浙江專用2024-2025學年高二數學上學期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題01數列重點新人教A版

專題01數列（重點）一、單選題1．下列有關數列的說法正確的是（

）A．同一數列的隨意兩項均不行能相同 B．數列，0，2與數列2，0，是同一個數列C．數列2，4，6，8可表示為 D．數列中的每一項都與它的序號有關【答案】D【分析】依據數列的定義和表示方法，逐項判定，即可求解.【解析】對于A中，常數列中隨意兩項都是相等的，所以A不正確；對于B中，數列，0，2與2，0，中數字的排列依次不同，不是同一個數列，所以B不正確；對于C中，表示一個集合，不是數列，所以C不正確；對于D中，依據數列的定義知，數列中的每一項與它的序號是有關的，所以D正確.故選：D.2．已知a是4與6的等差中項，b是與的等比中項，則（

）A．13 B． C．3或 D．或13【答案】D【分析】依據等差中項得到，依據等比中項得到，計算得到答案.【解析】a是4與6的等差中項，故，b是與的等比中項，則，則，或.故選：D3．在等比數列中，已知，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】用基本量表示出來可以求；或者考慮下標和公式.【解析】在等比數列中，，解得，則.故選：A.4．已知等比數列的前項和為，則實數的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【解析】等比數列的前項和為，當時，可得，可得，當時，，則所以因為為等比數列，所以，即解得，經檢驗符合題意.故選：C．5．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由題目條件及等差數列前n項和公式列出方程，可得答案.【解析】設{an}首項為，公差為d.因S3＝6，S4＝12，則.則.故選：C6．已知等比數列的前項和為，若，公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據等比中項的性質可得，解方程即可得數列中的項，進而可得首項與公比，求得.【解析】由等比中項的性質得，又，解得或，當時，或（舍），當時，（舍），所以，，此時，所以，故選：D.7．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由到，左邊增加了（

）A．1項 B．k項 C．項 D．項【答案】D【分析】分別分析當與時等號左邊的項，再分析增加項即可【解析】由題意知當時，左邊為，當時，左邊為，增加的部分為，共項．故選：D8．已知數列的通項公式為，且數列是遞增數列，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用遞增數列的定義即可.【解析】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C9．已知數列滿意，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造等差數列，結合等差數列的通項公式，求得，再求結果即可.【解析】依據題意可得：，則，故數列是首項為，公差為的等差數列，則，，故.故選：B.10．若數列滿意，，則數列中的項的值不行能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數列滿意的遞推關系及，依次取代入計算，能得到數列是周期為4的周期數列，得項的全部可能值，推斷選項即得結果.【解析】數列滿意，，依次取代入計算得，，，，，因此接著下去會循環(huán)，數列是周期為4的周期數列，全部可能取值為：.故選：D.11．已知數列的前n項和為，，且，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．C．是等比數列 D．是等比數列【答案】C【分析】依據已知條件，令代入，求得，推斷A；結合數列前n項和與的關系式，求出時，結合，推斷C,求出，即可推斷B;利用可得，構造出，即可推斷D．【解析】由題意數列的前項和為，，且，則，即，所以即選項A正確；因為①，∴當時，②，①-②可得，，即，當時，，不滿意，故數列不是等比數列，故C錯誤，由時，可得，則，故，故B正確；由得：所以令，則所以所以，即，故是首項為，公比為4的等比數列，D正確，故選：C.12．圖1是第七屆國際數學教化大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，假如把圖2中的直角三角形接著作下去，記的長度構成的數列為，由此數列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由幾何關系得，即可求出等差數列的通項，從而求得的通項.【解析】由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，由.故選：B．13．已知數列和首項均為1，且，，數列的前n項和為，且滿意，則（

