數(shù)值分析課件第3章

第3章數(shù)值分析數(shù)值分析是數(shù)學的一個分支，它研究用計算機進行數(shù)值計算的方法。它是數(shù)學、計算機科學、工程學和物理學等學科的基礎。本章將介紹一些常用的數(shù)值分析方法，包括插值、數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求解、線性方程組求解以及矩陣特征值和特征向量求解。ffbyfsadswefadsgsa3.1插值插值是一種數(shù)值分析方法，用于估計已知數(shù)據(jù)點之間的函數(shù)值。1插值的概念估計已知數(shù)據(jù)點之間函數(shù)值2線性插值用直線連接兩個已知數(shù)據(jù)點3牛頓插值用多項式函數(shù)插值4拉格朗日插值用多項式函數(shù)插值5樣條插值用分段多項式函數(shù)插值插值方法廣泛應用于科學和工程領域，例如預測趨勢、模擬物理現(xiàn)象以及繪制曲線。3.1.1插值的概念定義插值是一種通過已知數(shù)據(jù)點來估計未知數(shù)據(jù)點的技術。它在數(shù)學、工程學和科學領域中廣泛應用。插值方法使用已知數(shù)據(jù)點構造一個函數(shù)，該函數(shù)可以近似地表示原始數(shù)據(jù)。應用場景插值廣泛應用于數(shù)據(jù)分析、建模、預測和數(shù)值計算。例如，插值可以用于估計離散數(shù)據(jù)點的中間值、擬合曲線或表面、或從有限數(shù)量的數(shù)據(jù)點推斷出一般趨勢。分類插值方法可以根據(jù)使用的函數(shù)類型進行分類，包括線性插值、多項式插值、樣條插值等。不同的插值方法適用于不同的數(shù)據(jù)類型和應用場景。3.1.2線性插值1定義線性插值是通過兩點插值得到一個線性函數(shù)，它能夠近似地表示這兩個點之間的函數(shù)值。該方法簡單易用，在很多應用中都有廣泛的應用。2公式線性插值的公式為：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是已知的兩個點。3應用線性插值可用于估計未知點的函數(shù)值，例如在圖像處理中用于插值圖像像素，在數(shù)據(jù)分析中用于插值缺失數(shù)據(jù)。3.1.3牛頓插值1牛頓插值公式用已知節(jié)點數(shù)據(jù)表示函數(shù)的插值多項式2遞推計算依次計算插值多項式的系數(shù)3差商利用差商簡化公式牛頓插值法是一種常用的插值方法，它通過已知節(jié)點數(shù)據(jù)構建一個多項式，該多項式在節(jié)點處與已知數(shù)據(jù)相等。牛頓插值法的優(yōu)勢在于它可以遞推計算插值多項式的系數(shù)，且利用差商可以簡化公式。3.1.4拉格朗日插值插值多項式拉格朗日插值法通過構造一個插值多項式來逼近函數(shù)，這個多項式在插值點處與函數(shù)值相同。插值節(jié)點插值節(jié)點是已知函數(shù)值的點，拉格朗日插值法需要在這些節(jié)點上進行插值。插值公式拉格朗日插值公式是一個顯式公式，可以直接計算出插值多項式。3.1.5樣條插值1樣條函數(shù)樣條函數(shù)是一段分段的多項式函數(shù)，在每個分段上具有較高的光滑度，并且能夠很好地擬合數(shù)據(jù)點。2三次樣條插值三次樣條插值是應用最廣泛的一種樣條插值方法，它保證了插值函數(shù)的一階和二階導數(shù)的連續(xù)性，從而使插值函數(shù)具有良好的光滑度和形狀。3應用場景樣條插值廣泛應用于計算機圖形學、信號處理、數(shù)據(jù)分析等領域，例如圖像平滑、曲線擬合、數(shù)據(jù)壓縮等。3.2數(shù)值積分1積分的概念積分是微積分的重要組成部分2數(shù)值積分用數(shù)值方法求解積分3梯形法則用梯形近似曲線下面積4Simpson法則用拋物線近似曲線下面積數(shù)值積分是數(shù)值分析的一個重要分支，它使用數(shù)值方法來計算定積分的值。