初中數(shù)學(xué)中的折疊問題

初中數(shù)學(xué)中的折疊問題

監(jiān)利縣第一初級中學(xué)劉光杰

折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學(xué)生往往由于對折疊的實(shí)

質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對這類中檔問題失分嚴(yán)重。本文試圖通過對在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到

的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī)

方法。其實(shí)對于折疊問題，我們要明白：

1、折疊問題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱.對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形，

這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

4、在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形

5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長為x,然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求解.

一、矩形中的折疊

1.將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC,BD為折痕,折疊后BG和BH在同一條直

線上，ZCBD=度.

BC、BD是折痕，所以有/ABC=ZGBC,ZEBD=ZHBD

貝|J/CBD=9O°

折疊前后的對應(yīng)角相等、

2.如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，再過點(diǎn)A'折疊使折痕DE〃

BC,若AB=4,AC=3,則4ADE的面積是.

沿BC折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到BC垂直平分AA,即AF=aAA,

又DE〃:BC,得到AABC-AADE,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求

出三角形ADE的面積=24

DBDB

對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線

3.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折

痕DG,求AG的長.

由勾股定理可得BD=5,由對稱的性質(zhì)得4ADG迫△

A'DG,由A，D=AD=3,AG'=AG,貝I]A，B=5—3=2,

在RtAA,BG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值

根據(jù)對稱的性質(zhì)得到相等的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即

可

4.把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著BF折疊，使得折痕

BE也與BC邊重合，展開后如圖所示，則NDFB等于（）

根據(jù)對稱的性質(zhì)得到NABE=/CBE,ZEBF=ZCBF,據(jù)

此即可求出NFBC的度數(shù)，又知道/C=90°,根據(jù)三角形

外角的定義即可求出/DFB=112.5°

注意折疊前后角的對應(yīng)關(guān)系

5.如圖，沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm,AB=6cm,求

折疊后重合部分的面積.

?.?點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線BD對稱，.?./：!=Z2

VAD//BC,AZI=Z3

AZ2=Z3

.\FB=FD

設(shè)FD=x,則FB=x,FA=8-x

在RtZYBAF中，BA2+AF2=BF2

62+(8-x)2=x2

解得x=Y

11

--X25-X6-75-

所以，陰影部分的面積也刖=2244

重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形

6.將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角/FEC=64°,則度；4EFG

的形狀—三角形.

：四邊形CDFE與四邊形CDFE關(guān)于直線

EF對稱

；./2=Z3=64°

AZ4=180°-2X64°=52°

；AD〃BC

AZI=Z4=52°

Z2=Z5

又：/2=Z3

AZ3=Z5

；.GE=GF

...△EFG是等腰三角形

對折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫出對折前后的圖形，便

于尋找對折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰4GEF

7.如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對折，展平，得折痕EF（如圖①）；

延CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B'處，（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿

GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C'處，（如圖④）；沿GC'折疊（如圖⑤）；展平，得折

痕GO,GH（如圖⑥）.

（1）求圖②中/BCB'的大??；

（2）圖⑥中的△GCC'是正三角形嗎？請說明理由.

然后在RtZiB'FC中，求得cos/B，CF=1,利用特

（1）由對稱的性質(zhì)可知：B，C=BC,

殊角的三角函數(shù)值的知識即可求得/BCB=60°；

（2）首先根據(jù)題意得：GC平分/BCB，，即可求得/GCC=60°,然后由對稱的性質(zhì)知:

GH是線段CC的對稱軸，可得GC=GC,即可得△GCC是正三角形.

