第8章 函數(shù)應(yīng)用 章末題型歸納總結(jié) -蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練（解析版）

第第頁第8章函數(shù)應(yīng)用章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：函數(shù)的零點(diǎn)經(jīng)典題型二：幾個(gè)函數(shù)模型的比較經(jīng)典題型三：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用經(jīng)典題型四：二分法經(jīng)典題型五：零點(diǎn)分布問題經(jīng)典題型六：函數(shù)與方程綜合問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：函數(shù)的零點(diǎn)例1．（2023·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表x1234y1.213.7910.28以下說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能無零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯(cuò)誤，故選：D.例2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】先繪制在上的圖像，根據(jù)是奇函數(shù)，可得到在上圖像和，再由得到的周期為2，令，則，所以，即可得到的圖像，由圖可知，，所以在有6個(gè)零點(diǎn)，故選：D．例3．（2023·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，，得，，，則為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別做出，，和的圖像，如圖所示，由圖可知，，故選：A．例4．（2023·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎瘮?shù)，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】A【解析】因?yàn)?，解之得?，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，的圖象如圖：由圖可知使得或的點(diǎn)有4個(gè).故選：A.例5．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.例6．（2023·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，即；因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以；，易知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以；所?故選：B.例7．（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，且為定義在上的奇函數(shù),所以,可得且在上單調(diào)遞增,由，得．又因?yàn)椋?可得,為定義在上的奇函數(shù),又可得,根據(jù)題意作出滿足要求的的大致圖像,由圖知，直線與的圖像有4個(gè)公共點(diǎn)，所以有4個(gè)零點(diǎn)．故選：A.例8．（2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對(duì)任意恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】設(shè)，則，方程等價(jià)為，令，則，滿足方程，∵函數(shù)單調(diào)遞增，∴值唯一，∴，由得，解得，故函數(shù)的零點(diǎn)為.故選:B.例9．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不等式的解集為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則，不等式的解集為，即的解集為.設(shè)方程的兩根為，則，且，∴，則，整理得，.故選：C.例10．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┤羰呛瘮?shù)的零點(diǎn)，則屬于區(qū)間（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即.又為上的減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn).故選：B．例11．（2023·北京順義·高一牛欄山一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，且滿足，則下列說法不正確的是（

）A．有且只有一個(gè)零點(diǎn) B．的零點(diǎn)在內(nèi)C．的零點(diǎn)不可能在內(nèi) D．的零點(diǎn)可能在內(nèi)【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，A正確，B正確；因?yàn)椋缘牧泓c(diǎn)不可能在內(nèi)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以的零點(diǎn)不可能在內(nèi)，D錯(cuò)誤；故選：D.經(jīng)典題型二：幾個(gè)函數(shù)模型的比較例12．（2023·上海·高一專題練習(xí)）有一條長(zhǎng)為米的步行道，A是垃圾投放點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)，現(xiàn)要建設(shè)另一座垃圾投放點(diǎn)，把點(diǎn)到和的距離中較小的稱為點(diǎn)的垃圾投放距離，記為函數(shù)．(1)若，求的值，并寫出的函數(shù)解析式；(2)若可以通過與坐標(biāo)軸圍成的面積來測(cè)算扔垃圾的便利程度，面積越小越便利．問：垃圾投放點(diǎn)建在何處才能比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利？【解析】（1）由題意可知投放點(diǎn)，表示點(diǎn)的垃圾投放距離，所以，同理分析，，由題意得，，則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；綜上；（2）由題意及（1）易得，所以，則與坐標(biāo)軸圍成的圖形如陰影部分所示，所以與坐標(biāo)軸圍成的面積，又由題意知，即，即垃圾投放點(diǎn)建在與之間時(shí)，比建在中點(diǎn)時(shí)更加便利．例13．（2023·山東日照·高三統(tǒng)考期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其他成本投入（如培育管理?施肥等人工費(fèi)）元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求單株利潤(rùn)（元）關(guān)于施用肥料（千克）的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料的成本投入為多少元時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）依題意可得，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，圖象開口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，因?yàn)?，所以?dāng)投入4元時(shí)，該水果單株利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為480元.例14．（2023·云南昆明·高一云南師大附中?？计谥校┖贾輥嗊\(yùn)會(huì)田徑比賽10月5日迎來收官，在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌.人類長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段.