 由連續(xù)方程 取封閉的控制面如圖，并建設(shè)坐標(biāo)，設(shè)平板對(duì)射流柱的作用力為 〔由于不考慮粘性，僅為壓力〕。由動(dòng)量定理方向： 即方向： 即故 代入式即作用在板上合力大小為，方向與方向相反【4.17】 一水射流對(duì)彎曲對(duì)稱(chēng)葉片的沖擊如以以下圖，試就下面兩種情況求射流對(duì)葉片的作用力：〔1〕噴嘴和葉片都固定；〔2〕噴嘴固定，葉片以速度后退。解：(1)射流四周均為大氣壓，且不計(jì)重力，由伯努利方程，各斷面上的流速均一樣。取封閉控制面如圖，并建設(shè)坐標(biāo)， 當(dāng)葉片噴咀均固定時(shí)，設(shè)流體受到葉片的作用力為 由動(dòng)量定理方向： 即 得葉片受到射流對(duì)其作用力大小為，方向與方向相反。 (2)當(dāng)控制體在作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于固結(jié)于控制體上的坐標(biāo)系仍是慣性 系，在動(dòng)量定理中只要將相對(duì)速度代替絕對(duì)速度即可。 現(xiàn)當(dāng)葉片以速度后退，此時(shí)射流相對(duì)于固結(jié)于葉片上的控制面的相 對(duì)速度為，因此葉片受到的力大小為 例如，當(dāng)時(shí)，那么 【4.18】 如圖,鍋爐省煤氣的進(jìn)口處測(cè)得煙氣負(fù)壓h1=10.5mmH2O，出口負(fù)壓h2=20mmH2O。如爐外空氣ρ=1.2kg/m3，煙氣的密度ρ'=0.6kg/m3，兩測(cè)壓斷面高度差H=5m，試求煙氣通過(guò)省煤氣的壓強(qiáng)損失。解：此題要應(yīng)用非空氣流以相對(duì)壓強(qiáng)表示的伯努利方程形式。由進(jìn)口斷面1至出口斷面2列伯努利方程 式中 故 得【4.19】 如圖,直徑為d1=700mm的管道在支承水平面上分支為d2=500mm的兩支管，A—A斷面的壓強(qiáng)為70kN/m2，管道流量Q=0.6m3/s，兩支管流量相等?！?〕不計(jì)水頭損失，求支墩受的水平推力；〔2〕假設(shè)水頭損失為支管流速水頭的5解：(1)在總管上過(guò)流斷面上平均流速為 在兩支管上過(guò)流斷面上平均流速為 列理想流體的斷面的伯努利方程 式中 因此 解得 取封閉的控制面如圖，并建設(shè)坐標(biāo)，設(shè)三通管對(duì)控制面內(nèi)流體作用 力為 由動(dòng)量定理 即即 那么支墩受到的水平推力大小為，方向與圖中方向相反。 〔2〕當(dāng)考慮粘性流體時(shí)，只要在伯努利方程中考慮水頭損失即可。 列斷面粘性流體的伯努利方程 式中 其它同上 那么 以此代入上述動(dòng)量定理式中解得下部水箱重224N，其中盛水重897N，如果此箱放在秤臺(tái)上，受如以以下圖的恒定流作用。問(wèn)秤的讀數(shù)是多少。解：水從上、下水箱底孔中出流速度由Torricelli定理得 流量 而流入下水箱時(shí)的流速，由伯努利方程 式中， 那么 設(shè)封閉的控制面如圖，設(shè)下水箱中水受到重力為,水箱對(duì)其作用力為,并建設(shè)坐標(biāo)軸 由動(dòng)量定理 即 即 因此秤的讀數(shù)水箱自重+流體對(duì)水箱的作用力平面勢(shì)流理論計(jì)算題 :【5.1】如以以下圖，設(shè)蒙古包做成一個(gè)半徑為的半圓柱體，因受正面來(lái)的速度為的大風(fēng)襲擊，屋頂有被掀起的不安全，其原因是屋頂內(nèi)外有壓差。試問(wèn)：通氣窗口的角度為多少時(shí)，可以使屋頂受到的升力為零解：屋頂圓柱面外外表受到的升力為〔方向向下〕式中為無(wú)窮遠(yuǎn)處壓強(qiáng)，為圓柱外外表上的壓強(qiáng)屋頂圓柱面內(nèi)〔含外表〕的靜壓強(qiáng)為，它與通氣窗口處的壓強(qiáng)相等，即那末內(nèi)壓強(qiáng)產(chǎn)生的升力為〔方向向上〕〔為常量〕要使圓柱面屋頂?shù)纳榱?，那么即引入壓?qiáng)因數(shù)其中圓柱體外表的分布式為那么式為考慮到，得到解得【5.2】復(fù)勢(shì)〔1〕；〔2〕，試畫(huà)出它們所代表的流動(dòng)的流線形狀。解:(1) 引入故 故速度勢(shì) 流函數(shù) 當(dāng) 即 即為流線的漸近線。得 或 即流線為雙曲線族 又由于 復(fù)速度 故 故流線圖如以以下圖。 (2) 故流動(dòng)為各位于而強(qiáng)度為Q的兩個(gè)源疊加而成。 令 那么 故 流線為常數(shù)流線形狀如圖〔〕所示?！?.3】設(shè)復(fù)勢(shì)為，試分析它是由哪些基本流動(dòng)所組成〔包括強(qiáng)度和位置〕，并求沿圓周的速度環(huán)量及通過(guò)該圓周的流體體積流量。解：流動(dòng)由以下簡(jiǎn)單平面勢(shì)流疊加而成①位于處強(qiáng)度為的源；②位于處強(qiáng)度為的點(diǎn)渦〔順時(shí)針旋向〕；③位于原點(diǎn)處強(qiáng)度為的偶極子〔源→匯為方 向〕 復(fù)速度 其中c為,或，顯然它包含了這些奇點(diǎn)。 