理清在每一個折疊過程中的變與不變

8.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為8,將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個三角形的周

長之和為

四邊形BCFE與四邊形B'C'FE關(guān)于直線EF對稱，則

①②③④這四個三角形的周長之和等于正方形ABCD的周長

折疊前后對應(yīng)邊相等

9.如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點(diǎn)B

落在邊AD的中點(diǎn)G處，求四邊形BCFE的面積

設(shè)AE=x,貝ljBE=GE=4-x,

在Rt^AEG中，根據(jù)勾股定理

有：AE2+AG2=GE2

即:x2+4=(4-x)2

解得x=1.5,BE=EG=4-1.5=2.5

VZ1+Z2=90°,Z2+Z3=90°

AZI=Z3

又：/A=ZD=90°

AAEGsADGP

.AEEG?1.52.5日…10

?*DG=GP'則n〒=GP'解付GP=T

102

PH=GH-GP=4-y=

3

Z3=Z4,tan/3=tan/1=a

,3FH33321

..tanZ4=I,而=a，F(xiàn)H=4XPH=彳X,=5

；.CF=FH=J

,,S梯形BCFE—5(2+1)X4=6

注意折疊過程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊與對應(yīng)角相等

10.如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上不與A、D

重合.MN為折痕，折疊后與DN交于P.

⑴連接BB，，那么BB，與MN的長度相等嗎？為什么？

(2)設(shè)BM=y,AB，=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNCB，面積最??？并驗(yàn)證你的猜想.

(1)BB,=MN

過點(diǎn)N作NH〃BC交AB于點(diǎn)H),證AABB，gAHNM

(2)MB'=MB=y,AM=l-y,AB'=x

在Rt^ABB，中

BB'=-\/AB-+AB'2=+x?

因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)B，關(guān)于MN對稱，所以BQ=B，Q,

則BQ=+x2

由△BMQs^BB'A得

BMXBA=BQXBB5

/.y=劑1+x?Xyjl+x~=；(1+x2)

(3)梯形MNC'B'的面積與梯形MNCB的面積相等

由(1)可知，HM=AB'=x,

BH=BM-HM=y-x,貝UCN=y-x

梯形MNCB的面積為：

1(y-x+y)X1=1(2y-x)

=2(2X2(1+x?)-x)

1,1、23

=2(x-2)+8

13

當(dāng)x=5時，即B點(diǎn)落在AD的中點(diǎn)時，梯形MNCB，的面積有最小值，且最小值是&

Zo

二、紙片中的折疊

11.如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則/a的度數(shù)等于（）

AZa=Z2

；.2/a+/ABE=180°,

即2/a+30°=180°,

解得/a=75°.

題考查的是平行線的性質(zhì)，同位角相等，及對稱的性質(zhì)，折疊的角與其對應(yīng)角相等，和平角

為180度的性質(zhì)，注意4EAB是以折痕AB為底的等腰三角形

12.如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC,使NCAB=45°,則后重合部分的面積為

作CD_LAB,

：CE〃AB,二/1=/2,

根據(jù)翻折不變性，Z1=ZBCA,

故/2=NBCA.

；.AB=AC.

XVZCAB=45°,

.?.在Rt^ADC中，AC=2陋,AB=2小

SAABC=|ABXCD=2.y[2

在折疊問題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補(bǔ)充完整，對于矩形（紙片）

折疊，折疊后會形成“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個以折痕為底邊的

等腰三角形ABC

13.將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是

B/2cm

如圖,作QH_LPA,垂足為作則QH=2cm,

由平行線的性質(zhì)，得/DPA=NPAQ=60°

由折疊的性質(zhì)，得NDPA=/PAQ,

AZAPQ=60°,

又；NPAQ=/APQ=60°,

...△APQ為等邊三角形，

在RtZiPQH中，sinZHPQ=—

注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系.

在矩形（紙片）折疊問題中，會出現(xiàn)“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為

底邊的等腰三角形APQ

14.如圖a是長方形紙帶，ZDEF=20°,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,

則圖c中的/CFE的度數(shù)是（）

AE

BG

圖c

VAD//BC,

AZDEF=ZEFB=20°,

在圖b中，GE=GF,ZGFC=180°-2ZEFG=140°,

在圖c中/CFE=NGFC-/EFG=120°,

本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸

對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

由題意知/DEF=/EFB=20°圖b/GFC=140°,圖c中的/CFE=/GFC-/EFG

15.將一張長為70cm的長方形紙片ABCD,沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后,

AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬人8是（）

B

設(shè)AB=xcm.