現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段由于體力消耗過大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動(dòng)（表示該階段所用時(shí)間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請(qǐng)回答下列問題：(1)請(qǐng)寫出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；(2)該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少?【解析】（1）由題可先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，代入與公式可得解得；（2）①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過程中最小值；②疲勞階段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為，由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值.例15．（2023·江蘇常州·高一校聯(lián)考期中）某電子公司在2023年生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，其固定成本為200萬元，每生產(chǎn)一萬臺(tái)該電子產(chǎn)品需再增加投入10萬元，已知總收入R（單位：萬元）關(guān)于總產(chǎn)量x（單位：萬臺(tái)）滿足函數(shù)：(1)將利潤(rùn)（單位：萬元）表示成關(guān)于總產(chǎn)量x（單位：萬臺(tái)）的函數(shù)；(2)當(dāng)總產(chǎn)量（單位：萬臺(tái)）為何值時(shí)，該電子公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少萬元？（利潤(rùn)＋總成本＝總收入）.【解析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，可得，所以當(dāng)時(shí)，萬元；

當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以萬元，所以，當(dāng)總產(chǎn)量為50萬臺(tái)時(shí)，公司獲得的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為300萬元.例16．（2023·廣東廣州·高一廣州市協(xié)和中學(xué)?？计谥校┬∶鹘衲暌辉乱蝗沼?4萬元購(gòu)進(jìn)一輛汽車，每天下午跑滴滴出租車，經(jīng)估算，每年可有16萬元的總收入，已知使用年（）所需的各種費(fèi)用（維修、保險(xiǎn)、耗油等）總計(jì)為萬元（今年為第一年）(1)該出租車第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？(2)該車若干年后有兩種處理方案：①當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以1萬元價(jià)格賣出；②當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以10萬元賣出．試問哪一種方案較為合算？請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由題意可得總收入，令，解得，又該出租車第三年開始盈利；（2）總收入①，當(dāng)時(shí)，盈利總額達(dá)到最大值，此時(shí)將車以1萬元價(jià)格賣出，得到年時(shí)間共盈利萬；②年平均利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，又，故年平均利潤(rùn)最大值為，此時(shí)年總利潤(rùn)，明顯方案②總利潤(rùn)高，時(shí)間少，故方案②合算.例17．（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考期中）某廠家生產(chǎn)并銷售某產(chǎn)品，設(shè)該產(chǎn)品的產(chǎn)量為件，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為萬元，生產(chǎn)該產(chǎn)品的月固定成本為400萬元．已知每件該產(chǎn)品的售價(jià)為10萬元，且該廠家生產(chǎn)的該產(chǎn)品均可售完．當(dāng)月產(chǎn)量低于600件時(shí)，萬元；當(dāng)月產(chǎn)量不低于600件時(shí)，萬元．(1)求月利潤(rùn)（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量（件）的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時(shí)，該廠家能獲得最大月利潤(rùn)？并求出最大月利潤(rùn)（單位：萬元）．【解析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)產(chǎn)量為件時(shí)，生產(chǎn)總成本為萬元．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為400萬元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故當(dāng)月產(chǎn)量為700件時(shí)，該廠家能獲得最大月利潤(rùn)，最大月利潤(rùn)為586萬元．例18．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┠赤l(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)．某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量即（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【解析】（1）由已知；（2）由（1）得，即由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，綜上，當(dāng)時(shí)取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為480元.例19．（2023·北京西城·高一北京育才學(xué)校?？计谥校┬∪A在某市場(chǎng)獨(dú)家經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1噸虧損300元.小華為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130噸該農(nóng)產(chǎn)品.以（單位：噸，）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)，該市場(chǎng)該農(nóng)產(chǎn)品需求量.（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)小華銷售該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).(1)分別求當(dāng)時(shí)，的值；當(dāng)時(shí)，的值；(2)將表示為的函數(shù)；(3)求出下一個(gè)銷售季度利潤(rùn)不少于57000元時(shí)，市場(chǎng)需求量的范圍.【解析】（1）由題意，即，當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元.（2）由（1）知：.（3）當(dāng)，令，可得，則；當(dāng)，恒成立，則；綜上，.例20．（2023·云南紅河·高一開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？