由留數(shù)定理故速度環(huán)量為體積流量為【5.4】復(fù)勢(shì)為〔1〕；〔2〕；〔3〕。試分析以上流動(dòng)的組成，繪制流線圖，并計(jì)算通過(guò)圓周的流量，及沿這一圓周的速度環(huán)量。解：〔1〕為均流令，流線方程為，其沿積分為得流線圖如圖〔〕〔2〕流動(dòng)由以下平面勢(shì)流疊加而成①處，強(qiáng)度為的源②處，強(qiáng)度為的匯③處，強(qiáng)度為的點(diǎn)渦〔順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〕④處，強(qiáng)度為的點(diǎn)渦〔逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〕 故流線圖如圖〔〕〔3〕 這是的均流〔速度沿y軸方向〕繞半徑的圓柱的繞流，即均流疊加強(qiáng)度為的偶極〔方向源→匯為軸方向〕 故流線圖如圖〔〕【5.5】設(shè)流動(dòng)復(fù)勢(shì)為，試求：〔1〕流動(dòng)由哪些奇點(diǎn)所組成；〔2〕用極坐標(biāo)表示這一流動(dòng)的速度勢(shì)及流函數(shù)；〔3〕通過(guò)之間連線的流量；〔4〕用直角坐標(biāo)表示流線方程，畫(huà)出零流線。 解：〔1〕 故以上平面勢(shì)流由以下簡(jiǎn)單平面勢(shì)流疊加而成①位于〔-1，0〕及〔1，0〕強(qiáng)度均為的源②位于〔0，0〕強(qiáng)度為的匯 〔2〕 故〔3〕通過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)之間連線的流量為〔4〕用直角坐標(biāo)表示的流線方程 由于 故或零流線即得〔即軸〕〔無(wú)意義〕也為流線，但【5.6】一沿x軸正向的均流，流速為，今與一位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦相疊加。駐點(diǎn)位于點(diǎn)〔0,-5〕，試求：〔1〕點(diǎn)渦的強(qiáng)度；〔2〕〔0,5〕點(diǎn)的速度；〔3〕通過(guò)駐點(diǎn)的流線方程。解：〔1〕設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為，要使駐點(diǎn)位于，那么應(yīng)為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，那么復(fù)勢(shì)為將代入，并令那么 故〔即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〕〔2〕由于點(diǎn)的速度為將代入上式得〔3〕得在駐點(diǎn)〔0，-5〕處，即故流過(guò)駐點(diǎn)的流線方程為整理得【5.7】一平面勢(shì)流由點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加而成，點(diǎn)源位于點(diǎn)〔-1,0〕，其強(qiáng)度為m1=20m3/s，點(diǎn)匯位于點(diǎn)〔2,0〕，其強(qiáng)度為m2=40m3/s，流體密度=1.8kg/m3，設(shè)流場(chǎng)中〔0,0〕點(diǎn)的壓強(qiáng)為0，試求點(diǎn)〔0,1〕和〔1,1解：點(diǎn)源和點(diǎn)匯疊加后的復(fù)勢(shì)為即點(diǎn)〔0，1〕處流速速度大小同理，點(diǎn)〔1，1〕處流速速度大小點(diǎn)〔0，0〕處流速流速大小由伯努利方程故〔0，1〕處壓強(qiáng)〔1，1〕處壓強(qiáng)【5.8】設(shè)在半徑為R的圓周上等距離分布有n個(gè)點(diǎn)渦，它們的強(qiáng)度均為，且轉(zhuǎn)向一樣，試寫(xiě)出流動(dòng)的復(fù)勢(shì)及求出共軛復(fù)速度。解：設(shè)編號(hào)為1的點(diǎn)渦恰好在實(shí)軸上。那么均布在半徑為R的圓周上的n個(gè)點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)為上式中在復(fù)變函數(shù)中，半徑為R的圓周上的n個(gè)點(diǎn)渦的位置，即是方程的根。故【5.9】試寫(xiě)出如圖所表示的流動(dòng)的復(fù)勢(shì)。解：(a) (b) (c) (d) (e)【5.10】軸為固壁，在點(diǎn)上有一個(gè)強(qiáng)度為，方向沿軸的偶極子，假設(shè)疊加一個(gè)沿正軸方向的均勻流，如以以下圖，試證明，當(dāng)時(shí)，圓周是一條流線。