2024天津中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練 題型五 第22題銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用 (含答案)

2024天津中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練題型五第22題銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用類型一背靠背型典例精講例1如圖，某漁船在海面上航行，發(fā)現(xiàn)海中有一小島M，此時漁船位于小島M的南偏西45°方向，距離小島50海里的A處，繼續(xù)沿正東方向航行一段時間到達B處，測得小島M位于漁船的北偏西66°方向，求此時小島M與漁船B的距離BM及漁船從A航行到B的距離AB(結(jié)果保留一位小數(shù))．參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25，eq\r(2)≈1.414.例1題圖【思維教練】要求AB的長，作輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵，本圖屬于背靠背型，因此過點M作MD⊥AB于點D，得到Rt△AMD和Rt△BMD，解直角三角形即可．【自主解答】針對演練1.如圖，為了知道空中一靜止的廣告氣球A的高度，小宇同學(xué)使用卷尺和自制的測角儀進行了測量．如圖所示，他在氣球正下方的一條水平步道BC上架設(shè)測角儀，先在點E處測得氣球A的仰角為45°，然后沿BC方向前進35m到達氣球A的另一側(cè)點F處，測得氣球A的仰角為22°.測角儀的高度為1.6m．根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，求此時氣球A距離地面的高度(結(jié)果精確到0.1m).參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，eq\r(2)取1.41.第1題圖2.已知某航空母艦艦長BD為306m，航母前端點E到水平甲板BD的距離DE為6m，艦島頂端A到BD的距離是AC，經(jīng)測量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝80.6°，請計算艦島AC的高度(結(jié)果精確到1m)．參考數(shù)據(jù)：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04.第2題圖3.圖①是電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏AB可以繞O點旋轉(zhuǎn)一定角度，研究表明：如圖②，當眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角(即望向屏幕中心P的視線EP與水平線EA的夾角)時，對保護眼睛比較好，而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時，觀看屏幕最舒適，此時測得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶顯示屏的寬AB為34cm.(Ⅰ)求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE；(結(jié)果精確到1cm)(Ⅱ)求顯示屏頂端A與底座C的距離AC.(結(jié)果精確到1cm)參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，eq\r(2)取1.4，eq\r(3)取1.7.第3題圖

類型二母子型典例精講例2如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48°，測得底部C處的俯角為58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果取整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60.【思維教練】過點D作DE⊥AB于點E，則四邊形BCDE為矩形，△AED為直角三角形．在Rt△ABC中，利用tan∠ACB可以求得AB，在Rt△AED中，利用tan∠ADE可以求得AE，然后利用EB＝AB－AE求得EB，進而得到DC.【自主解答】例2題圖針對演練1.如圖，一艘船自南向北航行，在A處時看到燈塔S在船的北偏東31°的方向上，繼續(xù)航行12海里到達B處，看到燈塔S在船的北偏東58°的方向上，若繼續(xù)沿正北方向航行，求航行過程中船距燈塔S的最近距離和SA的距離(結(jié)果保留整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，tan31°≈0.60，tan58°≈1.60.第1題圖2.由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù)，如圖，航母由西向東航行，到達A處時，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向．如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.第2題圖3.如圖，為了加快5G網(wǎng)絡(luò)信號覆蓋，某地在附近小山的頂部架設(shè)信號發(fā)射塔，為了知道信號發(fā)射塔的高度，在地面上的A處測得塔頂P處的仰角是31°，向發(fā)射塔方向前行100m到達地面上的B處，測得塔頂P處的仰角是58°，塔底Q處的仰角是45°.