6.2 指數(shù)函數(shù)（十大題型）-蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練（解析版）

第第頁6.2指數(shù)函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)通過指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的理解與應(yīng)用，提升直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（1）了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念.（2）掌握指數(shù)函數(shù)的圖象及簡(jiǎn)單性質(zhì).（3）會(huì)用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題.知識(shí)點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)椋R(shí)點(diǎn)詮釋：（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如（且）的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)．（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：①如果，則②如果，則對(duì)于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．③如果，則是個(gè)常量，就沒研究的必要了．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)時(shí)圖象時(shí)圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，時(shí)，⑤時(shí)，時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當(dāng)時(shí)，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．【即學(xué)即練2】（2023·浙江金華·高一艾青中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；(3)解關(guān)于m的不等式【解析】（1）任取，則，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又因?yàn)榉仙鲜?，故的解析式為：?（2）在上單調(diào)遞增.證明：任取且，，因?yàn)?，則，所以，，又，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)?，是奇函?shù)，所以原不等式可化為，則，又因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，則，即，所以或.知識(shí)點(diǎn)03指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：，若均為正數(shù)，則，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得此時(shí)函數(shù)圖象過一、二、三象限，即C正確；若均為負(fù)數(shù)，則，此時(shí)函數(shù)過二、三、四象限，由選項(xiàng)A、D可知異號(hào)，不符合題意排除，選項(xiàng)B可知圖象過原點(diǎn)則也不符合題意，排除.故選：C題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B． C． D．，且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)的概念得，解得或．當(dāng)時(shí)，底數(shù)是1，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意.故選：C．例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指數(shù)函數(shù)解析式為且，對(duì)于①②④，、和不符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，①②④錯(cuò)誤；對(duì)于③，符合指數(shù)函數(shù)解析式特征，③正確.故選：B.例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，可得函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)不是指數(shù)函數(shù).故選：C.變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對(duì)于①，函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，不在指數(shù)位置，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于②，函數(shù)的底數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于③，函數(shù)中的指數(shù)式的系數(shù)不為，故不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于④，函數(shù)的底數(shù)滿足，符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù).故選：A.變式2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A,是冪函數(shù)，對(duì)于B，系數(shù)不為1，不是指數(shù)函數(shù)，對(duì)于C,是底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)，對(duì)于D,底數(shù)不滿足大于0且不為1，故不是指數(shù)函數(shù)，故選：C【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以.故選：C例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，故選：C例6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則.故選：D變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時(shí)，且，所以解得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】系數(shù)為1．題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的解析式為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)（且），則，解得，故.故選：D例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過，所以，解得，所以，則，故選：B例9．（2023·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，滿足的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：D.變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】為指數(shù)函數(shù)，可設(shè)且，，解得：，.故選：B.變式5．（2023·河北滄州·高一滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，則，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)．故選：B變式6．（2023·高一單元測(cè)試）指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則a的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【解析】則定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:.例11．（2023·天津?yàn)I海新·高一天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？计谥校┎徽撉覟楹沃?，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，不論為何值時(shí)，此時(shí)函數(shù)，所以的圖象經(jīng)過點(diǎn).故答案為：例12．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┖瘮?shù)（且）的圖像一定過點(diǎn).【答案】【解析】函數(shù)（且），令可得，即函數(shù)恒過點(diǎn).故答案為：變式7．（2023·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┖瘮?shù)且的圖象必經(jīng)過點(diǎn)．【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)且的圖象必經(jīng)過點(diǎn)，故答案為：變式8．（2023·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┖瘮?shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)是.【答案】【解析】當(dāng)，即時(shí)，為定值，此時(shí)，故（且）的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：【方法技巧與總結(jié)】令指數(shù)為0求解題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問題例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，函數(shù)為減函數(shù)，從而有；法一：由圖象，函數(shù)與軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，令，得，由，即，解得.法二：函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的，則，即.故選：D.例14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）指數(shù)函數(shù)與的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是下降的，所以；又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是上升的，所以.故選：C.例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】因?yàn)橛?，根?jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，排除B、D；時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除A．故選：C．變式9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線但不與該直線相交，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由題意得，即，時(shí)，，故，故，解得.故選：A變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知：.令，解得，則，對(duì)應(yīng)只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B變式11．