解：應(yīng)用鏡像法中的平面定理，流動(dòng)復(fù)勢(shì)為令其中流函數(shù)是的虛部，那么當(dāng)時(shí)故顯然，當(dāng)是零流線方程，即證明了是零流線方程?！?.11】設(shè)想在半徑為a的圓筒壁上置有一強(qiáng)度為Q的點(diǎn)源〔如以以下圖〕，試寫(xiě)出流動(dòng)的復(fù)勢(shì)。解：解法1采用一分式線性變換，將圓周變?yōu)檩o助平面上的實(shí)軸，很顯然，此變換為或這一變換將圓周變換成實(shí)軸外，還將變換成，將分別變換成和。為了吸收平面上原點(diǎn)上點(diǎn)源的流量，需在和處各置一強(qiáng)度為的點(diǎn)匯，因此平面上流動(dòng)復(fù)勢(shì)為代入至平面，得該流動(dòng)表示，在圓筒的中心，需置一強(qiáng)度為的匯。解法2設(shè)變換函數(shù)，其中此變換將半徑為a的圓周變成單位圓，變成應(yīng)用公式代入至平面，得此題由于強(qiáng)度為的點(diǎn)源恰好在以為半徑的圓周上，可以認(rèn)為在邊界的外側(cè)有強(qiáng)度為的電源，在邊界的內(nèi)側(cè)〔即反演點(diǎn)〕有強(qiáng)度為的點(diǎn)源，為了保持圓內(nèi)流體流量的平衡。在圓心處要放置同樣強(qiáng)度的點(diǎn)匯。【5.12】在如以以下圖的半無(wú)限的平行槽內(nèi)的左下角，置有一強(qiáng)度為m的點(diǎn)源。試求其流動(dòng)復(fù)勢(shì)及共軛復(fù)速度。解：應(yīng)用Schwarz變換，將這一半無(wú)限平行槽變換成平面的上半平面。取以下為相對(duì)應(yīng)點(diǎn)而另一無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)需對(duì)應(yīng)于，由Schwarz變換的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)于的項(xiàng)在變換式中將不出現(xiàn)。因此，該變換式為積分后得為決定積分常數(shù)，應(yīng)用對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系當(dāng)代入上式得得B=0當(dāng)有得[由于]故變換函數(shù)為或在平面上，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處應(yīng)有一強(qiáng)度為2的點(diǎn)源[由于是全平面上點(diǎn)源的復(fù)勢(shì)，它只有一半流入上半平面]故在平面上的復(fù)勢(shì)為代回至平面，得那么共軛復(fù)速度【5.13】設(shè)在圖示空氣對(duì)圓柱的有環(huán)量繞流中，A點(diǎn)為駐點(diǎn)。假設(shè)，，圓柱的半徑，，。試求：〔1〕另一駐點(diǎn)B及壓強(qiáng)最小點(diǎn)的位置；〔2〕圓柱所受升力大小及方向；〔3〕繪制大致的流譜。解：作平移變換，那么圓柱中心位于平面上的原點(diǎn)M，那么繞流復(fù)勢(shì)為A點(diǎn)在平面上的坐標(biāo)為，其中據(jù)題意因此 由于 故 單位長(zhǎng)度上的升力，方向垂直，〔逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)〕用復(fù)數(shù)可表示為將改用極坐標(biāo)表示故在圓柱體外表令，得兩駐點(diǎn)位置 故得圓柱面上速度最大點(diǎn)由伯努利方程可知，該點(diǎn)即是壓強(qiáng)p最小點(diǎn)。流線譜如圖【5.14】?jī)蓚€(gè)環(huán)量布置如以以下圖，試：〔1〕寫(xiě)出復(fù)勢(shì)，求出勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)；〔2〕證明單位圓恰是一條流線；〔3〕將上述單位圓作為圓柱固壁，求處點(diǎn)渦對(duì)此圓柱體的作用力。解：〔1〕故〔2〕將代入流函數(shù)中常數(shù)因此證明是一條流線。〔3〕由公式由于在單位圓之外，故只需計(jì)算的留數(shù)因此即此題另一求解方法：由于這兩個(gè)點(diǎn)渦產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度場(chǎng)使得它們均以的速度向下運(yùn)動(dòng)。由儒可夫斯基定理這里的升力指與運(yùn)動(dòng)方向垂直。【5.15】在半徑為a的圓筒內(nèi)距中心b處有一強(qiáng)度為的點(diǎn)渦，試描述該點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)。