福建省福州市2025屆高三數學上學期開學試題含解析

Page15福建省福州市2024屆高三數學上學期開學試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由得，所以，因為，所以，故選D.【考點】一元二次不等式的解法，集合的運算【名師點睛】對于集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，經常借助數軸或韋恩圖處理.2.函數＋的定義域為（）A. B.(－∞，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(3，＋∞)【答案】C【解析】【分析】依據偶次根式函數被開方數大于等于零與分母不為零列不等組即可求解.【詳解】要使函數＋有意義，則所以，解得且，所以函數＋的定義域為∪(3，＋∞).故選：C3.已知實數則（）A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b【答案】A【解析】【分析】依據指數函數、對數函數的性質計算可；【詳解】解：因為，所以，因為，所以，因為，所以，即，，，所以，故選：A4.若函數，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】依據分段函數的解析式，先計算，再計算即可.【詳解】因為，所以，所以故選：C.5.函數的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關于直線對稱，解除C、D；當時，，所以，解除B.【詳解】設，因為，所以的圖象關于軸對稱.所以的圖象關于直線對稱，解除C、D；當時，，所以，解除B.故選：A.【點睛】本題主要考查了利用函數解析式求解圖像問題，解決本類題時，通常是利用函數的單調性、奇偶性、函數值等解除選項.屬于較易題6.已知弧度的圓心角所對的弦長為，那么這個圓心角所對的弧長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得扇形半徑，再利用扇形弧長公式求得結果.【詳解】弧度的圓心角所對的弦長為，半徑，所求弧長為.故選：C.7.已知sin（）=，則（）的值等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：因為sin（）=，則（）=sin（）=，選B8.設函數是奇函數的導函數，．當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，由已知條件可得，所以在上單調遞增，由和為奇函數，可得為奇函數，且，從而由的單調性可得答案【詳解】因為當時，，所以，故令，則，故在上單調遞增.因為，所以，又因為為奇函數，所以為奇函數，所以，且區(qū)間上，單調遞增.所以使得，即成立的的取值范圍是.故選：B9.下列函數中為奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據奇函數的定義推斷即可.【詳解】解：對于A：定義域為，且，故為奇函數，故A正確；對于B：定義域為，且，故為奇函數，故B正確；對于C：定義域為，但是，故為偶函數，故C錯誤；對于D：定義域為，且，故為奇函數，故D正確；故選：ABD二．多選題（共3小題）10.下列命題中是假命題的有（）A.有四個實數解B.設，，是實數，若二次方程無實根，則C.若，則D.若，則函數的最小值為2【答案】AD【解析】【分析】依據方程根的求解，利用對勾函數求最值得方法，以及二次方程根的狀況與系數之間的關系，結合選項進行逐一分析即可.【詳解】對：令，簡單知其為偶函數，又當時，令，解得；故函數有兩個零點，即，故錯誤；對：若二次方程無實根，故可得，即可得，故正確；對：，則，解得，且，此時肯定有，故正確；對：令，，則原函數等價于，依據對勾函數的單調性可知，該函數在區(qū)間上是單調增函數，故可得函數的最小值為.故錯誤.故選：.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.g（x）的圖象關于直線對稱 B.g（x）的圖象關于點對稱C.g（x）在區(qū)間上單調遞增 D.g（x）在區(qū)間上有兩個零點【答案】AC【解析】【分析】利用對稱軸處有最值推斷A選項；從圖象的平移角度推斷B選項；C選項，通過的范圍推斷單調性；D選項，求出的零點推斷．【詳解】A選項，，取到最大值，A選項說法正確；B選項，的圖象為向上平移1個單位，故對稱中心的縱坐標為1，B選項說法錯誤；C選項，當時，，又在上單調遞增，所以單調遞增，C選項說法正確；D選項，令，得，即，故在區(qū)間上沒有零點，D選項說法錯誤．故選：AC．12.關于函數，下列敘述正確的是（）A.是偶函數 B.在區(qū)間單調遞增C.的最大值為2 D.在有4個零點【答案】AC【解析】【分析】依據函數的奇偶性、單調性、最值，零點等概念結合正弦函數性質推斷各選項．【詳解】，是偶函數，A正確；時，，單調遞減，B錯誤；，且，因此C正確；在上，時，，時，，的零點只有共三個，D錯．故選：AC．三．填空題（共3小題）13.求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=_____．【答案】0【解析】【詳解】試題分析：依據題意，利用余弦的和差公式可得cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°，利用特別角的三角函數值可得答案．解：依據題意，原式=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°=0，故答案為0．考點：兩角和與差的余弦函數．14.已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．【答案】二【解析】【分析】由點P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，從而得到α所在的象限．【詳解】因為點P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，則角α的終邊在其次象限，故答案為二．點評：本題考查第三象限內的點的坐標的符號，以及三角函數在各個象限內的符號．15.