计谥校?020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我們控制住了疫情接著我們一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來的損失為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量即該廠的年產(chǎn)量萬件與年促銷費(fèi)用m萬元滿足），已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品元(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？【解析】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品的銷售價(jià)格為元，且，所以2020年的利潤(rùn)；（2）由（1）可知，令，所以，，當(dāng)，即，即時(shí)，取得最小值8，所以，故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬元．經(jīng)典題型三：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例21．（2023·陜西榆林·高一?？计谥校榱藨?yīng)對(duì)第四季度3DNAND閃存顆粒庫存積壓的情況，某閃存封裝公司擬對(duì)產(chǎn)能進(jìn)行調(diào)整，已知封裝閃存的固定成本為300萬元，每封裝萬片，還需要萬元的變動(dòng)成本，通過調(diào)研得知，當(dāng)不超過120萬片時(shí)，；當(dāng)超過120萬片時(shí)，，封裝好后的閃存顆粒售價(jià)為150元/片，且能全部售完.(1)求公司獲得的利潤(rùn)的函數(shù)解析式；(2)封裝多少萬片時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn)？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為，則的最大值為（萬元）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為730（萬元），，封裝160萬片時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn).例22．（2023·陜西漢中·高一校聯(lián)考期中）某廠每年生產(chǎn)某種產(chǎn)品x萬件，其成本包含固定成本和浮動(dòng)成本兩部分．已知每年固定成本為10萬元，浮動(dòng)成本若每萬件該產(chǎn)品銷售價(jià)格為40萬元，且每年該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡．(1)設(shè)年利潤(rùn)為（萬元），試求與x的關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量x為多少萬件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．【解析】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，取得最大值110．∴當(dāng)年產(chǎn)量為40萬件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為110萬元，例23．（2023·陜西漢中·高一校聯(lián)考期中）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常．排氣后8分鐘測(cè)得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為32ppm（ppm為濃度單位．一個(gè)ppm表示百萬分之一），再過8分鐘又測(cè)得濃度為8ppm．由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度與排氣時(shí)間t（分鐘）存在函數(shù)關(guān)系（c，m為常數(shù)）．(1)求c，m的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.25ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)?【解析】（1）∵函數(shù)（c，m為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得，．（2）由（1）得，令，解得．故至少排氣36分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)．例24．（2023·河南·高一洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某生活超市經(jīng)銷某種蔬菜，經(jīng)預(yù)測(cè)從上架開始的第且天，該蓅菜天銷量（單位：）為.已知該種蔬菜進(jìn)貨價(jià)格是3元，銷售價(jià)格是5元，該超市每天銷售剩余的該種蔬菜可以全部以2元的價(jià)格處理掉.若該生活超市每天都購(gòu)進(jìn)該種蔬菜，從上架開始的5天內(nèi)銷售該種蔬菜的總利潤(rùn)為元.(1)求的解析式；(2)若從上架開始的5天內(nèi)，記該種蔬菜按5元售價(jià)銷售的總銷量與總進(jìn)貨量之比為，設(shè)，求的最大值與最小值.【解析】（1）由第天銷量為，可得前5天銷量依次為，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以的解析式為.（2）從上架開始的5天內(nèi)該種蔬菜的總進(jìn)貨量為，當(dāng)時(shí)，，可得則，因?yàn)榕c在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以，.例25．（2023·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校?023年10月11日，連接貴陽至廣州的貴廣高鐵正式提速，按最高時(shí)速300公里運(yùn)營(yíng)，并同步加密列車開行頻次，我國(guó)西南地區(qū)至珠三角及粵港澳大灣區(qū)的高鐵運(yùn)行時(shí)間進(jìn)一步壓縮.目前，鐵路部門將在貴廣高鐵線路上開行列車177列，根據(jù)客流變化在高峰時(shí)段增加高峰線12列；其中，貴陽站至廣州南站130列.貴廣高鐵提速將有效提升高鐵運(yùn)輸能力和效率，對(duì)密切西南與華南地區(qū)往來交流、推動(dòng)成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟(jì)圈和粵港澳大灣區(qū)高質(zhì)量發(fā)展具有重要意義.現(xiàn)在已知列車的發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為720人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客星為396人．記列車載客量為．(1)求的表達(dá)式；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值．【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，解得，所以.（2）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為84元．例26．（2023·福建漳州·高一福建省漳州第一中學(xué)校考期中）購(gòu)買某種機(jī)器時(shí)可同時(shí)購(gòu)買維修服務(wù)，購(gòu)買次維修服務(wù)的總費(fèi)用為元，．購(gòu)買1次維修服務(wù)的總費(fèi)用為150元，購(gòu)買2次維修服務(wù)的總費(fèi)用為250元，當(dāng)時(shí)，的圖象上所有點(diǎn)都在同一條直線上；當(dāng)時(shí)，的圖象上所有點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．(1)求的解析式；(2)問：購(gòu)買幾次維修服務(wù)能使平均每次的維修費(fèi)用最少？【解析】（1）當(dāng)且時(shí)設(shè)，則，解得，所以（且），當(dāng)時(shí)，綜上可得.（2）設(shè)平均每次的維修費(fèi)用為，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)取得最小值，即，綜上可得購(gòu)買次維修服務(wù)能使平均每次的維修費(fèi)用最少.例27．