解：為使圓筒能成為一條流線，在圓筒外，必須設(shè)置一個(gè)內(nèi)部點(diǎn)渦的虛像，其強(qiáng)度為〔轉(zhuǎn)向相反，即順時(shí)針轉(zhuǎn)向〕，設(shè)其位置距筒內(nèi)點(diǎn)渦的距離為h，那么由關(guān)于圓的反演點(diǎn)的定義，應(yīng)有或者圓筒內(nèi)點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)，將由其筒外虛像所引起，虛像對(duì)它的誘導(dǎo)速度為由于點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)平行于壁面，故這時(shí)它將繞中心作等速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的角速度為【5.16】如以以下圖，寬為的無(wú)限高容器，在側(cè)壁高為處有一個(gè)小孔，流體以流量自小孔流出，證明復(fù)勢(shì)為解：交換函數(shù)將容器寬度變?yōu)?；交換函數(shù)將平面上的容器內(nèi)區(qū)域變成平面上的上半平面〔如圖〕故在平面上，實(shí)軸為平面壁，點(diǎn)匯在實(shí)軸上在處，由于存在關(guān)系式因此平面上的點(diǎn)匯在實(shí)軸上的處，根據(jù)平面壁鏡像原理，那么【5.17】在半徑為a的圓柱外及兩點(diǎn)處有強(qiáng)度為及的一對(duì)點(diǎn)渦，另有大小為的均流沿x軸正向流來(lái)，試寫(xiě)出這一流動(dòng)的復(fù)勢(shì)。解：沒(méi)有圓柱時(shí)，均流及兩個(gè)點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)為放入圓柱后，由圓定理可得均流及上述兩個(gè)點(diǎn)渦關(guān)于圓柱的虛像的復(fù)勢(shì)為總復(fù)勢(shì)【5.18】設(shè)在流場(chǎng)中有一半徑為a的圓柱，距圓柱中心b處有一強(qiáng)度為的點(diǎn)渦。試證明〔1〕該點(diǎn)渦以角速度繞圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)；〔2〕圓柱外表的流體速度可表示為，其中為圓柱外表上所求速度點(diǎn)與點(diǎn)渦之間的距離。解：〔1〕在〔b，0〕處點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)為由于流場(chǎng)中有半徑為a的圓柱，根據(jù)圓定理總的復(fù)勢(shì)為復(fù)速度為由于b點(diǎn)處點(diǎn)渦的運(yùn)動(dòng)由其在圓柱內(nèi)的虛像所引起，故其速度可見(jiàn)，當(dāng)該點(diǎn)渦恰好在實(shí)軸上時(shí)，有角速度〔順時(shí)針?lè)较颉场?〕圓柱外表上一點(diǎn)速度以代入共軛復(fù)速度表達(dá)式得故在圓柱處速度為轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的速度由于，滿足，可見(jiàn)圓柱外表為流線。水波理論計(jì)算題 :6.1在岸上觀察到浮標(biāo)每分鐘升降15次，試求波浪的圓頻率、波數(shù)k、波長(zhǎng)和波速c〔可視為無(wú)限深水波〕。解：浮標(biāo)升降次數(shù)即為頻率圓頻率波數(shù)波長(zhǎng)波速6.2一深水波周期，波高，試求其波長(zhǎng)、波速、波群速以及波能傳播量。解：圓頻率波數(shù)波長(zhǎng)波速波群速波能傳播量6.3在水深的水域內(nèi)有一微幅波，波振幅，波數(shù)，試求：〔1〕波長(zhǎng)、波速、周期；〔2〕波面方程；〔3〕及處水質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。解：〔1〕波長(zhǎng)在實(shí)用上，由于，故此題屬有限深度波。波速周期 〔2〕波面方程其中故〔3〕在及處水質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程其中在 故軌跡方程為6.4在水深為處的海面上設(shè)置的浮標(biāo)，由于波浪作用每分鐘上下升降12次，觀察波高為，試求此波浪的波長(zhǎng)、水底的流速振幅以及波動(dòng)的壓強(qiáng)變化振幅。解：按有限深度波計(jì)算波速圓頻率周期取計(jì)算上式右邊得從作圖法可知，上述超越方程的解故波長(zhǎng)波數(shù)波幅故速度勢(shì)可寫(xiě)為水底流速水底流速振幅壓強(qiáng)分布應(yīng)用略去高階項(xiàng)的拉格朗日積分式即由于實(shí)際上的變化振幅即為壓強(qiáng)p的變化振幅故壓強(qiáng)變化振幅6.5設(shè)二維有限深度波動(dòng)速度勢(shì)為，求此相應(yīng)流函數(shù)及復(fù)勢(shì)表達(dá)式。解：流函數(shù)可通過(guò)速度勢(shì)，用柯西－黎曼條件求得由，得故由而故，得應(yīng)用公式，及故得復(fù)勢(shì)表達(dá)式為而故上式中〔為復(fù)函數(shù)〕6.6設(shè)有兩層流體，下層流體〔密度為〕無(wú)限深，上層流體〔密度為〕深度為，并且有自由外表，在兩層流體的分界面和上外表同時(shí)有重力波傳播，試求圓頻率與波長(zhǎng)的關(guān)系。