2020-2021學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)第八章棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

人教版必修第二冊(cè)2020-2021學(xué)年高一下數(shù)學(xué)第八章

831棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

一、單選題

1.已知正四棱錐的底面邊長為6,側(cè)棱長為5,則此棱錐的側(cè)面積為（）

A.6B.12C.24D.48

2.側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時(shí)，該三棱錐的表面積是（）

A.再2B.C,土立。2D.如走出

4424

3.如圖所示，在正方體A8CD-4B1QD1中，四棱錐S-A8CD的體積占正方體體積的

（）

D,C,

AB

C.；D.不確定

4

4.一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16的正方形，則該圓柱的體積是（）

A.647B.32%

C.167rD.8萬

5.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示,則該兒何體的體積（單位：cm3）為

俯視圖

4

A.-B.2

3

C.4D.6

6.已知圓錐的一條母線的中點(diǎn)與圓錐底面圓的圓心間的距離為2,母線與底面所成的

角為60。，則該圓錐的體積為（）

A.包魚B.C.應(yīng)宜D.16指）

33

7.如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，每個(gè)圓錐的底面直徑和高均為12cm,現(xiàn)有

體積為72萬cn?的細(xì)沙全部漏入下圓錐后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,

則此錐形沙堆的高度為（）

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

8.如圖，四邊形ABC。是正方形，四邊形BOEF是矩形，平面6OEF_L平面ABC。,

AB=2,NAFC=60°，則多面體A5COEF的體積為（）

16

D.

T

9.如圖，已知底面邊長為。的正四棱錐P-ABCO的側(cè)棱長為2a,若截面PAC的面積

為8?,則正四棱錐尸-ABCD的體積等于（）

a325Az32V7108

A.12714D.-----rD.——

383

10.如圖所示，正方體ABCO—AgGR的棱長為4,線段。A上有兩動(dòng)點(diǎn)E、F,

且EF=2.點(diǎn)M、N分別在棱GA、4cl上運(yùn)動(dòng)，且MN=2,若線段MN的中點(diǎn)

為P,則四面體B-EFP的體積最大值為()

c5出

C.5u.------

32

二、多選題

11.用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的

高之比為1:2,則關(guān)于上、下兩空間圖形的說法正確的是（）

A.側(cè)面積之比為1:4B.側(cè)面積之比為1:8

C.體積之比為1:27D,體積之比為1:26

12.已知直三棱柱ABC-AAG的體積為V,若點(diǎn)P在A4,且AP=：A4,點(diǎn)Q是

棱CG上的動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐3—APQC的體積不可能是（）

A.—VB.—VC.—VD.—V

12939

13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某三棱錐的三視圖，則下列

判斷正確的是（）

4

A.該三棱錐的體積為1

B.該三棱錐的表面積為6+石

C.該三棱錐的各個(gè)面都是直角三角形

D.該三棱錐的各條棱中，最長的棱的長度為01

14.如圖，直三棱柱ABC—44G中，M=2,AB=BC=\,NABC=90°，側(cè)

面A&GC中心為。，點(diǎn)E是側(cè)棱3耳上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列判斷，正確的是（）

B.直三棱柱體積是;

C.三棱錐E—胡。的體積為定值D.AE+EC1的最小值為20

三、填空題

15.已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2,且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)內(nèi)接圓柱.當(dāng)此圓柱的

側(cè)面積最大時(shí)，此圓柱的體積等于.

16.已知一個(gè)正四棱柱的對(duì)角線的長是9cm,表面積等于144cm2,則這個(gè)棱柱的側(cè)面

積為cm2.

17.如圖，在正方體ABCD-Ai&QDi中，三棱錐Di-A8iC的表面積與正方體的表面積

的比為.

4

18.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

19.中國南北朝時(shí)期，祖沖之與他的兒子祖曬通過對(duì)幾何體體積的研究，早于西方1100

多年，得出一個(gè)原理：“幕勢既同，則積不容異"，"幕"是面積，"勢”是高.也就是說：夾

在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得

兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理被稱為祖曬原理.現(xiàn)有

水平放置的三棱錐和圓錐各一個(gè)，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，所截得的

兩個(gè)截面面積都相等，若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，根據(jù)祖晅原理可知這個(gè)

三棱錐的體積為.