（2023·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期中）六盤水市是典型的資源型城市，它因“三線”建設(shè)而生，因轉(zhuǎn)型升級(jí)而興，近年來，在市委市政府的領(lǐng)導(dǎo)下，緊扣產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，全力以赴推進(jìn)新型工業(yè)高質(zhì)量發(fā)展.我市某多能互補(bǔ)能源公司建造某種國(guó)標(biāo)充電站，需投入年固定成本40萬元，另建造個(gè)充電站時(shí)，還需要投入流動(dòng)成本萬元，在年建造量不足18個(gè)充電站時(shí)，（萬元），在年建造量大于或等于18個(gè)充電站時(shí)，（萬元），每個(gè)充電站售價(jià)為20（萬元），通過市場(chǎng)分析，該公司建造的充電站當(dāng)年能全部投入使用.(1)寫出該公司年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年建造量個(gè)充電站之間的函數(shù)解析式；（注：年利潤(rùn)年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）(2)年建造量為多少個(gè)充電站時(shí)，該公司在這一項(xiàng)目的建造中獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）由題意，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，所以該公司年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年建造量個(gè)充電站之間的函數(shù)解析式為：.（2）由（1）可得：當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)年建造量為20個(gè)充電站時(shí)，該公司在這一項(xiàng)目的建造中獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是35萬元.例28．（2023·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有大于0的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，那么是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為1，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，得；（2）由（1）可知，，，等價(jià)于，若函數(shù)有大于0的零點(diǎn)，即的取值范圍為的值域，當(dāng)時(shí)，，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3），，，令，，，函數(shù)的對(duì)稱軸當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，所以，得，成立，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以，得，舍去，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)的最小值為，所以，得，舍去，綜上可知，.例29．（2023·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，則，，設(shè)，則，則，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，.綜上：.（2），因?yàn)楹瘮?shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，由可得且，由，可得，設(shè)，則，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個(gè)不等的正根，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例30．（2023·陜西西安·高一西安中學(xué)校考期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性（給出單調(diào)性即可，不要求證明）；(2)設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，則，可得，此時(shí)，對(duì)任意的，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.因?yàn)椋屎瘮?shù)在上為減函數(shù)，證明如下：任取、x2∈R且，所以，，則，所以，，故函數(shù)為上的減函數(shù).（2）由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上的減函數(shù)，則，所以，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn).例31．（2023·安徽阜陽·高一安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值；(2)當(dāng)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題得的定義域?yàn)椋呤桥己瘮?shù)，∴，即對(duì)任意恒成立，∴，∴；（2）即，因?yàn)楫?dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)根.令，則函數(shù)與直線有交點(diǎn)，∵，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)有，∴，則，所以a的取值范圍是；（3）因?yàn)?，又函?shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，則關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，又函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域滿足，即當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，所以，令，得，①?dāng)，即時(shí)，此方程的解為，不滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，則，即，此時(shí)，又，，所以此方程有一正一負(fù)根，且正根大于，所以，解得，所以；③當(dāng)，即時(shí)，則，即，若方程有根兩根，又，，所以此時(shí)方程為兩個(gè)負(fù)根，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，則，即，要使得方程唯一的在內(nèi)的根，則，解得，綜合①②③④得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：.例32．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，①求的值；②設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，函?shù)的零點(diǎn)為.（2）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，①，因?yàn)椋?，所以，?duì)恒成立，則，解得；②因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，只有一解，即只有一解，