）A．2024 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用條件得到，進而得到，代入，利用與的關系推得是等差數列，進而求出，代入即可求得結果.【解析】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，數列是首項為1，公差為2的等差數列，，故，.故選：D.14．已知數列滿意，，數列的前項和為，若對隨意的正整數，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據題意累加法求得，再依據裂項相消求和解決即可.【解析】當，，所以，解得：，當n=1適合因為，所以，又因為是單調遞增數列，所以有，對隨意的正整數，都有，所以，故選：C二、多選題15．已知數列，則這個數列的通項公式可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】依據各選項的通項公式寫出前幾項，推斷是否與已知數列前幾項相同，即可確定正確選項.【解析】A，，取前六項得0，1，0，1，0，1，不滿意條件；B，，取前六項得1，0，1，0，1，滿意條件；C，，取前六項得1，0，1，0，1，滿意條件；D，，取前三項得1，0，，不滿意條件；故選：BC.16．數列{an}的前n項和為Sn，，則有（

）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數列C．an＝2·3n－1 D．【答案】ABD【分析】依據求得，進而求得以及推斷出是等比數列.【解析】依題意，當時，，當時，，，所以，所以，所以.當時，；當時，符合上式，所以.，所以數列是首項為，公比為的等比數列.所以ABD選項正確，C選項錯誤.故選：ABD17．正項等比數列的前項和為，已知，．下列說法正確的是（

）A． B．是遞增數列C．為等比數列 D．是等比數列【答案】BC【分析】設等比數列的公比為，則，依據題意求出、的值，可推斷A選項；利用數列的單調性可推斷B選項；求出的表達式，利用等比數列的定義可推斷C選項；利用等差數列的定義可推斷D選項.【解析】設等比數列的公比為，則，，即，則.對于A選項，，A錯；對于B選項，對隨意的，，，故數列是遞增數列，B對；對于C選項，，則，所以，，故數列為等比數列，C對；對于D選項，，故數列是等差數列，D錯.故選：BC.18．設等差數列的前n項和為，，公差為，，，則（

）A．B．當時，取得最大值C．D．使得成立的最大自然數是15【答案】ABC【分析】依據等差數列等差中項的性質，求和公式及單調性分別推斷.【解析】因為，，所以，則，當時,取得最大值，，因為，，，所以使得成立的最大自然數是，故選：ABC．19．已知等差數列滿意，前項和，則（

）A．數列的通項公式為B．數列的公差為C．數列的前項和為D．數列的前22項和為【答案】BCD【分析】通過基本量計算得和d，可推斷ABC；用裂項相消法求和可推斷D.【解析】由題知，，解得，則，，故A錯，BC正確；記的前n項和為，因為，所以所以，故D正確.故選：BCD20．設，．若，則稱序列是長度為n的0—1序列．若，，則（