解：如圖，將坐標(biāo)平面取在兩層流體的分界面上，軸垂直向上，那么下層流體無(wú)限深水波的速度勢(shì)為〔〕對(duì)于上層流體，可從Laplace方程的通解，將速度勢(shì)寫(xiě)成〔〕在分界面上，即，這兩種流體在方向速度相等故因而得其次，由分界面上壓強(qiáng)連續(xù)條件得由于對(duì)微幅波故將〔〕〔〕式代入上式又由于在自由外表有式即將代入上式得從而可得到的3個(gè)方程，即或上述方程為齊次方程組，只有滿足才有非零解。展開(kāi)上述行列式并整理得從而解得以及第7章粘性流體動(dòng)力學(xué)選擇題：7.1速度v、長(zhǎng)度l、重力加速度g的無(wú)量綱集合是：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：〔〕。7.2速度v、密度、壓強(qiáng)p的無(wú)量綱集合是：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：〔〕。7.3速度v、長(zhǎng)度l、時(shí)間t的無(wú)量綱集合是：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：〔〕。7.4壓強(qiáng)差、密度、長(zhǎng)度l、流量Q的無(wú)量綱集合是：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：〔〕。7.5進(jìn)展水力模型實(shí)驗(yàn)，要實(shí)現(xiàn)有壓管流的動(dòng)力相似，應(yīng)選的相似準(zhǔn)那么是：〔a〕雷諾準(zhǔn)那么；〔b〕弗勞德準(zhǔn)那么；〔c〕歐拉準(zhǔn)那么；〔d〕其它。解：對(duì)于有壓管流進(jìn)展水力模型實(shí)驗(yàn)，主要是粘性力相似，因此取雷諾數(shù)相等 〔〕7.6雷諾數(shù)的物理意義表示：〔a〕粘性力與重力之比；〔b〕重力與慣性力之比；〔c〕慣性力與粘性力之比；〔d〕壓力與粘性力之比。解：雷諾數(shù)的物理定義是慣性力與粘性力之比〔〕7.7壓力輸水管模型實(shí)驗(yàn)，長(zhǎng)度比尺為8，模型水管的流量應(yīng)為原型輸水管流量的：〔a〕1/2；〔b〕1/4；〔c〕1/8；〔d〕1/16。解：壓力輸水管模型實(shí)驗(yàn)取雷諾數(shù)相等即，假設(shè)，那么，而〔〕7.8 判斷層流或紊流的無(wú)量綱量是：〔a〕弗勞德數(shù)；〔b〕雷諾數(shù)；〔c〕歐拉數(shù)；〔d〕斯特勞哈爾數(shù)。解：判斷層流和紊流的無(wú)量綱數(shù)為雷諾數(shù)，當(dāng)為層流，否那么為紊流。〔b〕7.9 在安排水池中的船舶阻力試驗(yàn)時(shí)，首先考慮要滿足的相似準(zhǔn)那么是：〔a〕雷諾數(shù)；〔b〕弗勞德數(shù)；〔c〕斯特勞哈爾數(shù)；〔d〕歐拉數(shù)。解：在安排船模阻力試驗(yàn)時(shí)，理論上要滿足雷諾準(zhǔn)那么和弗勞德準(zhǔn)那么，但數(shù)和數(shù)同時(shí)分別相等是很難實(shí)現(xiàn)的，而且數(shù)相等在試驗(yàn)條件又存在困難，因此一般是取實(shí)船和船模的弗勞德數(shù)相等?！瞓〕7.10弗勞德數(shù)代表的是之比：〔a〕慣性力與壓力；〔b〕慣性力與重力；〔c〕慣性力與外表張力；〔d〕慣性力與粘性力。解：〔b〕7.11在安排管道閥門(mén)阻力試驗(yàn)時(shí)，首先考慮要滿足的相似準(zhǔn)那么是：〔a〕雷諾數(shù)；〔b〕弗勞德數(shù)；〔c〕斯特勞哈爾數(shù)；〔d〕歐拉數(shù)。解：由于管道閥門(mén)阻力試驗(yàn)是粘性阻力，因此應(yīng)滿足雷諾數(shù)相等?！瞓〕7.12歐拉數(shù)代表的是之比：〔a〕慣性力與壓力；〔b〕慣性力與重力；〔c〕慣性力與外表張力；〔d〕慣性力與粘性力。解：〔〕計(jì)算題7.13假設(shè)自由落體的下落距離s與落體的質(zhì)量m、重力加速度g及下落時(shí)間t有關(guān)，試用瑞利法導(dǎo)出自由落體下落距離的關(guān)系式。 