右圖中，AF=CE=35,EF=

根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，得AE=CF=35-x(cm).

則有2(35-x)+x=60,

x=10.

16.一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊（陰影部分表示紙條的反

面），為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長度相等，則最初折疊時，求MA的

長

將折疊這條展開如圖，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，兩個梯形的上底等于紙條寬，即3cm,

下底等于紙條寬的2倍，即6cm,

兩個三角形都為等腰直角三角形，

斜邊為紙條寬的2倍，即6cm,

故超出點(diǎn)P的長度為（30-15）+2=7.5,

AM=7.5+6=13.5

三、三角形中的折疊

17.如圖，把Rt^ABC(ZC=90°),使A,B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED,再沿BE折疊，C點(diǎn)

恰好與D點(diǎn)重合，則CE：AE=

C

18.在AABC中，已知AB=2a,ZA=30°,CD是AB邊的中線，若將aABC沿「D對折起來，

折疊后兩個小4ACD與4BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前4ABC的面積的1.

(1)當(dāng)中線CD等于a時，重疊部分的面積等于；

(2)有如下結(jié)論(不在“CD等于a”的限制條件下)：①AC邊的長可以等于a；②折疊前

的AABC的面積可以等于乎I；③折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相

等.其中，結(jié)論正確(把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號都填上，若認(rèn)為都不正確填“無”).

/、1

(1)VCD=5AB

AZACB=90°

VAB=2a,BC=a,

1

--

SAABC2XACXBC

1近

22

-Xa-a

J重疊部分的面積為：48

(2)若AC=a,如右圖

ZBDC=180°-75°=105°

???NB'DC=105°

AZ3=105°-75°=30°

.\Z1=Z3

???AC〃B'D

二四邊形AB'DC是平行四邊形

???重疊部分^CDE的面積等于△ABC的面積的1

若折疊前4ABC的面積等于手，

過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,貝U

1小2

5XABXCH="t-a

CH=-^-a

又tan/「疝

3

AAH=呼

；.BH=1a

CH

則tan/B=^77，得NB=60°

orl

/.△CBD是等邊三角形

AZ2=Z4

/.Z3=Z4,AD/7CB2

,

XCB2=BC=BD=a,..CB2=AD

四邊形ADCB2是平行四邊形

則重疊部分ACDE的面積是4ABC面積的《

(3)如右圖，由對稱的性質(zhì)得，Z3=Z4,DA=DB3

AZI=Z2

又：N3+Z4=Z1+Z2

Z4=Z1

；.AB3〃CD

注意“角平分線+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對比，找出相等的對應(yīng)角

和對應(yīng)邊

19.在aABC中，已知/A=80°,ZC=30°,現(xiàn)把4CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得△€：'

DE,對折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：

(1)如圖(1)把4CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，則求/1+/2的和；

(2)如圖(2)把4CDE沿DE折疊覆蓋/A,則求/1+/2的和；

(3)如圖(3)把4CDE沿DE斜向上折疊，探求/I、N2、/C的關(guān)系.

(1)根據(jù)折疊前后的圖象全等可知，Zl=180°-2ZCDE,Z2=180°-2ZCED,再根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理比可求出答案；

(2)連接DG,將/ADG+NAGD作為一個整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求；

（3）將/2看作180°-2/CED,/I看作2/CDE-180。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來求.