所以，只有一解，令，則關(guān)于的方程只有個(gè)正數(shù)解，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，不合題意；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程兩根為、，則，所以，方程有一正一負(fù)根，負(fù)根舍去，符合題意；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故只需，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.例33．（2023·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的解析式；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值；(3)設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．【解析】（1）由題知，當(dāng)，，設(shè)．則，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)樗?；?）令，整理得，因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以方程有且只有一根或兩相等根，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，只需所以，此時(shí)，符合題意綜上，或．（3）在上任取，且，則，．所以，所以在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)在上的最大值與最小值分別為，．所以，即，對(duì)任意成立．因?yàn)?，所以函?shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，y有最小值，所以，解得．所以a的取值范圍為．例34．（2023·北京西城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，其中．(1)若，求的零點(diǎn)；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，故，所以的零點(diǎn)為.（2）令，則，，故，由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，所以的取值范圍為經(jīng)典題型四：二分法例35．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區(qū)間是．【答案】【解析】令，則，，由因?yàn)?，因此，下一個(gè)有根的區(qū)間為.故答案為：.例36．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下表是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上一些點(diǎn)的函數(shù)值:x11.251.3751.520.6256由此可判斷，方程的一個(gè)近似解為（誤差不超過0.1）.【答案】【解析】由表可得，，故方程的一個(gè)近似解為.故答案為：例37．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下:據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程的一個(gè)近似解為（誤差不超過0.01）.【答案】1.56【解析】由圖表知,,函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上,故函數(shù)的零點(diǎn)的近似值（精確到0.01)為1.56,可得方程的一個(gè)近似解(精確到0.01)為1.56,故答案為:1.56.例38．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖象均與軸有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是【答案】③【解析】若函數(shù)的零點(diǎn)能用二分法求解，則在零點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)值符號(hào)相反；由圖象可知：只有③中圖象滿足此條件.故答案為：③．例39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在用二分法求方程在上的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，，，即可得出方程的一個(gè)近似解為（精確度為0.2）.【答案】0.6875【解析】因?yàn)椋?，所以可作為方程的近似?故答案為：0.6875.例40．（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法求其零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】2或或2【解析】由題意得，函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法求其零點(diǎn)，可知函數(shù)圖象在軸上方或下方（包括軸），且與軸有交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，，能用二分法求零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)為二次函數(shù)，而有零點(diǎn)，但不能用二分法求其零點(diǎn)，可知函數(shù)的圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)相等實(shí)根，所以，解得：或.故答案為：2或.例41．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于“二分法”求方程的近似解，下列說法正確的有.①“二分法”求方程的近似解一定可將在內(nèi)的所有根得到②“二分法”求方程的近似解有可能得到在內(nèi)的重根③“二分法”求方程的近似解有可能得到在內(nèi)沒有根④“二分法”求方程的近似解可能得到在內(nèi)的精確解【答案】④【解析】根據(jù)用二分法求方程的近似解的條件以及過程即可判斷.利用二分法求方程在內(nèi)的根，即在區(qū)間內(nèi)肯定有根存在，而對(duì)于重根無法求解出來，且所得的近似解可能是內(nèi)的精確解.故答案為：④.例42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一個(gè)近似解為．(精確度0.1)【答案】0.75或0.6875【解析】根據(jù)二分法的概念判斷．注意精確度即可．因?yàn)?0.75)0，(0.6875)0，且|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以0.75或0.6875都可作為方程的近似解．故答案為：0.75或0.6875．例43．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是.（填寫上所有符合條件的圖號(hào)）【答案】①③【解析】根據(jù)二分法所求零點(diǎn)的特點(diǎn)，結(jié)合圖象可確定結(jié)果.用二分法只能求“變號(hào)零點(diǎn)”，①③中的函數(shù)零點(diǎn)不是“變號(hào)零點(diǎn)”，故不能用二分法求故答案為：①③經(jīng)典題型五：零點(diǎn)分布問題例44．（2023·山東臨沂·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，其中a∈R．如果函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，那么a的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，可知在和x>1各有一個(gè)零點(diǎn)，可得：