）A．長度為n的0—1序列共有個 B．若數列是等差數列，則C．若數列是等差數列，則 D．數列可能是等比數列【答案】AC【分析】A選項，可依據分步乘法計數原理求出；B選項，依據等差數列定義得到為定值，分與兩種狀況探討求出答案；C選項，依據數列是等差數列，推導出；D選項，假設數列是等比數列，推出沖突.【解析】由分步乘法計數原理可知：選0或1，均有2種選擇，故共有個，A正確；因為數列是等差數列，所以為定值，當，則，則，當，則，則，B錯誤；若數列是等差數列，則為定值，只有能滿意要求，故，C正確；若數列是等比數列，則為定值，且，因為，所以，，所以，若，則，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，數列不行能是等比數列，D錯誤.故選：AC三、填空題21．設是等比數列，且，，則的值是___________.【答案】32【分析】依據題意可求得等比數列的公比，再依據，即可求得答案.【解析】由是等比數列，設公比為q，且，，則可得，故，所以，故答案為：32.22．設等比數列的首項為1，公比為q，前n項和為.令，若也是等比數列，則__.【答案】【分析】依據等比數列的定義，由即可求得.【解析】當時，，則，，（是常數），即不是等比數列,所以.所以，，，則有，即，即，所以，解得或(舍).故答案為：.23．已知是等比數列，公比大于1，且，．記為在區(qū)間中的項的個數，則數列的前30項的和的值為______．【答案】【分析】由題知，，，，，，，再依據題意求解的前30項，并求和即可.【解析】解：設等比數列的公比為，因為是等比數列，，，所以，，解得，或，（舍去），所以，，，，，，，，所以對應區(qū)間為，則；，對應的區(qū)間分別為，，都只有一項，則；，，，對應的區(qū)間分別為，，，，都只有，兩項，則；，，，，，，，對應的區(qū)間分別為，，，，，，，，都只有，，三項，即；，，…對應的區(qū)間分別為，，…，，都只有，，，四項，；所以．故答案為：24．在數列中，，，數列滿意，．若，，，則數列的前2024項和為_________．【答案】【分析】將數列的前2024項和分解為奇數項和與偶數項和進行求解.【解析】由已知得，，所以，即數列前2024項中偶數項的和為：.又由已知得，，所以，即奇數項為公比為－1的等比數列，即，即前2024項中奇數項和為1；綜上所述，前2024項和為．故答案為：四、解答題25．記為數列的前項和，已知，是公差為的等差數列.(1)求的通項公式；(2)設，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）依據等差數列的定義，寫出數列的通項公式，整理可得數列的遞推公式，利用累乘法，可得答案；（2）利用分組求和法以及等差數列求和公式，可得答案.【解析】（1）由是公差為的等差數列，且，則，即，當時，，兩式相減可得：，整理可得，故，將代入上式，，故的通項公式為.（2）由，則.26．已知數列的通項公式為.(1)推斷是不是數列中的項；(2)推斷數列中的項是否都在區(qū)間內；(3)推斷在區(qū)間內有沒有數列中的項.【答案】(1)不是(2)數列中的項都在區(qū)間內(3)有【分析】（1）先化簡，再令可求解問題；（2）通過求的范圍可推斷；（3）通過解不等式可求解.(1)因為，所以由，解得.因為不是正整數，所以不是數列中的項.(2)因為，，，所以，所以數列中的項都在區(qū)間內.(3)令，即，則解得.又，所以.故在區(qū)間內有數列中的項，且只有一項，是其次項，即.27．設數列的前項和為，已知，__________.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前項和為，證明：.從下列兩個條件中任選一個作為已知，補充在上面問題的橫線中進行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：①數列是以為公差的等差數列；②.【答案】(1)選擇①②，都有；(2)證明見解析.【分析】（1）選擇①，依據等差數列的通項公式，求得；再依據與之間的關系即可求得結果；選擇②，利用的關系消去，構造等差數列，與①同理，即可求得結果；（2）依據（1）中所求求得，再利用裂項求和法求得，即可證明.【解析】（1）若選擇①數列是以為公差的等差數列，明顯其首項為故，故；當時，，當時，，滿意.故的通項公式為；若選擇②即，整理得：故，即數列是首項為，公差為的等差數列，與選擇①相同，故的通項公式為.（2）依據（1）中所求可得：，則故又，故可得.28．已知數列的首項，.(1)求證：肯定存在實數，使得數列是等比數列.(2)是否存在互不相等的正整數使成等差數列，且使成等比數列？假如存在，請給以證明：假如不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）結合已知條件，利用等比數列定義即可證明；（2）首先假設成立，并結合（1）中結論求出的通項公式，進而可得到和，最終利用基本不等式即可推斷.【解析】（1）因為，所以，由，欲使數列是等比數列，則只需，即.此時，故存在，使得數列是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）中可知，，即，假設存在互不相等的正整數使成等差數列，且使成等比數列，故

，，即，從而

，由基本不等式可知，，這與沖突，故不存在互不相等的正整數使成等差數列，且使成等比數列.29．已知數列滿意，，.(1)若，①求數列的通項公式；②若，求的前項和.(2)若，且對，有，證明：.【答案】(1)①；②(2)證明見解析【分析】（1）①將代入，利用“取倒數”構造等差數列，即可求解.②先將數列的通項公式寫出并綻開，再利用分組求和即可得到答案.（2）將代入，先求出的通項公式，再利用基本不等式即可證明結論.（1）①當時，，因為，所以，可知，所以，即，所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以，即.②由①得，所以，所以所以.（2）證明：當時，，則，因為，所以又因為與不能同時成立，所以上式等號不成立，即對，.30．設，若無窮數列滿意以下性質，則稱為數列：①，（且）．②的最大值為k．(1)若數列為公比為q的等比數列，求q的取值范圍，使得為數列．(2)若數列滿意：，使得成等差數列，①數列是否可能為等比數列？并說明理由；②記數列滿意，數列滿意，且，推斷與的單調性，并求出時，n的值．【答案