20.中國古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國時(shí)代（公元前476年~前222年），其中沙漏

就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄

的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器，如

圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部

2

在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的1（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.若細(xì)沙全部漏入下部后，恰

好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為cm.

四、解答題

21.正四棱臺(tái)兩底面邊長分別為a和b（a<b）.

（1）若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45。，求棱臺(tái)的側(cè)面積;

（2）若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.

22.如圖所示，在長方體A8CD-ABCD，中，用截面截下一個(gè)棱錐C-4DD，，求棱錐C

-ADD，的體積與剩余部分的體積之比.

23.在如圖所示幾何體中，平面PAC_L平面ABC,PMIIBC,PA=PC,AC=1,

BC=2PM=2,AB=B若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為立.

主視方向

（1）畫出該幾何體的主視圖（正視圖）并求其面積S；

（2）求出多面體的體積V.

24.一個(gè)透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個(gè)具有公共底面的圓錐，且這兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和

3

底面圓周都在這個(gè)球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個(gè)球的表面積的、，設(shè)球的

半徑為/?,圓錐底面半徑為r.

（1）試確定月與r的關(guān)系，并求出大圓錐與小圓錐的側(cè)面積的比值.

（2）求出兩個(gè)圓錐的總體積（即體積之和）與球的體積之比.

25.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4GA中，截去三棱錐求

（1）截去的三棱錐A一鉆。的表面積;

(2)剩余的幾何體A4GA-O8C的體積.

參考答案

1.D

【分析】

首先由勾股定理求出斜高，即可求出側(cè)面積;

【詳解】

解：正四棱錐的底面邊長為6,側(cè)棱長為5,則其斜高”=4.所以正四棱錐

的側(cè)面積S=—x4x6x4=48

2

故選：D

2.A

【分析】

先求出側(cè)棱長，即可求出表面積.

【詳解】

如圖，PA,PB,PC兩兩垂直且R4=PB=PC,

△ABC為等邊三角形，AB^a,

PA=PB=PC=Ja，

2

,小通如心由21（及丫。V32323+62

..表面積為—xciH—x—cix3=—a4—cr---------a

422444

故選：A.

3.B

【分析】

令正方體棱長為a,求出正方體的體積及四棱錐的體積，即可判斷;

【詳解】

解：令正方體棱長為。，貝11VlE方體=。3,

_12_?3,,_1

^S-ABCD=~XaXa，-V四枝gtS-A8c0=1V詆方體.

故選：B

4.C

【分析】

根據(jù)題意，求得圓柱的底面直徑和高，代入公式，即可求得答案.

【詳解】

因?yàn)檩S截面的面積為16,所以圓柱的底面直徑和高均為4,

所以圓柱的體積V=%-22X4=16TT.

故選：C

5.B

【分析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，利用椎體體積公式計(jì)算出該幾何體的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示四棱錐，

該棱錐滿足底面是直角梯形，且側(cè)棱ED_L平面ABCO,

所以其體積為V=gxgx(l+2)x2x2=2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)根據(jù)幾何體三視圖求幾何體體積的問題，解題方法如下:

(1)首先根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖還原幾何體；

(2)結(jié)合三視圖，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用體積公式求得結(jié)果.

6.A

【分析】

設(shè)圓錐的高為力，底面圓的半徑為r,母線長為/，則母線長/=2x24,母線與底面所成的

角為60。，可得r=2,從而得出圓錐的高，進(jìn)一步求出體積.

【詳解】

設(shè)圓錐的高為打，底面圓的半徑為r,母線長為/.