解：設(shè)自由落體的下落距離 其中為落體質(zhì)量為重力加速度為下落時(shí)間為常數(shù) 根據(jù)量綱式 以基本量綱 表示各物理量量綱 根據(jù)量綱齊次原理得 解得 整理得 7.14文丘里流量計(jì)喉管流速V與流量計(jì)壓強(qiáng)差、主管直徑、喉管直徑、以及流體的密度和運(yùn)動(dòng)粘度有關(guān)，試用定理證明流速關(guān)系式為 解：設(shè) 其中—文丘里流量計(jì)喉管流速—流量計(jì)壓強(qiáng)差—主管直徑—喉管直徑—流體密度—運(yùn)動(dòng)粘度選取為3個(gè)基本量，那么其余個(gè)物理量可表達(dá)成對(duì)于：得 對(duì)于：得 即或者 7.15球形固體顆粒在流體中的自由沉降速度v與顆粒直徑d、密度以及流體的密度、粘度、重力加速度g有關(guān)，試用定理證明自由沉降速度關(guān)系式 解：設(shè) 其中—固體顆粒在流體中的自由沉降速度—顆粒直徑—顆粒密度—流體密度—粘度—重力加速度 選取為3個(gè)基本量，那么其余個(gè)物理量可表達(dá)成 對(duì)于：得 對(duì)于：得 即 或者 7.16一貯水箱通過(guò)一直徑為d的底部小孔排水，設(shè)排放時(shí)間t與液面高度h，重力加速度g，流體密度，粘度等參數(shù)有關(guān)，試用定理〔1〕取h，g，為基本量，求包含時(shí)間的無(wú)量綱量〔2〕取d，g，為基本量，求包含粘度的無(wú)量綱量解：〔1〕設(shè)取為基本量對(duì)于：得〔2〕取為基本量對(duì)于：得7.17設(shè)網(wǎng)球在空氣中飛行時(shí)，所受轉(zhuǎn)動(dòng)力矩M與網(wǎng)球的直徑d，飛行速度v，旋轉(zhuǎn)角速度，空氣的密度和粘度等因素有關(guān)，試用量綱分析方法推導(dǎo)力矩與這些參數(shù)的關(guān)系式，取，v，d為基本量解：設(shè)取為基本量對(duì)于得對(duì)于得對(duì)于得由得或者7.18如以以下圖，圓形孔口出流的流速V與作用水頭H、孔口直徑d、水的密度、粘度、重力加速度g有關(guān)，試用定理推導(dǎo)孔口流量公式。解：設(shè)—孔口出流速度，—作用水頭，—孔口直徑，—水密度，—粘度，—重力加速度 選取為3個(gè)基本量，其余3個(gè)物理量可表達(dá)成 解得 解得 即 或者 7.19單擺在粘性流體中擺動(dòng)時(shí)，其周期T與擺長(zhǎng)l、重力加速度g、流體密度以及粘度有關(guān)，試用定理確定單擺周期T與有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)選取為基本量對(duì)于：得對(duì)于：得故為單擺周期7.20 假定影響孔口溢流流量Q的因素有孔口尺寸、孔口內(nèi)外壓強(qiáng)差、液體的密度、液體的粘度，又假定容器甚大，其它邊界條件的影響可忽略不計(jì)，試用定理確定孔口流量公式的正確形式。解：設(shè)選取為基本量對(duì)于：得對(duì)于：得由于故即得令，那么流量公式為7.21為研究風(fēng)對(duì)高層建筑物的影響，在風(fēng)洞中進(jìn)展模型實(shí)驗(yàn)，當(dāng)風(fēng)速為9m/s時(shí)，測(cè)得迎風(fēng)面壓強(qiáng)為42N/m2，背風(fēng)面壓強(qiáng)為-20N/m2，試求溫度不變，風(fēng)速增至12m/s時(shí)，迎風(fēng)面和背風(fēng)面的壓強(qiáng)。解：此題在風(fēng)洞中進(jìn)展模型實(shí)驗(yàn)，由于是測(cè)試風(fēng)壓應(yīng)取歐拉數(shù)相等 即 現(xiàn) 那么 〔迎風(fēng)面〕〔背風(fēng)面〕7.22儲(chǔ)水池放水模型實(shí)驗(yàn)，模型長(zhǎng)度比尺為225，開(kāi)閘后10min水全部放空，試求放空儲(chǔ)水池所需的時(shí)間。解：方法1此題屬重力相似，取相似準(zhǔn)那么為相等，即，得 另外，由于本流動(dòng)屬于非恒定流，因此取斯特勞哈爾數(shù)〔Strouhal〕 相等， 即 式中 —特征尺度—速度—頻率 如以周期表示，那么 故 分 方法2由相等，得 排水流體容積 而 因此 故 因此 分 即放空儲(chǔ)水池時(shí)間需150分鐘。7.23防浪堤模型實(shí)驗(yàn)，長(zhǎng)度比尺為40，測(cè)得浪壓力為130N，試求作用在原型防浪堤上的浪壓力。解：防浪堤模型實(shí)驗(yàn)取相似準(zhǔn)數(shù)相等 即 ，得 由浪壓力之比為 取相似準(zhǔn)數(shù)為相等 即 ，故 因此7.24如圖溢流壩泄流實(shí)驗(yàn)，模型長(zhǎng)度比尺為60，溢流壩的泄流量為500m3/s。試求：〔1〕模型的泄流量；〔2〕模型的堰上水頭，原型對(duì)應(yīng)的堰上水頭是多少解:〔1〕溢流壩泄流實(shí)驗(yàn)，取相似準(zhǔn)數(shù)相等， 即 ， 泄流量之比 故 〔2〕按幾何相似，故 7.25一油池通過(guò)直徑為的圓管輸送原油，流量為，油的密度，運(yùn)動(dòng)粘度為。為防止油面發(fā)生渦旋將空氣卷入，需確定最小油面深度h。在1：5模型中作試驗(yàn)，通過(guò)選擇試驗(yàn)流體的運(yùn)動(dòng)粘度，實(shí)現(xiàn)模型和原型的Fr數(shù)和Re數(shù)分別相等。試求〔1〕；〔2〕；〔3〕假設(shè)，原型中h應(yīng)為多大解：〔1〕為使實(shí)現(xiàn)模型和原型的和分別相等按相等，即式中那么〔〕按相等，即那么〔〕將〔〕代入〔〕〔2〕由于故〔3〕故7.26試根據(jù)模型潛艇在風(fēng)洞中的實(shí)驗(yàn)來(lái)推算實(shí)潛艇航行時(shí)的有關(guān)數(shù)據(jù)。