（2023·云南大理·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】∵，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，故選：B【方法技巧與總結(jié)】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡(jiǎn)單地記作：在軸的右邊“底大圖高”，在軸的左邊“底大圖低”．題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例16．（2023·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【解析】要使原式有意義需滿足，即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則．【答案】【解析】由題意可知，不等式的解集為，則，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，合乎題意.故答案為：.例18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）函數(shù)的定義域是，值域是．（2）函數(shù)的定義域是，值域是．【答案】（0，1]【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得出，即，故值域?yàn)椋?）要使得函數(shù)有意義，只需，即，故定義域?yàn)?，且，即函?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋海?）；（2）；變式12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，，故函數(shù)值域?yàn)椋?，故答案為?變式13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)樵瘮?shù)的值域?yàn)?，即，則，解得.故答案為：.變式14．（2023·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）函數(shù)．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)，令，若恒成立，則對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的，恒成立，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值1，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】設(shè)，則，換元得，顯然當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?變式16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則a的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，因此，而?dāng)時(shí)，，必有，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：.變式17．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】，則在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0，由，得或，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)闀r(shí)，，故答案為：變式18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，，即時(shí)，，又時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋粷M足題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)此時(shí)值域?yàn)?，不滿足題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，，即時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，又時(shí)，；則時(shí)，且，不等式解得：，不等式等價(jià)于時(shí)，，設(shè)（），因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，等價(jià)于，即，則不等式解得：，所以時(shí)，的解集為，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.變式19．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，則a=【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，最小值為，故，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，最小值為，故，解得或（舍去），綜上或.故答案為：或變式20．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上的最大值為.【答案】7【解析】令，則.所以即為.因?yàn)閷?duì)稱軸為，所以在.上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，為最大值.故答案為：7變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．【解析】（1）要使函數(shù)式有意義，則，即．因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以．故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以，即函?shù)的值域?yàn)?；?）定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，又，所以函?shù)的值域?yàn)椋兪?2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域與值域．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因?yàn)椋?，故定義域?yàn)?設(shè)，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以且，故值域?yàn)榍?（2）函數(shù)，，所以定義域?yàn)?設(shè)，因?yàn)?，，所以，故值域?yàn)?（3）因?yàn)椋?，解得，故定義域?yàn)?因?yàn)?，所以，即，故值域?yàn)?【方法技巧與總結(jié)】求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性，求定義域使表達(dá)式有意義．題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)在R上為增函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】因?yàn)樵赗上為奇函數(shù)，則，即，解得或.時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)镽，由函數(shù)和都在R上為增函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，且，滿足函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，，在R上為減函數(shù)，不合題意.所以.故選：A.例20．（2023·河北唐山·高一唐山市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：由冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，不符合；B：由，在上單調(diào)遞增，不符合；C：由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知：在上單調(diào)遞減，符合；D：由，在上不單調(diào)，不符合；故選：C例21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，又，解得．故選：C．變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，對(duì)稱軸為，∵是上的增函數(shù)，∴要使在區(qū)間單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，即，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．變式24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，所以二次函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：C變式25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.變式26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：A【方法技巧與總結(jié)】研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡(jiǎn)便些，一般地有：即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)與的單調(diào)性相反．題型八：比較指數(shù)冪的大小例22．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，，所以.故選：C.例23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，即.故選：D.例24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，，且在上遞增，，，故選：A變式27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則，所以，，，故，故選：C.變式28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由單調(diào)遞增，則可知，即B正確.故選：B.變式29．（2023·高一單元測(cè)試）的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由在R上單調(diào)遞減，知，而，所以,故選：B.【方法技巧與總結(jié)】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)（如0，1等）分別與之比較，從而得出結(jié)果．總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷．題型九：解指數(shù)型不等式例25．（2023·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【解析】由題意可得：，即，，解得，所以原不等式的解集為：.故答案為：例26．（2023·安徽滁州·高一?？计谀┎坏仁降慕饧癁椋敬鸢浮?，【解析】不等式可化為，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以，移項(xiàng)、通分整理為，此不等式等價(jià)于或解得或．所以原不等式的解集為，．故答案為：，．例27．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】，由可得：，解得：，不等式的解集為.故答案為：.變式30．（2023·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為.【答案】【解析】設(shè)，則函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)椋屎瘮?