，解得故填：例45．（2023·福建廈門·高三階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】∵函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)∴，即∴∴或故答案為：例46．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)根，若，則方程可化為：，得，不成立；若時(shí)，設(shè)方程的兩根為，且，得，且，當(dāng)時(shí)，有故，，不符合題意；若時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，又，若函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，所以.綜上：.故答案為：例47．（2023·廣東廣州·高一校考期中）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，該直線恒過點(diǎn)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，如圖作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，則，所以直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以在有兩個(gè)不等實(shí)根，令，實(shí)數(shù)a滿足，解得．故答案為：例48．（2023·山西大同·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值集合是.【答案】【解析】由已知得，，.由二次函數(shù)圖象及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，該函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，解得.故答案為：.例49．（2023·河南焦作·高一統(tǒng)考期中）若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，令可得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)，由可得，所以，直線與函數(shù)在上的圖象無交點(diǎn)，如下圖所示：且當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象無交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例50．（2023·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上最多有個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得；函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，由可得，作出函數(shù)、在上的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，.故答案為：.例51．（2023·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學(xué)校聯(lián)考期中）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)，則．①定義域?yàn)椋涤驗(yàn)棰谠诙x域內(nèi)是偶函數(shù)③的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意可取，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故①符合，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故②符合，令，解得或，所以的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，故③符合，所以函數(shù)符合題意.故答案為：.例52．（2023·福建廈門·高一廈門一中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，由，令，由圖知，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)不同的解，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解，令，則，即，即，如圖所示，作出函數(shù)的圖象，函數(shù)恒過定點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即，即只有一個(gè)解，則，解得（舍去）當(dāng)時(shí)，由圖知函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有且僅有一個(gè)根，且這個(gè)根在上，所以方程有個(gè)不同的解，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，由圖知函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即方程有個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)為，所以方程有個(gè)不同的解，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，由圖知函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即方程有個(gè)根，且一個(gè)在上，另外兩個(gè)在上，所以方程有個(gè)不同的解，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程沒有正數(shù)根，此時(shí)令，則，當(dāng)時(shí)，方程無解，所以方程無解，即函數(shù)沒有零點(diǎn)，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，，即方程的解為，所以方程有個(gè)不同的解，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，則由，得，則，所以方程有個(gè)不同的解，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以符合題意；（3）當(dāng)時(shí)，，則由，得，則，所以方程只有個(gè)解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，故符合題意；（4）當(dāng)時(shí)，，則由，得，則，所以方程有個(gè)不同的解，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，故不符題意，綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.例53．（2023·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.經(jīng)典題型六：函數(shù)與方程綜合問題例54．（2023·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則的最大值是.【答案】4【解析】畫出的圖象：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解，，，，故的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖，，，故的取值范圍是.由圖可知，，，故，故.故.又當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，故.又在時(shí)為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：4.例55．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知，函數(shù)．若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【解析】由可得，可得，若，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，該方程至多兩個(gè)根，不合乎題意.所以，，當(dāng)時(shí)，由可得或，即方程在有兩個(gè)不等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，由可得，對(duì)于二次函數(shù)，該函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，則，若使得關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程在上只有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，或（無解），解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例56．