數(shù)值積分方法的核心思想是將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，然后用一些簡單的函數(shù)來近似逼近被積函數(shù)，最后通過計算這些簡單函數(shù)在小區(qū)間上的積分來逼近整個積分的值。數(shù)值積分方法有很多種，常用的方法包括梯形法則、辛普森法則、復合梯形法則、復合辛普森法則等等。這些方法的精度和效率各不相同，需要根據(jù)具體情況選擇合適的數(shù)值積分方法。3.2.1積分的概念數(shù)值積分是利用函數(shù)在離散點上的值來近似計算定積分的過程。它廣泛應用于各種科學和工程領域，例如物理、化學和金融。1定積分函數(shù)曲線下的面積2離散點函數(shù)在特定點上的值3近似計算利用離散點近似定積分數(shù)值積分方法包括梯形法則、Simpson法則、復合梯形法則和復合Simpson法則等。3.2.2梯形法則基本原理梯形法則將曲線下的面積近似為梯形面積。梯形的上底和下底分別由函數(shù)在兩個端點處的值確定，梯形的高度為兩個端點之間的距離。公式積分值近似為(f(x0)+f(x1))*(x1-x0)/2。該公式表示梯形面積，其中f(x0)和f(x1)分別是兩個端點處的函數(shù)值，(x1-x0)是端點之間的距離。誤差分析梯形法則的誤差與函數(shù)的二階導數(shù)有關。誤差的大小與積分區(qū)間的大小和函數(shù)二階導數(shù)的絕對值成正比。3.2.3辛普森法則1原理辛普森法則是一種數(shù)值積分方法，它使用二次函數(shù)來近似被積函數(shù)。2公式該法則使用三個點上的函數(shù)值來計算積分，即區(qū)間兩端點和中點。3應用它在實際應用中廣泛用于計算曲線下的面積，例如在工程學和物理學中。3.2.4復合梯形法則復合梯形法則是一種數(shù)值積分方法，用于計算函數(shù)在給定區(qū)間上的積分。該方法將區(qū)間分成多個子區(qū)間，并使用梯形法則在每個子區(qū)間上近似計算積分。最后，將所有子區(qū)間的積分結果相加，得到整個區(qū)間的積分近似值。1區(qū)間劃分將積分區(qū)間分成多個子區(qū)間2梯形法則使用梯形法則近似計算每個子區(qū)間的積分3求和將所有子區(qū)間的積分結果相加復合梯形法則的精度比普通梯形法則更高，尤其是在區(qū)間比較大，被積函數(shù)變化劇烈的情況下。3.2.5復合Simpson法則1計算積分將區(qū)間分成多個子區(qū)間2應用Simpson法則對每個子區(qū)間分別求積分3累加結果得到整個區(qū)間的積分值復合Simpson法則是一種數(shù)值積分方法，它將積分區(qū)間分成多個子區(qū)間，然后對每個子區(qū)間應用Simpson法則求積分，最后將結果累加起來得到整個區(qū)間的積分值。與簡單的Simpson法則相比，復合Simpson法則可以更好地處理復雜的函數(shù)和較大的積分區(qū)間，因為它能夠更好地逼近積分曲線的形狀。3.3數(shù)值微分數(shù)值微分是數(shù)值分析中求解函數(shù)導數(shù)的一種方法。它利用函數(shù)在離散點上的值來近似計算函數(shù)的導數(shù)。數(shù)值微分廣泛應用于科學計算、工程設計等領域。1微分方程數(shù)值解法2數(shù)值優(yōu)化梯度下降3函數(shù)插值4數(shù)值微分數(shù)值微分方法通常基于泰勒展開式，通過利用函數(shù)在相鄰點上的值來近似計算導數(shù)。常用的方法包括前向差分、后向差分和中心差分。3.3.1微分的概念導數(shù)的近似數(shù)值微分是利用函數(shù)在離散點處的函數(shù)值來近似計算導數(shù)的方法。導數(shù)表示函數(shù)在某一點的變化率。泰勒展開式數(shù)值微分方法通?；谔├照归_式，該展開式將函數(shù)在某點附近的值表示成該點處的導數(shù)和高階導數(shù)的線性組合。誤差分析數(shù)值微分方法會引入誤差，因為它們只是對真實導數(shù)的近似。誤差的大小取決于函數(shù)的性質、采樣點的間距以及所使用的近似方法。