解：(1)如圖⑴

Zl+Z2=180°-2ZCDE+180°-2ZCED

=360°-2(ZCDE+ZCED)

=360°-2(180°-ZC)

=2ZC

=60°；

(2)如圖(2)

連接DG,

Zl+Z2=180°-ZCz-(ZADG+ZAGD)

=180°-30°-(180°-80°)

=50°；

(3)如圖(3)

Z2-Zl=180°-2ZCED-(2ZCDE-180°)

=360°-2(ZCDE+ZCED)

=360°-2(180°-ZC)

=2ZC

所以：Z2-Z1=2ZC.

圖(3)

由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折疊三角形

時常常會出現(xiàn)等腰三角形

20.觀察與發(fā)現(xiàn)：

將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,

展開紙片（如圖①）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,

折痕為EF,展平紙片后得到4AEF（如圖②）.小明認(rèn)為4AEF是等腰三角形，你同意嗎？

請說明理由.

實(shí)踐與運(yùn)用：

（1）將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如

圖③）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D，處，折痕為EG（如圖④）；再展

平紙片（如圖⑤）.求圖⑤中/a的大小.

在第一次折疊中可得到NEAD=ZFAD

在第二次折疊中可得到EF是AD的垂直平分線，則AD±EF

ZAEF=ZAFE

...△AEF是等腰三角形

(1)由折疊可知

ZAEB=ZFEB,ZDEG=ZBEG

而/BEG=45°+/a

因?yàn)?AEB+ZBEG+ZDEG=180°

所以45°+2(45°+/a)=180°

Za=22.5°

由于角平分線所在的直線是角的對稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關(guān)。要

抓住折疊前后圖形之間的對應(yīng)關(guān)系

(2)將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點(diǎn)E,與

BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都

與點(diǎn)F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ(如圖④)，求/MNF的大小.

由題意得出：

NNMF=NAMN=/MNF,

；.MF=NF,由對稱性可知,

MF=PF,

/.NF=PF,

而由題意得出：MP=MN,

又MF=MF,

圖④

.'.△MNF^AMPF,

ZPMF=ZNMF,而/PMF+/NMF+NMNF=18O°,

即3/MNF=180°,

AZMNF=60°，

在矩形中的折疊問題，通常會出現(xiàn)“角平分線+平行線”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等

腰三角形

21.直角三角形紙片ABC中，ZACB=90°,ACWBC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使

點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.

探究：如果折疊后的4CDF與4BDE均為等腰三角形，那么紙片中NB的度數(shù)是多少？寫

出你的計(jì)算過程，并畫出符合條件的后的圖形.

「△CDF中，ZC=90°,且ACDF是等腰三角形,

.*.CF=CD,

.?.ZCFD=ZCDF=45°,

設(shè)NDAE=v°,由對稱性可知，AF=FD,AE=DE,

.,./FDA,ZCFD=22.5°,ZDEB=2x°,

分類如下：

①當(dāng)DE=DB時，/B=/DEB=2x°,

EE

由/CDE=/DEB+NB,得45°+22.5°+x=4x,圖1圖2

解得：x=22.5°.此時NB=2x=45°；

見圖形(1),說明：圖中AD應(yīng)平分/CAB.

②當(dāng)BD=BE時，則/B=(180°-4x)°,

由ZCDE=ZDEB+ZB得：45+22.5+x=2x+180-4x,

解得x=37.5°,此時NB=(180-4x)°=30°.

圖形(2)說明：/CAB=60°,/CAD=22.5°.

人工小180°-2x

③DE=BE時，則/B=——-——

上生180°-2x

由/CDE=/DEB+NB的，45+22.5+x=2xH---------

此方程無解.

.\DE=BE不成立.

綜上所述NB=45°或30°

先確定4CDF是等腰三角形，得出/CFD=/CDF=45°,因?yàn)椴淮_定^BDE是以那兩條邊

為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分別利用角的關(guān)系

得出答案即可

22.下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片(圖1)的全過程：首先

對折，如圖2,折痕CD交AB于點(diǎn)D；打開后，過點(diǎn)D任意折疊，使折痕DE交BC于點(diǎn)

E,如圖3；打開后，如圖4；再沿AE折疊，如圖5；打開后，折痕如圖6.則折痕DE和

AE長度的和的最小值是()

過D點(diǎn)作DF/7BC,交AC于F,作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)屋，連接DA',

則DA'就是DE和AE的最小值.

