浙江省紹興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試題含解析

Page21浙江省紹興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測(cè)試題一、選擇題（共10小題，每小題分，滿分40分）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再依據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法得到，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】由，得，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D3.已知實(shí)數(shù)，滿意不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.6 B.4 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】首先畫出不等式表示的平面區(qū)域，再畫出初始目標(biāo)函數(shù)表示的直線，再利用幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的及其內(nèi)部，令，則，所表示的直線如圖中虛線所示，平移該直線，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值6.故選：A.4.關(guān)于直線l，m及平面α，β，下列命題中正確的是（）A.若lα，α∩β=m，則lmB.若lα，mα，則lmC.若l⊥α，lβ，則α⊥βD.若lα，l⊥m，則m⊥α【答案】C【解析】【分析】依據(jù)線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)及線面平行、垂直的性質(zhì)和判定推斷各選項(xiàng)的正誤.詳解】A，若lα，α∩β=m，則l與m可能相交，平行或者異面；故錯(cuò)誤；B，若lα，mα，則l與m平行?相交或者異面；故錯(cuò)誤；C，若l⊥α，lβ，依據(jù)線面垂直?線面平行的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故正確；D，若lα，l⊥m，則m與α可能平行；故錯(cuò)誤；故選：C.5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷出函數(shù)為奇函數(shù)，解除B，D，又在區(qū)間上，解除A，得出答案.【詳解】解：依據(jù)題意，，其定義域?yàn)?，又由，即函?shù)為奇函數(shù)，解除B，D，在區(qū)間上，，，則，解除A，故選：C.6.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出在的對(duì)稱軸和，依據(jù)圖像推斷出，關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于對(duì)稱，即可求得.【詳解】函數(shù)令，可得：，.∵∴令，可得一條對(duì)稱軸方程.∴令，可得一條對(duì)稱軸方程.函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可知，關(guān)于其中一條對(duì)稱是對(duì)稱的，即，關(guān)于其中一條對(duì)稱是對(duì)稱的.即那么.故選：B.【點(diǎn)睛】求幾個(gè)零點(diǎn)的和通常利用對(duì)稱軸即可求解.7.已知點(diǎn)不共線，為實(shí)數(shù)，，則“”是“點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界）”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用向量共線的推論及充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若，且，可知三點(diǎn)共線，若，點(diǎn)在內(nèi)部（不含邊界），則；反之不成立，例如時(shí)，此時(shí)在外部，所以“”是“點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界）”的必要不充分條件，故選：B.8.若兩圓（）和（）恰有三條公切線，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】分別求出兩圓得圓心與半徑，再依據(jù)兩圓恰有三條公切線，可得兩圓外切，從而可求得，再依據(jù)，利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：圓化為，則圓心為，半徑，圓化為，則圓心為，半徑，因?yàn)閮蓤A（）和（）恰有三條公切線，所以兩圓外切，則圓心距，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的內(nèi)切圓半徑為A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)拋物線的性質(zhì)可知從而當(dāng)最小，即AP與拋物線相切時(shí)，的值最?。蟪鰭佄锞€過A點(diǎn)的切線方程得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入面積公式得出面積即可．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為，則．．當(dāng)PA與拋物線相切時(shí)，最小，即取得最小值．設(shè)過A點(diǎn)的直線與拋物線相切，代入拋物線方程得，，解得．即，解得，把代入得．或．．所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r所以，所以．故選：A．10.已知數(shù)列滿意（），，則當(dāng)時(shí)，下列推斷不肯定正確是（）A. B.C. D.存在正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，由已知可得，有基本不等式可得當(dāng)時(shí)，，從而可推斷；對(duì)于B，利用放縮法可得，即可得，再依據(jù)，即可推斷；對(duì)于C，利用放縮法舉出反例即可推斷；對(duì)于D，由，得，再利用放縮法可得，從而可求得得范圍，即可推斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋ǎ?，?dāng)時(shí)，，所以與同號(hào)，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?duì)隨意都成立，故B正確；對(duì)于C，由，得，，，，命題可化為，所以，即，當(dāng)，時(shí)，成立，考慮較小時(shí)，若此時(shí)較大，則不成立，比如，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，所以，要使，只需保證，所以只需，所以存在正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，恒成立，故D正確.故選：C.二、填空題（共7小題，每小題4分，滿分36分）11.雙曲線的右焦點(diǎn)為______，右焦點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程求得，即可得出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出右焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：由雙曲線，得，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：；.12.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度是______，該幾何體的體積是______.【答案】①.3②.【解析】【分析】由三視圖可得該幾何體為底面是以2為邊長(zhǎng)的正方形，高為1的四棱錐，依據(jù)四棱錐的圖形即可求得最長(zhǎng)棱，依據(jù)錐體的體積公式即可求得體積.【詳解】解：由三視圖可得該幾何體為底面是以2為邊長(zhǎng)的正方形，高為1的四棱錐，作出該幾何體，如圖所示，底面，則最長(zhǎng)棱為，該幾何體的體積.故答案為：3；.13.若的綻開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則___________；該綻開式中的系數(shù)為___________.【答案】①.6②.15【解析】【分析】由題意，可得，寫出綻開式的通項(xiàng)公式，令，代入即可得解的系數(shù)【詳解】∵的綻開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，∴，∴，則綻開式中的通項(xiàng)為：，令，解得，∴該綻開式中的系數(shù)為故答案為：6，15.14.