設(shè)模型與實(shí)艇的比例為1/10，風(fēng)洞內(nèi)壓強(qiáng)為20個(gè)大氣壓，當(dāng)風(fēng)洞的風(fēng)速為12m/s時(shí)，測(cè)得模型的阻力為120N。試求：〔1〕對(duì)應(yīng)這一狀態(tài)的實(shí)艇的航速；〔2〕在這一航速下推進(jìn)實(shí)艇所需的功率。解：查表，在常溫常壓下〔1at，15℃水空氣 設(shè)風(fēng)洞中空氣為等溫壓縮，即不度，而密度變化導(dǎo)致變化 即 時(shí)，為時(shí)，為 那么 ， 而 因此 此時(shí) 〔1〕本潛艇阻力實(shí)驗(yàn)，取相等 即 故 實(shí)艇的航速為 〔2〕當(dāng)動(dòng)力相似時(shí)，實(shí)艇與模型的阻力因數(shù)相等，即 故 故實(shí)艇所需功率 7.27比例為1/80的模型飛機(jī)，在運(yùn)動(dòng)粘度為的空氣中作實(shí)驗(yàn)，模型速度為。試求：〔1〕該模型飛機(jī)在運(yùn)動(dòng)粘度為的水中作實(shí)驗(yàn)來(lái)確定其阻力時(shí)，模型速度應(yīng)為多大〔2〕模型飛機(jī)在水中的形狀阻力為5.6N時(shí)，原型飛機(jī)在空氣中的形狀阻力為多少解：〔1〕飛機(jī)的阻力實(shí)驗(yàn)應(yīng)取相等，即 下標(biāo)表示在空氣中，下標(biāo)表示在水中， 這里〔因?yàn)槭峭伙w機(jī)模型〕 故 ②當(dāng)動(dòng)力相似時(shí)，飛機(jī)的形狀阻力因數(shù)相等，即 這里 故 7.28模型船與實(shí)船的比例為1/50，假設(shè)模型在速度為時(shí)，船模的拖曳阻力為，試求在以下兩種情況下確定實(shí)船的速度和阻力?！?〕主要作用力為重力；〔2〕主要作用力為摩擦阻力。解：〔1〕當(dāng)主要作用力為重力時(shí)，即主要測(cè)定波浪阻力，模型和實(shí)船應(yīng)取相等，即 故 此時(shí)它們的波浪阻力因數(shù)相等，即 故 〔2〕當(dāng)主要作用力為摩擦阻力時(shí)，應(yīng)取相等，即設(shè) 故 此時(shí)，它們的摩擦阻力因數(shù)相等，即 故 7.29一水雷在水下以的速度運(yùn)動(dòng)，今用比例為1/3的模型在風(fēng)洞中測(cè)定水雷的阻力，試問(wèn)：〔1〕風(fēng)洞的風(fēng)速；〔2〕假設(shè)模型受力為13.7N，水雷的形狀阻力為多大〔，海水，空氣?！辰?〔1〕測(cè)試水雷的阻力試驗(yàn),應(yīng)使相等 即 故 〔2〕水雷的模型和實(shí)物應(yīng)滿足阻力因數(shù)相等， 即 故 圓管中的流動(dòng)選擇題：8.1水在垂直管內(nèi)由上向下流動(dòng)，相距l(xiāng)的兩斷面間，測(cè)壓管水頭差h，兩斷面間沿程水頭損失，那么：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：上測(cè)壓管斷面為1，下測(cè)壓管斷面為2，設(shè)上測(cè)壓管高度為,下測(cè)壓管高度為，列1→2伯努利方程，由于速度相等，故，故，答案為()。8.2圓管流動(dòng)過(guò)流斷面上的切應(yīng)力分布為：〔a〕在過(guò)流斷面上是常數(shù)；〔b〕管軸處是零，且與半徑成正比；〔c〕管壁處是零，向管軸線性增大；〔d〕按拋物線分布。解：由于圓管中呈層流，過(guò)流斷面上速度分布為拋物線分布，設(shè)為，由牛頓內(nèi)摩擦定律(c為常數(shù))，故在管軸中心處，切應(yīng)力為零,處,切應(yīng)力為最大，且與半徑成正比，稱(chēng)為切應(yīng)力呈K字分布，答案(b)。8.3在圓管流動(dòng)中，紊流的斷面流速分布符合：〔a〕均勻規(guī)律；〔b〕直線變化規(guī)律；〔c〕拋物線規(guī)律；〔d〕對(duì)數(shù)曲線規(guī)律。解：由于紊流的復(fù)雜性，圓管的紊流速度分布由半經(jīng)歷公式確定符合對(duì)數(shù)分布規(guī)律或者指數(shù)分布規(guī)律。答案(d)。8.4在圓管流動(dòng)中，層流的斷面流速分布符合：〔a〕均勻規(guī)律；〔b〕直線變化規(guī)律；〔c〕拋物線規(guī)律；〔d〕對(duì)數(shù)曲線規(guī)律。解：對(duì)圓管層流流速分布符合拋物線規(guī)律。答案(c)。8.5變直徑管流，小管直徑，大管直徑，兩斷面雷諾數(shù)的關(guān)系是：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：圓管的雷諾數(shù)為，由于小管直徑處的流速是大管直徑處流速的4倍，即,故,答案(d)。