E

：D點(diǎn)是AB的中點(diǎn),

.,.DF=1,FC=1,

.?.FA'=3

.?.DA'=A/12+32=

折痕DE和AE長度的和的最小值是W

本題經(jīng)過了三次折疊，注意理清折疊過程中的對稱關(guān)系，求兩條線段的和的最小值問題可以

參見文章http://wenku.baidu.com/view/f6a6b4dda58da0116cl74995.html

23.小華將一條1（如圖1）,沿它對稱軸折疊1次后得到（如圖），再將圖沿它對稱軸折

疊后得到（如圖3）,則圖3中一條腰長；同上操作，若小華連續(xù)將圖1折疊n次后所得到

（如圖n+1）一條腰長為多少？

解：每次折疊后，腰長為原來的拳

故第2次折疊后得到的等腰直角三角形的一條腰長為（當(dāng)）2T

則小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的一條腰長為

當(dāng)）"

本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些

部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.

24.如圖，矩形紙片ABCD中，ABM，BC=/^.第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,

折痕與BD交于點(diǎn)仇；0小的中點(diǎn)為D”第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)》重合，折痕與BD

交于點(diǎn)。2；設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2,第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)

。3，….按上述方法，第n次折疊后的折痕與BD交于點(diǎn)3，則B0i=,B0n=

第一次折疊時，點(diǎn)01是BD的中點(diǎn)，則B0i=D0i

第二次折疊時，點(diǎn)O2是BDi的中點(diǎn)，則B02=DQ

第三次折疊時，點(diǎn)03是BD?的中點(diǎn)，則BO3=D203

因?yàn)锳B=,,BC二y[10,所以BD二4

第一次折疊后，有BO】=DOi

ABOi=2

第二次折疊后，有BO?=D1O2

BOi

BD-T3

BD-DDi

2二

ABO2-2~2

第三次折疊后，有B03=D2O3

BO

BD1-T29

BDi-D1D2

/.BO3-2二2-8

_衛(wèi)_317

即當(dāng)n=1時，BOi：_2-21X2-3

33°32T

當(dāng)n=2時，BO?：1

"2-2"吸*"3

_9_3^_3…

當(dāng)n=3時，B03：-g_23_23X2~3

父一

則第n次折疊后，B0?=k

問題中涉及到的折疊從有限到無限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì)

過程。在找規(guī)律時要把最終的結(jié)果寫成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數(shù)

據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系

25.如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折

疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pi；設(shè)PjD的中點(diǎn)為D”第2次將紙片折疊，

使點(diǎn)A與點(diǎn)Di重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2,第3次將紙片折疊，使

點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；…；設(shè)Pn“Dm2的中點(diǎn)為D?1,第n次紙片折疊,

使A與點(diǎn)De重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn(n>2),貝ijAPe長()

5

AD=

第一次折疊后，AP|=P]D,PiDi=DQ

AD5

..APi=—=4

第二次折疊后,AP2=P2DPP2D2=D2D1

AD-m

..ADiAD-DDi215

..AP2=—=2=-2—=16

第三次折疊后，AP3=P3D2

AP21515

.fAD?AD「DRADL28「3245

..AP3=-=2=2=~~=64

53。義5

即當(dāng)n=1時，APi=a=22

當(dāng)n=2時，AP2=

當(dāng)n=3時，AP3=K=亨

-1*§

則第n次折疊后，APn=-？ir-

“35X5

故AP6=oi2

此題考查了翻折變換的知識，解答本題關(guān)鍵是寫出前面幾個有關(guān)線段長度的表達(dá)式，從而得

出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力

26.閱讀理解

如圖1,AABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/Bi&C的平

分線A/2折疊，剪掉重復(fù)部分；…；將余下部分沿NBnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)

C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是AABC的好角.