根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，求信號發(fā)射塔PQ的高度(結(jié)果取整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，tan58°≈1.60.第3題圖4.周末，小津想利用所學(xué)過的銳角三角函數(shù)知識探求自己的無人機的爬高能力．具體做法如下：如圖，將無人機放置在點C處，并沿垂直于水平地面的方向向上勻速飛行，小津在距離點C10米遠的點D處(與點C在同一水平面)第一次觀察到無人機位于點B處的仰角為45°，經(jīng)過1秒后，再次觀察到無人機位于點A處的仰角是53°，求該無人機勻速爬高的速度．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33.第4題圖5.為慶祝改革開放40周年，某市舉辦了燈光秀，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量平安金融中心AB的高度，他們在地面C處測得另一幢大廈DE的頂部E處的仰角∠ECD＝32°.登上大廈DE的頂部E處后，測得平安中心AB的頂部A處的仰角為60°，(如圖)．已知C、D、B三點在同一水平直線上，且CD＝400米，DB＝200米．(結(jié)果取整數(shù))(Ⅰ)求大廈DE的高度；(Ⅱ)求平安金融中心AB的高度．參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)取1.73.第5題圖拓展類型擁抱型典例精講例3致遠塔塔名取“寧靜以致遠”之意，坐落于天津河北區(qū)北寧公園內(nèi)，是津門古典高層景觀．周末，小明想利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識測量致遠塔的高度．如圖，小明在致遠塔和假山之間的點B處測得致遠塔的頂部D的仰角為63°，測得假山的頂部A的仰角為45°，點B，C，E在同一水平線上，且BC＝2BE，若假山的高度為18.8米，求致遠塔的高度CD(結(jié)果取整數(shù))．參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96.例3題圖【思維教練】已知AE，∠DBC，∠ABE，BC和BE的關(guān)系，要求致遠塔CD的高度，可先在Rt△ABE中解直角三角形，求得BE的長，再在Rt△BCD中解直角三角形，即可求得致遠塔的高度CD.【自主解答】針對演練1.在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，小明所在的學(xué)習小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處的俯角是53°，從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°，綜合樓高24米．請你幫小明求出辦公樓的高度(結(jié)果精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，eq\r(3)取1.73.第1題圖2.如圖，已知斜坡AB長60米，坡角為30°，BC⊥AC.小強站在斜坡中點D處測得建筑物頂部H的仰角為30°(小強的身高忽略不計)，建筑物GH距離坡腳A點27eq\r(3)米，點B，C，A，G，H在同一平面上，點C，A，G在同一條直線上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度．第2題圖3.學(xué)生到工廠勞動實踐，學(xué)習制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B，C分別在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm.求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.第3題圖參考答案類型一背靠背型典例精講例1解：如解圖，過點M作MD⊥AB于點D，由題意可知，AM＝50.∵∠AMD＝45°，∴AD＝DM.在Rt△ADM中，∵sin∠AMD＝eq\f(AD,AM)，∴DM＝AD＝AM·sin45°＝25eq\r(2).在Rt△BMD中，∵∠BMD＝66°，∴BM＝eq\f(DM,cos66°)＝eq\f(25\r(2),cos66°)≈86.2，DB＝DM·tan66°＝25eq\r(2)tan66°.∴AB＝AD＋BD＝25eq\r(2)＋25eq\r(2)tan66°≈114.9.答：小島M與漁船B的距離BM約為86.2海里，漁船從A航行到B的距離AB約為114.9海里．例1題解圖針對演練1.解：如解圖，過點A作AG⊥BC，垂足為G，交EF于點D，則∠ADE＝90°.設(shè)AD＝x，則AG＝AD＋DG＝x＋1.6.∵在Rt△ADE中，∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠AED＝∠EAD，∴ED＝AD＝x，DF＝EF－ED＝35－x.在Rt△ADF中，tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)，∴0.40＝eq\f(x,35－x).解得x＝10.∴AG＝10＋1.6＝11.6.答：此時氣球A距離地面的高度約為11.6m.第1題解圖2.解：根據(jù)題意，∠ACD＝90°，∠D＝90°，如解圖，過點E作EH⊥AC于點H，可得四邊形EHCD為矩形，∴CH＝DE＝6，HE＝CD.設(shè)AC＝xm，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝AC·tan71.6°≈3.01x，在Rt△AHE中，tan∠EAC＝eq\f(HE,AH)，∴HE＝AH·tan80.6°≈6.04(x－6)．又∵BC＋CD＝306，∴BC＋HE＝306，∴3.01x＋6.04(x－6)＝306，解得x≈38.