對(duì)某試驗(yàn)項(xiàng)目進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試方法：①共進(jìn)行3輪測(cè)試；②每輪測(cè)試2次，若至少合格1次，則本輪通過，否則不通過.已知測(cè)試1次合格的概率為，假如各次測(cè)試合格與否互不影響，則在一輪測(cè)試中，通過的概率為________；在3輪測(cè)試中，通過的次數(shù)X的期望是________.【答案】①.②.##【解析】【分析】依據(jù)給定條件利用獨(dú)立事務(wù)概率的乘法公式求出兩次都不合格的概率即可得通過的概率；再利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，一輪測(cè)試的2次都不合格的概率，所以在一輪測(cè)試中，通過的概率為；在3輪測(cè)試中，通過的次數(shù)X的全部可能值為：0，1，2，3，一輪測(cè)試就是一次試驗(yàn)，有通過與不通過兩個(gè)結(jié)果，因此，，則，所以通過的次數(shù)X的期望是.故答案為：；15.已知函數(shù)，分別是定義在R上偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿意，若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】或【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，從而可求得，令，可得函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，由題意可得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因?yàn)椋?，所以，令，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，所以，即，即，解得或.故答案為：或.16.已知平面對(duì)量，，滿意，，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】已知綻開聯(lián)立方程組，解得，利用將兩者建立起關(guān)系，解不等式得的范圍﹒【詳解】∵，∴．∵，∴，∴，且∵，解得，∴，即的最小值為，故答案為：﹒17.如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，O分別為棱，，的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】易證得，引入?yún)f(xié)助角變量，設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可推斷所求角的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面與平面重合，不妨設(shè)，則，則，，則，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，因?yàn)橹本€與平面所成角為，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.三、解答題（共5小題，滿分74分）18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得，從而可得；（2）由（1）和正弦定理化簡(jiǎn)得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍．【小問1詳解】依據(jù)正弦定理，由得，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以【小?詳解】依據(jù)正弦定理∴，∴故其中（）又.當(dāng)時(shí)，取最大值19.如圖，在空間四邊形ABCD中，平面平面ABC，，，，.（1）求證：；（2）已知BC與平面ABD所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)過在平面內(nèi)作的延長(zhǎng)線于，連接，依據(jù)勾股定理可得，由線面垂直判定定理可得面，即可得線線垂直；（2）先證明OA,OB,OD兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角及二面角即可得解.【小問1詳解】過在平面內(nèi)作的延長(zhǎng)線于，連接，如圖，則中,則，,在中，由余弦定理可知,即，滿意,即有，

又因?yàn)?所以面，則.【小問2詳解】因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊥AC，則DO⊥平面ABC，所以BO⊥DO，又有BO⊥AC，DO⊥AC，則有OA,OB,OD兩兩垂直.以為原點(diǎn)，、?分別為，，軸，建系，設(shè)，則，，，，則，設(shè)，分別為面，面的法向量，則由,取，所以BC與平面ABD所成角的正弦為，解得或(舍)，由,令，可得，則故二面角的余弦值為.20.已知數(shù)列滿意，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，若對(duì)隨意n∈N*，都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題目中的遞推公式和等差數(shù)列的定義證明即可；（2）首先可得，，然后推斷出{}的單調(diào)性，得到其最大的一項(xiàng)，然后可得答案.【小問1詳解】證明：由an，得，∴，即，n∈N*，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，∴．依題意，恒成立．其中．下面通過推斷{}的單調(diào)性，求其最大值．由，所以當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)∴，則，解得t或t3．∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是．21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，其離心率為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】(1)設(shè)出橢圓C的半焦距，依據(jù)離心率及三角形面積列出方程組求解即得.(2)當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理計(jì)算探討即可得解，然后探討直線l斜率不存在的狀況作答.【小問1詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為c，因離心率為，則，由橢圓性質(zhì)知，橢圓短軸的端點(diǎn)到直線的距離最大，則有，于是得，又，聯(lián)立解得，所以橢圓C的方程為：.【小問2詳解】由(1)知，點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)，，，由消去y并整理得，，，，假定在x軸上存在定點(diǎn)Q滿意條件，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l：與橢圓C交于點(diǎn)A，B，由對(duì)稱性不妨令，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，，所以存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特別入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；(2)干脆推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22.已知函數(shù)在處取得極值為的導(dǎo)數(shù)．（1）若，探討的單調(diào)性；（2）若，的取值集合是，求中的最大整數(shù)值與最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析；（2）最大整數(shù)值是16，最小整數(shù)值是0．【解析】【分析】（1）求得，依據(jù)，再由，解得或，分，和三種狀況探討，即可求解；（2）由，求得，當(dāng)時(shí)，不合題意，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得，令，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得的范圍，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，可得，又由，即，解得或，①若，則，在上單調(diào)遞增，與在處取得極值沖突，故．②若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．③若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)