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，由可得，可得，所以，，即，解?因此，不等式的解集為.故答案為：.變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】構(gòu)建函數(shù)，，可得函數(shù)單調(diào)遞增，，，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，因此函數(shù)在上是增函數(shù)．，，解得，于是不等式的解集為．故答案為：.變式32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】原式可化為，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，即，解得或，所以原不等式的解集為.故答案為：.變式33．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校懗鍪埂安坏仁剑ㄇ遥?duì)一切實(shí)數(shù)都成立”的的一個(gè)取值．【答案】（答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，可得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，由，可得．因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切實(shí)數(shù)都成立，所以，所以的取值可為．故答案為：（答案不唯一）．變式34．（2023·安徽馬鞍山·高一安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？计谥校┎坏仁綄?duì)于恒成立，則的取值范圍是．【答案】【解析】由得，得，即對(duì)于恒成立，設(shè)，顯然開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值0，則，即a的取值范圍為.故答案為：.變式35．（2023·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)滿足，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，同理：時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖像，如圖所示：且在和上都為增函數(shù)，由，得到，即，由圖像可得.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．題型十：判斷函數(shù)的奇偶性例28．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎x域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于的不等式.【解析】（1）由定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，可得，即有，即恒成立，所以；（2）由于，可得函數(shù)在上為增函數(shù)．證明：任取，，且，則，因?yàn)椋?，又，所以，即，所以函?shù)在上為增函數(shù)．（3）由（2）得，奇函數(shù)在上為增函數(shù)，不等式等價(jià)為，即，令，則，所以，解得．即不等式的解集為.例29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)且為減函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且定義域?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，滿足條件為奇函數(shù)，故.（2）為奇函數(shù)，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，令，其圖象對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，故，故要使對(duì)恒成立，則，即.例30．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)若為奇函數(shù)，求．【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù).（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，解得變式36．（2023·安徽淮北·高一淮北市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)為奇函數(shù).(1)求的值，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)求不等式的解集.【解析】（1）∵是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?，則，，所以，符合為奇函數(shù)，證明：任取，且，則，由，可得，則，，∴，即，∴函數(shù)在上是增函數(shù).（2）∵函數(shù)在上是奇函數(shù)∴又函數(shù)在上是增函數(shù)∴令為，則解得即∴不等式的解集為變式37．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求的值；(2)在（1）的條件下，求的值域．【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以.（2）,令，則，因?yàn)?，所以，所以的值域．變?8．（2023·全國·高一期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求常數(shù)的值；(2)判斷的單調(diào)性并給出證明．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于是奇函數(shù)，可得，即解得∴函數(shù)（2）在與上都是減函數(shù)，證明如下任取則,當(dāng)時(shí)，，，所以,故有,當(dāng)當(dāng)時(shí)，，，所以,故有,綜上知，在與上都是減函數(shù)變式39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)求證：是奇函數(shù)；(2)用單調(diào)性的定義證明：在R上是增函數(shù)．【解析】（1）由題意可知：的定義域是R，對(duì)任意的，均有，即，所以是奇函數(shù)．（2）因?yàn)椋O(shè)是R上的任意兩個(gè)值，且，則，因?yàn)?，且在R上是增函數(shù)，則，可得，故，即，故在R上是增函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性的性質(zhì)求解．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【解析】∵應(yīng)滿足，∴，∴定義域?yàn)椋蔬x：D.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)在R上為增函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】因?yàn)樵赗上為奇函數(shù)，則，即，解得或.時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)镽，由函數(shù)和都在R上為增函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，且，滿足函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，，在R上為減函數(shù)，不合題意.所以.故選：A.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】C【解析】令，得，所以.故選：C5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以可化為因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得，即的取值范圍是，故選：A6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?；因?yàn)?，所以，故，所以為奇函?shù)，排除B，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，、均趨向于正無窮大，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除D，由，，則，排除C.故選：A.7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)任意的，總有且，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)函數(shù)，可得，即，可設(shè)（其中為常數(shù)），所以，所以，所以，所以，可得.故選：D.8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】令，則，對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域與的定義域相同，均為R，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，在定義域上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C不正確，D正確.故選：ABD.10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（

）A．在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．的值域是【答案】BC【解析】根據(jù)題意知，，在定義域上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BC11．（2023·寧夏銀川·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．，且，則恒成立C．D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，，由于是R上的增函數(shù)，故在R上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，且，，則，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，且，故，則，故，即的值域?yàn)?，D正確，故選：AD12．（2023·福建泉州·高一?？计谥校?duì)于函數(shù)定義域中任意的，當(dāng)時(shí)，結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．．【答案】ACD【解析】因?yàn)椋瑢?duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：不妨設(shè)，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，則，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，且，即，所以，即，所以，故D正確.故選：ACD．三、填空題13．（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┒x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，解得.設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，即當(dāng)時(shí)，.故答案為：14．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值為．【答案】【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，所以的最小值為.故答案為：15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若