答：艦島AC的高度約為38m.第2題解圖3.解：(Ⅰ)由已知得：∠AEP＝18°，AP＝BP＝eq\f(1,2)AB＝17，在Rt△APE中，∵sin∠AEP＝eq\f(AP,AE)，∴AE＝eq\f(AP,sin∠AEP)＝eq\f(AP,sin18°)≈eq\f(17,0.3)≈57，答：眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE約為57cm；(Ⅱ)如解圖，過點B作BF⊥AC于點F，∵∠EAB＋∠BAF＝90°，∠EAB＋∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，在Rt△ABF中，AF＝AB·cos∠BAF＝34×cos18°≈34×0.95＝32.3，BF＝AB·sin∠BAF＝34×sin18°≈34×0.3＝10.2，∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°，∴CF＝BF·tan∠CBF＝10.2×tan30°＝10.2×eq\f(\r(3),3)≈5.78，∴AC＝AF＋CF＝32.3＋5.78≈38.答：顯示屏頂端A與底座C的距離AC約為38cm.第3題解圖類型二母子型典例精講例2解：如解圖，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，則∠AED＝∠BED＝90°，由題意可知，BC＝78，∠ADE＝48°，∠ACB＝58°，∠ABC＝90°，∠DCB＝90°，∴四邊形BCDE為矩形，∴ED＝BC＝78，DC＝EB，∵在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)，∴AB＝BC·tan58°≈78×1.60≈125.∵在Rt△AED中，tan∠ADE＝eq\f(AE,ED)，∴AE＝ED·tan48°，∴EB＝AB－AE＝BC·tan58°－ED·tan48°≈78×1.60－78×1.11≈38，∴DC＝EB＝38，答：甲建筑物的高度AB約為125m，乙建筑物的高度DC約為38m.例2題解圖針對演練1.解：如解圖，過點S作SC⊥AB于點C.由題意知∠SAB＝31°，∠SBC＝58°，AB＝12.設(shè)CS＝x，在Rt△BCS中，tan58°＝eq\f(CS,BC)＝eq\f(x,BC)，∴BC＝eq\f(x,tan58°)，在Rt△CAS中，AC＝AB＋BC＝12＋eq\f(x,tan58°)，∵tan31°＝eq\f(CS,AC)＝eq\f(x,AC)，∴x＝tan31°·(12＋eq\f(x,tan58°))，解得x≈11.52≈12.在Rt△ACS中，sin31°＝eq\f(CS,AS)，∴AS＝eq\f(CS,sin31°)≈22.答：航行過程中船距燈塔S的最近距離約為12海里，SA的距離約為22海里．第1題解圖2.解：根據(jù)題意，∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，∠CDA＝90°，AC＝80海里．∵在Rt△ACD中，cos∠ACD＝eq\f(CD,AC)，∴CD＝AC·cos∠ACD＝80cos70°，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)，∴BD＝CD·tan∠BCD＝80×cos70°×tan37°≈80×0.34×0.75≈20.答：還需航行的距離BD的長約為20海里．3.解：根據(jù)題意，∠PAC＝31°，∠PBC＝58°，∠QBC＝45°，AB＝100，∵在Rt△PAC中，tan∠PAC＝eq\f(PC,AC)，∴AC＝eq\f(PC,tan31°).∵在Rt△PBC中，tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)，∴BC＝eq\f(PC,tan58°).∵AC＝AB＋BC，∴eq\f(PC,tan31°)＝100＋eq\f(PC,tan58°)，∴PC＝eq\f(100tan58°×tan31°,tan58°－tan31°)≈eq\f(100×1.60×0.60,1.60－0.60)＝96.∵在Rt△QBC中，tan∠QBC＝eq\f(QC,BC)，∴QC＝BC≈eq\f(96,1.60)＝60.∴PQ＝PC－QC＝96－60＝36.答：信號發(fā)射塔PQ的高度約為36m.4.解：在Rt△DCB中，∵∠BDC＝45°，CD＝10，∴BC＝CD＝10，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝53°，CD＝10，∴AC＝CD·tan∠ADC≈13.3，∴AB＝AC－BC＝13.3－10＝3.3，∴無人機的速度＝3.3÷1＝3.3.答：該無人機勻速爬高的速度為3.3m/s.5.解：(Ⅰ)∵在Rt△DCE中，∠CDE＝90°，∠ECD＝32°，CD＝400，∴DE＝CD·tan∠ECD≈400×0.62＝248.答：大廈DE的高度約為248米；(Ⅱ)如解圖，作EF⊥AB于點F.由題意得EF＝DB＝200，BF＝DE＝248，∠AEF＝60°.∵在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，∴AF＝EF·tan∠AEF≈200×1.73＝346，∴AB＝BF＋AF＝248＋346＝594.答：平安金融中心AB的高度約為594米．第5題解圖拓展類型擁抱型典例精講例3解：∵AE＝18.8，∠ABE＝45°，∴BE＝AE＝18.8.∵BC＝2BE，∴BC＝37.6.∵∠DBC＝63°，∴DC＝BC·tan∠DBC≈74.答：致遠塔的高度CD約為74米．針對演練1.解：在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝24，∠ABD＝90°－53°＝37°，∴AD＝AB