（2023·新疆·高一烏魯木齊市第70中校考期中）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，，，有，則的范圍是．【答案】【解析】作出函數(shù)的大致圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，解得，令.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，滿足題意.且，.又由知，，所以，即.所以.由，可得，所以.故答案為：．例57．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則方程可化為.由圖可知：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，要使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例58．（2023·廣東廣州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，有兩個(gè)不等實(shí)根，即有2個(gè)實(shí)根，即圖象有2個(gè)交點(diǎn)，如圖，不妨設(shè)，則，即，解得，，（）在上為增函數(shù)，故答案為：例59．（2023·四川涼山·高一寧南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在（），使，則的取值范圍是.【答案】.【解析】的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)榇嬖冢ǎ?，所以由圖可得關(guān)于點(diǎn)，，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：.例60．（2023·浙江紹興·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，若方程恰有個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，在時(shí)，有4個(gè)不同的實(shí)根，令，則方程化為，原方程有8個(gè)不同的實(shí)根，則方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，記，由，解得．故答案為：．例61．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】.【解析】由有四個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，作出的函數(shù)圖像，如圖所示，由圖像可得，且，可得，所以，令，則，令，則在上單調(diào)遞減，且，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例62．若函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

A． B． C． D．【答案】B

【解析】令，則原方程等價(jià)為作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知當(dāng)，時(shí)，函數(shù)和各有兩個(gè)交點(diǎn)．要使方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，令，則由根的分布可得，①當(dāng)，時(shí)，，解得②當(dāng)且時(shí)，，解得；③當(dāng)且時(shí)，可得，解得綜上，b的取值范圍為故選例63．設(shè)函數(shù)若函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)與有4個(gè)交點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，其中的頂點(diǎn)為，則②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，其中的頂點(diǎn)為，則故a的取值范圍是故選例64．已知函數(shù)，若存在，且，，兩兩不相等，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：設(shè)，則方程有3個(gè)根，根據(jù)圖可得，不妨設(shè)與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則，當(dāng)時(shí)，最大，由解得當(dāng)m接近時(shí)，接近最小，由解得，即的取值范圍是故選例65．“”是“函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．非充分必要條件【答案】B

【解析】若則函數(shù)，令，則，故，所以當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)1，即”是“函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的充分條件，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，也即有且只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，得符合題意；當(dāng)時(shí)要使有且只有一個(gè)實(shí)根，則，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)則或，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)不是的充分條件，故不是函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件．綜上“”是“函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件．故選：例66．已知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，且，若，此時(shí)當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)，則必須當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，由，得，，此時(shí)滿足條件；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，要使恰有2個(gè)零點(diǎn)，則只需當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)即可，由得或，，要使當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，，或且，得，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：例67．已知函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)大于0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B

【解析】①當(dāng)時(shí)，由，得，符合題意．②當(dāng)時(shí)，由，得，令，解得，符合題意；由，即，得，設(shè)的兩根分別為，，且，若，則，，即，，符合題意，若，則，，即，，符合題意．綜上，，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想例68．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（

）A． B． C．10 D．9【答案】D

【解析】如圖，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根則，，則，其中，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是故選例69．已知函數(shù)，，函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)且，則