因?yàn)閳A錐的一條母線的中點(diǎn)到圓錐底面圓的圓心間的距離為2,

設(shè)P為母線SB的中點(diǎn)，在直角三角形SBO中，PO=2

所以母線長/=2x2=4,又母線與底面所成的角為60。，

rr1

所以cos600=-=-=—,解得r=2,

I42

所以圓錐的高〃=26,

故該圓錐的體積V=—7cr2h=—xx22x2^3=.

333

故選:A.

7.B

【分析】

根據(jù)圓錐體積公式即可求得高.

【詳解】

1(12丫

設(shè)錐形沙堆的高度力，則上〃=72%，解得〃=6

3

故選：B

8.D

【分析】

根據(jù)面面垂直性質(zhì)可證得5尸，平面A8CO,4。，平面8?！辏?，設(shè)=可表示出

AF,根據(jù)Ab=AC可構(gòu)造方程求得x,即BF,利用V=%_皿￡-+匕-SOEF，根據(jù)四棱

錐體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

連接BO,AC,

???四邊形BDEF為矩形，/.BFX.BD,

?.?平面平面A8CQ,平面BOERc平面ABC￡>=8。，BFu平面BDEF,

.?.8/_L平面ABC。，又平面ABC。，BF1AB,

設(shè)5P=x，則.=凡=，4+9,

又NAFC=60°，AFC為等邊三角形，；.A￡=AC=474=20，

即，4+f=20，解得：尤=2;

?.?四邊形ABC7）為正方形，..AC1BD,

?.?平面平面ABC。，平面8力四門平面/^⑺二^。，ACu平面ABCO,

AC±平面BDEF,

多面體ABCDEF體積

V=V.BDFF+勿HDFF=一SO/JL'C."AC=—X2\/2X2X2>/2=—.

—i5IJr.rV-niJtzr3nlJttr3'"3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查不規(guī)則多面體體積的求解問題，求解此類問題的基本思路是將多面體拆

分成多個(gè)棱錐或體積易求的幾何體，加和得到所求多面體的體積.

9.B

【分析】

連接80,交AC于。，連接P。，根據(jù)截面尸4。的面積為8，7可解得4=4,即可求出

體積.

【詳解】

解：連接8。，交AC于。，連接P。，則PO_L底面ABC。且。是AC中點(diǎn),

截面PAC的面積為8a,

Sp?r——xsflaxa-8幣>解得a=4,

22

二正四棱錐P-ABC。的體積為：

\7=_!_乂qxpc12>fl43-s/14332-714

VP-ABCD,x3正方形x=_xa=---a=------x4=-----------

J32663

【分析】

先分析確定尸點(diǎn)軌跡，由于匚5EF面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離最大時(shí),

四面體8-EFP的體積最大，從而可得答案.

【詳解】

連接A￡、BR、BD、CXP,則AG_Lg〃，C\P=gMN=l,

即點(diǎn)P在以G為圓心、1為半徑的1個(gè)圓上，

4

當(dāng)N與￡重合或“與G重合時(shí)，此時(shí)P到平面的距離最長，

過點(diǎn)作易得P”_L平面

PH4尸3

又則有口與夫”和口與。6相似，

則p”=￥，?.?SBEF=gx2x4夜=4后，

.".四面體B—EFP的體積最大值為VB_EFp=VP_EFB=；x40x乎=4，

故選：S.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查錐體的體積的最值，解答本題的關(guān)鍵是先確定出點(diǎn)P在以G為圓心、1

為半徑的:個(gè)圓上，當(dāng)N與G重合或M與G重合時(shí),，此時(shí)P到平面BBRD的距離最長,

屬于中檔題.

11.BD

【分析】

計(jì)算出小棱錐與原棱錐的相似比，結(jié)合兩個(gè)棱錐側(cè)面積之積為相似比的平方、體積之比為相

似比的立方可求得結(jié)果.

【詳解】

依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺(tái)，

所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為1：3,高之比為1:3,

所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為1：9,體積之比為1:27,

即小棱錐與棱臺(tái)的側(cè)面積之比為1：8,體積之比為1:26.

故選：BD.