8.6圓管層流，實(shí)測(cè)管軸上流速為，那么斷面平均流速為：〔a〕；〔b〕；〔c〕；〔d〕。解：圓管層流中，管軸處的流速為最大，而斷面平均流速是最大流速的一半，因此平均流速為0.2，答案(c)。8.7圓管紊流過(guò)渡區(qū)的沿程摩阻因數(shù)：〔a〕與雷諾數(shù)有關(guān)；〔b〕與管壁相對(duì)粗糙有關(guān)；〔c〕與及有關(guān)；〔d〕與及管長(zhǎng)l有關(guān)。解：從實(shí)驗(yàn)可知，紊流過(guò)渡區(qū)的沿程摩阻因數(shù)與雷諾數(shù)及相對(duì)粗糙度均有關(guān)。答案(c)。8.8圓管紊流粗糙區(qū)的沿程摩阻因數(shù)：〔a〕與雷諾數(shù)有關(guān)；〔b〕與管壁相對(duì)粗糙有關(guān)；〔c〕與及有關(guān)；〔d〕與及管長(zhǎng)l有關(guān)。解：圓管紊流粗糙區(qū)又稱(chēng)為阻力平方區(qū)，沿程摩阻因數(shù)僅與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。答案(b)。8.9工業(yè)管道的沿程摩阻因數(shù)，在紊流過(guò)渡區(qū)隨雷諾數(shù)的增加；〔a〕增加；〔b〕減少；〔c〕不變；〔d〕不定。解：由穆迪圖可以看出，工業(yè)管道的沿程摩阻因數(shù)隨雷諾數(shù)的增加是減小的。答案(b)。8.10兩根一樣直徑的圓管，以同樣的速度輸送水和空氣，不會(huì)出現(xiàn)情況。水管內(nèi)為層流狀態(tài)，氣管內(nèi)為紊流狀態(tài)；水管，氣管內(nèi)都為層流狀態(tài)；水管內(nèi)為紊流狀態(tài)，氣管內(nèi)為層流狀態(tài)；水管，氣管內(nèi)都為紊流狀態(tài)。解：由于空氣的運(yùn)動(dòng)粘度大約是水運(yùn)動(dòng)粘度的10倍，，當(dāng)這兩種流體的相等時(shí)，水為層流狀態(tài)，那么空氣肯定也層流狀態(tài)。〔〕8.11圓管內(nèi)的流動(dòng)狀態(tài)為層流時(shí)，其斷面的平均速度等于最大速度的倍。0.5；1.0；1.5；2.0解：圓管內(nèi)的流態(tài)為層流時(shí)，斷面的平均流速是最大速度的0.5倍。〔〕8.12紊流附加切應(yīng)力是由于而產(chǎn)生的。分子的內(nèi)聚力；分子間的動(dòng)量交換；重力；紊流元脈動(dòng)速度引起的動(dòng)量交換。解：紊流的附加切應(yīng)力是由于紊流脈動(dòng)，上下層質(zhì)點(diǎn)相互摻混，動(dòng)量交換所引起的?！病?.13沿程摩阻因數(shù)不受數(shù)影響，一般發(fā)生在。層流區(qū)；水力光滑區(qū)；粗糙度足夠小時(shí)；粗糙度足夠大時(shí)。解：當(dāng)雷諾數(shù)足夠大時(shí)，此時(shí)為阻力平方區(qū)，該區(qū)域沿程摩阻因數(shù)不受影響，而從穆迪圖上看，該區(qū)域往往管壁粗糙度足夠大?！病?.14圓管內(nèi)的流動(dòng)為層流時(shí)，沿程阻力與平均速度的次方成正比。1；1.5；1.75；2解：當(dāng)流動(dòng)為層流時(shí)，沿程阻力與平均速度的1次方成正比?！病?.15兩根直徑不同的圓管，在流動(dòng)雷諾數(shù)相等時(shí)，它們的沿程阻力因數(shù)。一定不相等；可能相等；粗管的一定比細(xì)管的大；粗管的一定比細(xì)管的小。解：在管流中，當(dāng)流動(dòng)數(shù)相等時(shí)，沿程摩阻因數(shù)可能相等，也可能不相等，這還要由管壁粗糙度及紊流三個(gè)阻力區(qū)來(lái)決定?！病秤?jì)算題 :8.16設(shè)水以平均流速流經(jīng)內(nèi)徑為的光滑鐵管，試求鐵管的沿程摩阻因數(shù)〔水溫為℃〕。解：先確定流態(tài)，查表時(shí)，流動(dòng)雷諾數(shù)>為紊流。求流動(dòng)的沿程摩阻因數(shù)有以下方法：方法1，由及紊流光滑區(qū)，查穆迪圖，得方法2，由經(jīng)歷公式，由于<<，應(yīng)用布拉修斯(Blasius) 公式8.17設(shè)水以平均流速流經(jīng)內(nèi)徑為的光滑圓管，試求：〔1〕圓管中心的流速；〔2〕管壁剪切應(yīng)力〔水溫為20℃〕。解：先求流動(dòng)雷諾數(shù)>為紊流可應(yīng)用普朗特－史里希廷〔Schlichting〕公式〔適用范圍為<<〕由于該公式對(duì)是隱式，因此先用Blasius公式來(lái)計(jì)算即然后應(yīng)用迭代法，應(yīng)用Schlichting公式得由管壁切向應(yīng)力公式切應(yīng)力速度項(xiàng)紊流光滑區(qū)流速分布公式為式中當(dāng)處，即管軸中心故圓管中心流速為8.18今欲以長(zhǎng)，內(nèi)徑的水平光滑管道輸油，問(wèn)輸油流量欲達(dá)，用以輸油的油泵揚(yáng)程為多大〔設(shè)油的密度，粘度〕解：平均流速流