專題15 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（學(xué)生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題15等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數(shù)的符號：任意，則(為正數(shù))、或(為負(fù)數(shù))三種情況有且只有一種成立.兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：； ③兩個異號實數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：④任何實數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號語言：，.比較兩個實數(shù)大小的法則：對任意兩個實數(shù)、①；②；③.對于任意實數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立.知識點詮釋：這三個式子實質(zhì)是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).知識點二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運算性質(zhì)有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則(實質(zhì)是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)(式)的大小題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典例例題】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系例1．(2023·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末)鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c(單位：cm)，這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為(

)A．且 B．且C．且 D．且例2．(2023·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí))將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為(

)A． B．或C． D．例3．(2023·西藏林芝·高一?？计谥?下列說法正確的是(

)A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”變式1．(2023·黑龍江雙鴨山·高一?？计谥?完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請工人滿足的關(guān)系式是(

)A． B．C． D．變式2．(2023·全國·高一專題練習(xí))在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外(含100米)為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x(單位：厘米)應(yīng)滿足的不等式為(

)A． B． C． D．變式3．(2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中?？奸_學(xué)考試)在數(shù)軸上點對應(yīng)的數(shù)分別是，點在表示和的兩點之間(包括這兩點)移動，點在表示和0的兩點(包括這兩點)之間移動，則以下四個代數(shù)式的值，可能比2021大的是(

)A． B．C． D．題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)(式)的大小例4．(2023·高一課時練習(xí))比大?。篲____．例5．(2023·湖南郴州·高一校考階段練習(xí))已知，，則的大小關(guān)系是_______．例6．(2023·四川成都·高一?？茧A段練習(xí))已知，，則與的大小關(guān)系為__________．變式4．(2023·吉林長春·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)、為實數(shù)，比較兩式的值的大小：_______(用符號或=填入劃線部分)．變式5．(2023·全國·高一專題練習(xí))，則的大小關(guān)系為_______．變式6．(2023·上海寶山·高一?？计谥?如果，，那么，，從小到大的順序是___________題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例7．(多選題)(2023·高一單元測試)如果滿足，且，那么下列不等式中一定成立的是()A． B．C． D．例8．(多選題)(2023·全國·高一專題練習(xí))下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例9．(多選題)(2023·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知∈R，則下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式7．(多選題)(2023·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí))下列不等式成立的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則變式8．(多選題)(2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中)若是不為0的實數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是(

)A． B． C． D．變式9．(多選題)(2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末)若，，則下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例10．(2023·高一課時練習(xí))證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．例11．(2023·河北石家莊·高一?？计谥?(1)比較與的大?。?2)已知，求證：；例12．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中)證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．變式10．(2023·高一課時練習(xí))閱讀材料：(1)若，且，則有(2)若，則有．請依據(jù)以上材料解答問題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．變式11．(2023·河北衡水·高一?？茧A段練習(xí))已知，，求，的取值范圍．題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小例13．(2023·高一課時練習(xí))已知，則下列結(jié)論不正確的是(

)A． B． C． D．例14．(2023·高一課時練習(xí))若，則(

)A． B． C． D．例15．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校校考期中)設(shè)、、為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是(

)A． B． C． D．變式12．(2023·福建泉州·高一?？计谥?若，一定成立的是(

)A． B．C． D．變式13．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知，且，則下列結(jié)論中正確的是(

)A． B．C． D．變式14．(2023·安徽合肥·高一?？计谀?下列命題為真命題的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例16．(2023·高一課時練習(xí))已知，則的取值范圍是__________．例17．(2023·江西贛州·高一上猶中學(xué)?？贾軠y)若α，β滿足，則的取值范圍是______________例18．(2023·貴州貴陽·高一校聯(lián)考期中)已知，，則的取值范圍是______.變式15．(2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知，，則的取值范圍是______．變式16．(2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí))若，，則的取值范圍是_________.變式17．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？茧A段練習(xí))已知，則的取值范圍是__________.變式18．(2023·高一課時練習(xí))若、滿足，則的取值范圍是______．變式19．(2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)校考階段練習(xí))若實數(shù)，滿足，則的取值范圍為__．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？计谀?已知，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．(2023·山東濟寧·高一曲阜一中校考期末)已知，，則的范圍是(

)A． B． C． D．3．(2023·高一課時練習(xí))下列各式中，不能判斷其符號的是(

)A． B． C． D．4．(2023·高一課時練習(xí))若，則(

)A． B． C． D．5．(2023·高一單元測試)設(shè)，，則有(

)A． B．C． D．6．(2023·廣西·高一校聯(lián)考期中)下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則7．(2023·高一?？颊n時練習(xí))下列說法中，錯誤的是(

)A．若，則一定有 B．若，則C．若，則 D．若，則8．(2023·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中)設(shè)，，，則P，Q，R的大小順序是(

)A． B．C． D．二、多選題9．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知實數(shù)，則下列不等式正確的是(

)A． B． C． D．10．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，則下列結(jié)論正確的為(

)A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則11．(2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末)已知為實數(shù)，則(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．(2023·吉林長春·高一?？茧A段練習(xí))已知，，則下列不等式不正確的是(

)A． B．C． D．三、填空題13．(2023·高一課時練習(xí))已知均為實數(shù)，有下列說法:①若，則;②若，則;③若，則;④若，則.其中，正確的結(jié)論是________.(填序號)14．(2023·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末)已知對于實數(shù)，，滿足，，則的最大值為______.15．(2023·上海黃浦·高一上海外國語大學(xué)附屬大境中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，有四個推理：①；②；③；④，其中正確的序號是_____．16．(2023·青海玉樹·高一校聯(lián)考期末)已知，則__________．(填“＞”“＜”或“＝”)四、解答題17．(2023·全國·高一專題練習(xí))用比較法證明以下各題：(1)已知，．求證：．(2)已知，．求證：．18．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知，求的取值范圍．19．(2023·云南曲靖·高一會澤縣實驗高級中學(xué)校校考階段練習(xí))(1)用作差法比較多項式與的大??；(2)已知，，判斷與的大小關(guān)系，并證明.20．(2023·高一單元測試)解答下列問題(1)設(shè)，，，比較與的大小；(2)已知，，求的取值范圍.21．(