初中數(shù)學(xué)競賽絕對值

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(62)

絕對值

甲內(nèi)容提要

i.絕對值的定義：正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零.

a{a>0)

用式子表示如下：時=?—a(a<0)

0(a=0)

2.初中階段學(xué)習(xí)含絕對值符號的代數(shù)式化簡，方程、不等式的解法，以及函數(shù)作圖等.解答

時，一般是根據(jù)定義先化去絕對值符號，這時關(guān)健是按已知條件判斷絕對值符號內(nèi)的式

子的值是正或是負(fù)，若含有變量的代數(shù)式，不能確定其正、負(fù)時，則采取零點分區(qū)討論

法.例如：

X<0?0<x<2

1--------------------c

(1)化簡|x(x-2)|--------------------°---------------------------------D--------------------->

02

解：當(dāng)x=0,x=2時，|x(x-2)|=0；

當(dāng)x<0或x>2時，\x{x—2)|=x(x—2)=x2—2x；

當(dāng)0<x<2時，—2)|=-X(X—2)=—X2+X.

(2)解方程國+二6.

解：當(dāng)x<0時，x=-2；

當(dāng)0WxW2時，方程無解；

當(dāng)x>2時，x=4.

，原方程的解是：x=-2,x=4..

(3)作函數(shù)廣國+上一2|的圖象.

解：化去絕對值符號,得y=—2x+2(x<0)；

y=2(0WxW2)

y=2x—2(x>2).

分別作出上述三個函數(shù)的圖象(如圖)，就是函數(shù)y=W+|x—2］的圖象.

3.絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上一個數(shù)的絕對值，就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離.

用這一定義，在解含絕對值符號的方程、不等式時，?？捎糜^察法.

例如：①解方程W=3；②解不等式國<3；③解不等式|x+2|>3.

解：①兇=3的幾何意義是：x是數(shù)軸上到原點的距離等于3個單位的點所表示的數(shù),

即3和一3,

，方程W=3的解是x=3,x=-3.

②???N<3的幾何意義是：X是數(shù)軸上到原點的距離小于3個單位的點所表示的數(shù)，

...不等式W<3的解集是一3<x<3.

③：|x+2|的零點是x=-2,

???k+2|>3的幾何意義是：x是數(shù)軸上到點（一2）的距離大于3個單位的點所表

示的數(shù)，

???卜+2|>3的解集是*〈-5或*>1.（如下圖）

?_________II_________J_）

-5-201/

4.絕對值的簡單性質(zhì)：

①絕對值是非負(fù)數(shù)；②兩個互為相反數(shù)，它們的絕對值相等.

根據(jù)這些性質(zhì)，可簡化函數(shù)的作圖步驟.例如：

（1）對整個函數(shù)都在絕對值符號內(nèi)時，可先作出不含絕對值符號的圖象，再把橫軸下方的

部份，繞x軸向上翻折

作函數(shù)圖象：①y=|x_[②丫=,2_》_2|

（2）當(dāng)f（一x）=f（x）,圖象關(guān)于縱軸對稱，這時可先作當(dāng)x<0時函數(shù)圖象，再畫出關(guān)于縱

軸對稱的圖象.

例如：y=x2-2|R-3的圖象，

可先作y=x?+2x—3自變量x<0時的圖象（左半圖）

再畫右半圖（與左半圖關(guān)于縱軸對稱）.

（3）把丫=兇的圖象向上平移同個單位，所得圖象解析式是丫=國+同；

（4）利用圖象求函數(shù)最大值或最小值，判斷方程解的個數(shù)都比較方便.

乙例題

例1.已知方程W=ax+1有一個負(fù)根并且沒有正根，求a的值.

（1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

一1

解：當(dāng)x<0時，原方程為一x=ax+1x=-------<0,a+l>0.

。+1

a>—1；

1八

當(dāng)x>0時，原方程為x=ax+l,x=------>0,1—a>0.

\—a

a<l.

?.?方程有一個負(fù)根并且沒有正根,

a>-1且at1,

??.a的取值范圍是aeL

例2.求函數(shù)y=2,一3|-|乂的最小、最大值.

解：當(dāng)x<0時，y=-x+6；

當(dāng)0Wx<3時，y=—3x+6；

當(dāng)xN3時，y=x—6.

根據(jù)圖象有最低點而沒有最高點

???函數(shù)沒有最大值只有最小值一3（當(dāng)x=3時）.

例3.解方程：①|(zhì)x+2|=|4—?、诓?l|+|x-N=4.

解：①???點（x）到點A（-2）和點B（4）的距離相等（如下圖）,

x=l.

②?.?點(X)到點A(-1)與到點B(2)的距離的和等于4,|Ag=3

例4.解不等式：①lW|x+2|W3；②,+1|-上一］>1.

解：①點(x)到點A(-2)的距離大于或等于1而小于或等于3

在數(shù)軸上表示如圖，

，不等式的解集是：-5WxW—3或一iWxWl

②點(x)到點(-1)的距離，比到點(2)的距離大1個單位以上.

在數(shù)軸上表示，如圖：

不等式的解集是x>L

例5.a取什么值時，方程歸一2|-1|=。有三個整數(shù)解？

(1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

解：化去絕對值符號，得——l=±a,|x-2|=1±a,x—2=±(1±a),

?*.x=2±(l+a).

當(dāng)a=l時，x恰好是三個解4,2,0.

用圖象解答更直觀；

(1)先作函數(shù)y-||x-2|-l|圖象，

(2)再作y=a(平行于橫軸的直線)與丫=忖-2|-1|圖象相交,

恰好是三個交點時，y=l,

即a=l.

本題若改為：

有四個解，則0。<1；

兩個解，則a=0或a>l；

一個解，則a不存在；

無解，則a<0.

丙練習(xí)62

i.方程,+m=4的解是.

2.方程|x-2|-|x+6|=0的解是.

3.方程卜+1|+僅一N=3的解是.

4.方程,一3|+W=5的解是.

5.不等式2W|x-3|W5的解集是.

6.不等式,+1|+,一2|<5的解集是.

7.不等式上+1|+,一2|<3的解集是.

8.不等式—的解集是.

9.已知J(X-3)2=3-x,那么|1—.+x=.

10.關(guān)于x的方程W=ax+2有根且只有負(fù)根，求a取值范圍.

11.a取什么值時，方程卜無解？有解？有最多解？

12.作函數(shù)y=|x+2|+|x—l|+|x—3|的圖象；并求在一3《xW3中函數(shù)的最大、最小

值.

13.解方程,―1|+卜一5|=4.

14.作函數(shù)丫=卜-司+1的圖象.

15.選擇題：(1972、1973年美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)

①.對于實數(shù)x,不等式Ix—2I<7等價于()

(A)xWl或x23(B)1WXW3(C)—