如圖所示，是可導函數，直線l：是曲線在處的切線，若，則__________．【答案】【解析】【分析】依據切點坐標及導數的幾何意義，利用乘積的運算法則求導數值即可.【詳解】由題意可知直線l：是曲線在處的切線，切點坐標為，由導數的幾何意義可知，解得，所以，，因為，則，令，代入可得，故答案為：.【點睛】本題考查了導數的幾何意義應用，導數乘積運算法則應用，屬于基礎題.16.已知R上的偶函數在區(qū)間上單調遞增，且恒有成立，給出下列推斷：①；②在上是增函數；③的圖象關與直線對稱；④函數在處取得最小值；⑤函數沒有最大值，其中推斷正確的序號是______．【答案】①④【解析】【分析】由可得函數的圖象關于點對稱，結合偶函數可得是周期函數，再逐一分析各個命題推斷作答.【詳解】由恒成立知，函數的圖象關于點對稱，又是偶函數，由得，則有，即，因此，是周期為4的周期函數，對于①，在中，當時，，則，①正確；對于②，是偶函數，且在上單調遞增，則在上單調遞減，而的圖象關于點對稱，所以在上是減函數，②不正確；對于③，函數的圖象關于點對稱，③不正確；對于④，由①②的信息知，在上單調遞減，由是偶函數知，在上單調遞增，由周期是4知，在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得最小值，④正確；對于⑤，由④的信息知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數取得最大值，⑤不正確.故答案為：①④【點睛】論點睛：函數的定義域為D，，存在常數a，b使得，則函數圖象關于點對稱.四．解答題（共6小題）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由集合描述分別求得，，利用集合的交運算求即可；（2）依據有解集為的取值范圍.【詳解】（1）由，解得，即；當時，可化為，即，解得，即，∴；（2），．∵，∴，解得，所以的取值范圍是．【點睛】本題考查了集合，由集合描述求出集合，利用集合的基本運算求交集，依據包含關系求參數范圍.18.已知．（I）求的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（II）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1），；（2）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（I）結合降冪公式以及協(xié)助角公式化簡函數的解析式，從而可以求出最小正周期與單調遞減區(qū)間；（II）先求出，結合的圖象與性質求得，進而可以求出結果.【詳解】（I）所以最小正周期;因為在上單調遞減，所以，即，所以單調遞減區(qū)間為；（II）因為，所以，故，因此，所以，因此函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為.19.在中，角所對的邊分別為，且滿意．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，線段的中垂線交于點，求線段的長.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcosC+sinCsinB＝0，結合sinB＞0，可求tanC＝﹣1，結合范圍0＜C＜π，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cosB的值，設BC的中垂線交BC于點E，在Rt△BCD中，可求BD的值．【詳解】（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1∵0＜C＜π∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，設BC的中垂線交BC于點E，∵在Rt△BCD中，，∴．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂線的性質的綜合應用，考查了數形結合思想的應用，屬于基礎題．20.已知函數的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）將函數的圖象向左平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數的單調遞減區(qū)間.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）干脆利用函數的圖象求出函數的關系式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，進一步利用函數的圖象的平移改變和伸縮改變的應用求出，再利用正弦函數的單調性得單調區(qū)間即可【詳解】（Ⅰ）由已知圖象得，則.因為，所以.因為，，所以.所以．（Ⅱ）由題可得：向左平移得y=2cosx,橫坐標再縮短到原來的倍得故．因為，所以.所以的單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查的學問要點：三角函數關系式的恒等改變，函數的圖象的平移改變和伸縮改變的應用，函數單調性，主要考察學生的運算實力和轉換實力，屬于基礎題型．21.已知函數，曲線在處的切線方程為．（1）求函數的解析式；（2）求的極值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）依據導數的幾何意義，及切點在切線也在曲線上，解得，的值，進而得出解析式．（2）在（1）的基礎上求導數，先分析單調性，再求極值即可．【小問1詳解】，則，又因為曲線在處的切線方程為，所以，因為切點在切線上也在曲線上，所以，所以，，所以的解析式為．【小問2詳解】定義域為，，令，得或，所以在，上，，單調遞增，在上，，單調遞減，所以，．22.某市為提高市民健康水平，擬在半徑為200米的半圓形區(qū)域內修建一個健身廣場，該健身廣場（如圖所示的陰影部分）分休閑健身和兒童活動兩個功能區(qū)，圖中矩形區(qū)域是休閑健身區(qū)，以為底邊的等腰三角形區(qū)域是兒童活動區(qū)，，，三點在圓弧上，中點恰好在為圓心．設，健身廣場的面積為．（1）求出關于的函數解析式；（2）當角取何值時，健身廣場的面積最大？【答案