3.3.2前向差分1定義前向差分是對函數(shù)在某點處的值與其相鄰點處值的差2公式△f(x)=f(x+h)-f(x)3應用計算導數(shù)、數(shù)值積分、微分方程求解前向差分是數(shù)值微分中常用的方法之一。它可以用來逼近函數(shù)的導數(shù)，以及解決一些微分方程問題。3.3.3后向差分1定義后向差分是利用函數(shù)在當前點和前一個點的差值來近似導數(shù)。它是數(shù)值微分的一種方法，適用于處理時間序列數(shù)據(jù)。后向差分也應用于金融分析，如計算股票價格的波動率。2公式后向差分的公式為：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h，其中h為步長。公式中的f(x)表示函數(shù)在當前點的值，f(x-h)表示函數(shù)在前一個點的值。3應用后向差分在信號處理、控制理論等領域中被廣泛應用。例如，在信號處理中，后向差分可以用于濾波和邊緣檢測。3.3.4中心差分中心差分法是數(shù)值微分的一種常用方法。該方法利用函數(shù)在某點左右兩側的函數(shù)值來逼近該點的導數(shù)。1公式f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)2優(yōu)點精度較高，誤差為O(h^2)3缺點需要兩個點的信息中心差分法常用于求解常微分方程的初值問題。3.4邊值問題定義邊值問題是指微分方程的解需要滿足給定邊界條件的問題。求解方法常見的邊值問題求解方法包括有限差分法、迭代法和矩陣法。應用場景邊值問題在物理學、工程學和數(shù)學等領域中有著廣泛的應用，例如熱傳導、彈性力學和流體力學等。3.4.1邊值問題的概念邊值問題是微分方程的一種重要類型，其解需要滿足特定的邊界條件。1邊界條件指定解在邊界上的值2微分方程描述解的導數(shù)之間的關系3解滿足微分方程和邊界條件的函數(shù)邊值問題在物理、工程和金融等領域都有廣泛的應用，例如熱傳導、波動方程和期權定價等。3.4.2有限差分法1差分近似將導數(shù)用差商近似，用差商近似微分方程，得到差分方程2差分方程用差分方程代替微分方程，用代數(shù)方法求解3誤差分析分析差分方法產生的誤差，選擇合適的網(wǎng)格步長控制誤差3.4.3迭代法迭代法的概念迭代法是一種求解邊值問題的一種數(shù)值方法。它通過不斷迭代，逐步逼近問題的解。迭代法的步驟首先，我們需要選擇一個初始解。然后，我們使用迭代公式，不斷更新解，直到滿足精度要求。迭代法的類型常見的迭代法包括雅可比迭代法，高斯-賽德爾迭代法和SOR迭代法。3.4.4矩陣法矩陣法是求解線性方程組的常用方法，它將方程組轉化為矩陣形式，并通過矩陣運算來求解未知數(shù)。矩陣法可以方便地用計算機實現(xiàn)，而且對于大規(guī)模方程組，矩陣法比其他方法更有效率。11.矩陣形式將方程組轉化為矩陣形式。22.高斯消元對矩陣進行初等變換，將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣。33.回代法從最后一個方程開始，依次解出未知數(shù)。矩陣法應用廣泛，例如在求解線性規(guī)劃問題、控制系統(tǒng)設計、圖像處理等領域都有著重要的應用。3.5初值問題1定義初值問題是求解微分方程的一種類型，其中給定初始條件。2應用初值問題廣泛應用于物理學、工程學、經(jīng)濟學等領域，例如求解運動方程、熱傳導方程等。3求解方法常用的初值問題求解方法包括歐拉法、龍格-庫塔法等數(shù)值方法。3.5.1初值問題的概念初值問題是指給定一個微分方程，以及其在某一點的解的值，要求求出該微分方程的解。初值問題是數(shù)學中一個重要的課題，它在許多應用領域都有著重要的應用，例如物理學、工程學、經(jīng)濟學等。3.5.2歐拉法1歐拉法的原理歐拉法是一種簡單的一階數(shù)值方法，用于求解微分方程的初值問題。它利用前一個時間步的解來估計下一個時間步的解，并使用導數(shù)來估計解的斜率。2歐拉法的公式歐拉法的公式為：y_(i+1)=y_i+h*f(t_i,y_i)，其中y_i是時間t_i處的解，h