小麗展示了確定/BAC是△ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂

角ZBAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿NBAC的平分線AB1折疊,

剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BiA[C的平分線A1B2折疊，此時點(diǎn)Bi與點(diǎn)C重合.

探究發(fā)現(xiàn)

(1)AABC中，ZB=2ZC,經(jīng)過兩次，/BAC是不是aABC的好角？

(填“是”或“不是”).

(2)小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是AABC的好角，請?zhí)骄?B與NC(不妨設(shè)/B>/C)

之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/BAC是AABC的好角，則/B與NC

(不妨設(shè)/B>/C)之間的等量關(guān)系為.ZB=nZC

應(yīng)用提升

(3)小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60。、105°,發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個

角都是此三角形的好角.

請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形

的三個角均是此三角形的好角.

設(shè)另外兩個角是4x,4y,則

4x+4y+4=180°

4x=4yXa，。是正整數(shù)）

44

所以y=—

a+1

因?yàn)閄,y,a,都是正整數(shù)，則a的值應(yīng)為：1、3、10、21、43

當(dāng)a=l時，x=y=22,4x=4y=88°

當(dāng)a=3時，y=11,x=33,4x=132°4y=44°

當(dāng)a=01時，y=4,x=40,4x=160°4y=16°

當(dāng)a=21時，y=2,x=42,4x=168°4y=8°

當(dāng)a=43時，y=1,x=43,4x=172°4y=4°

BB]B2c

圖3,

圖2

注意折疊過程中的對應(yīng)角和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和的運(yùn)用，理解

三角形中如果有一個角是好角之后，另兩個角之間的關(guān)系，通過這樣的問題培養(yǎng)歸納總結(jié)能

力

27.我們知道：任意的三角形紙片可通過如圖①所示的方法折疊得到一個矩形.

(1)實(shí)踐：將圖②中的正方形紙片通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形(在圖②中畫圖說明).

(2)探究：任意的四邊形紙片是否都能通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個矩形？若能，直接在圖

③中畫圖說明；若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫圖說明.(要求：畫圖應(yīng)

體現(xiàn)折疊過程，用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無縫隙又無重疊部分)

(2)不能.

四邊形至少應(yīng)具備的條件是：“對角線互相垂直.

折疊方法如圖所示.

6

28.如圖，雙曲線y=-(x>0)經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C,ZABC=90°,0C平分OA

x

與X軸正半軸的夾角，AB〃x軸，將AABC沿AC翻折后得到△AB'C,B'點(diǎn)落在0A上，則四

邊形OABC的面積是多少？

設(shè)C(m,￡)

根據(jù)對稱的性質(zhì)有：CD=CB=CB'

12m12

所以B(m,—),A(y,—),D(m,0)

Am126

AB=77,BD=—,CD=—,OD=m

2mm

則四邊形OABC的面積為：

|X(AB+OD)XBD-|XODXCD

1m1216

=TX(-+m)X——--XmX—

2v27m2m

=6

明白折疊中的對應(yīng)邊就行

29.已知一個直角三角形紙片OAB,其中/AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖，將該紙片放

置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.

(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B',設(shè)OB'=x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)

解析式，并確定y的取值范圍；

(3)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B",且使B"D〃OB,求此時點(diǎn)C的坐標(biāo).

(1)AB=小+16=2y[5

VABCD^ABAD,/.BCXBO=PDXBA

.\BCX4=乖又2乖,BC=|

533

.*.0C=0B-BC=4--~,貝UC(O,5)

(2)如右圖，BC=BC

B'C=BC=OB-OC=4-y

在RtZXOB'C中

根據(jù)勾股定理有：/+x?=