12.AD

【分析】

設(shè)范=，，owrwi,點(diǎn)B到平面ACGA的距離為力，根據(jù)棱椎和棱柱的體積公式，結(jié)

合直棱柱的結(jié)構(gòu)特征求出四棱錐8—APQC的體積為+根據(jù)OVfWl可知

33

14

-v<vB-A^c<-v,由此可知答案?

y9

【詳解】

如圖：

設(shè)器=，，O<Z<1,點(diǎn)8到平面ACGA的距離為/?,

332。5

=U+r)4vAe=：(，).,.《A4)=1d+r)-SA4BC.A4,

6333233

=!(!+，*，

33

111414

因?yàn)?4f?l,所以+所以<匕-"如<§丫，

所以A,。不正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了棱柱和棱椎的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.ACD

【分析】

先由三視圖還原幾何體，再由題中數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由三視圖還原該幾何體如下：

A

該幾何體是底面為直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，

且尸AJ_平面ABC,ACIBC,PA=\,AC=4,BC=2,

所以該三棱錐的體積為=§=故A正確；

3263

因?yàn)镻A_L平面ABC,所以PALAC,PALAB,PAA.BC,

即側(cè)面PAC,側(cè)面P4B都是直角三角形，

因?yàn)锳C1BC,所以底面ABC是直角三角形，

又ACcPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,

所以8CJ,平面PAC,所以BC_LPC,

因此側(cè)面PBC也是直角三角形；故C正確；

22

因?yàn)镻C=，R42+AC2=后,AB=^AC+BC=275>

PB=VPC2+BC2=717+4=V21，

所以該三棱錐的各棱中，最長的棱的長度為尸8=5/五，故D正確;

因?yàn)樵撊忮F的該側(cè)面和底面都是直角三角形，

所以該三棱錐的表面積為：S^SPAC+SPAB+SPBC+SMC

=lxlx4+-?-x1x275+-x2xVn+-x2x4=6+75+^,故B錯(cuò).

2222

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由幾何體三視圖計(jì)算幾何體的體積、表面積等，熟記幾何體結(jié)構(gòu)特征即可，屬

于?？碱}型.

14.ACD

【分析】

由題意畫出圖形，計(jì)算直三棱柱的側(cè)面積和體積即可判斷A與B；由棱錐底面積與高為定值

判斷C；設(shè)B￡=x,列出AE+EQ關(guān)于x的函數(shù)式，結(jié)合其幾何意義求出最小值判斷D.

【詳解】

在直三棱柱ABC-44G中，M=2,AB=BC=l,ZABC=90°

底面ABC和A4G是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為

1x2x2+jF+jX2=4+2夜，故A正確；

直三棱柱的體積為VMSHBCAA=|xlxlx2=l,故B不正確；

由B&II平面刖1GC,且點(diǎn)E是側(cè)棱84上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，：.三棱錐后一的。的高為定值

V2

---9

2

=JXV2X2=—-VE-AA,O=^X—X—=^故C正確；

423226

設(shè)8E=xe[0,2],則8iE=2-x,在R/A48c和用AfiBCi中，,AE+EC]=

Vl+x2+71+(2-X)2.由其幾何意義，

即平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)(x,1)與兩定點(diǎn)(0,0),(2,0)距離和的最小值，由對(duì)稱可知，當(dāng)E為BB]

的中點(diǎn)時(shí)，其最小值為亞百=20，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查直三棱柱的側(cè)面積和體積的求法，函數(shù)思想求最值問

題，空間想象能力和思維能力，屬于中檔題.

15.71

【分析】

先畫出幾何體的軸截面圖，設(shè)圓柱的底面半徑為小則圓柱的側(cè)面積為

5=24r(2—「)=—2萬(，_2廠)=—2冰(「—1)2—1],從而可求出r=1時(shí)，S取得最大值,

進(jìn)而可求出圓柱的體積

【詳解】

解：該幾何體的軸截面如圖所示，則。4=OB=OC=2,設(shè)圓柱的底面半徑為r,

則OD=ME=AM=r,OM=2-r,

2

所以圓柱的側(cè)面積為S=2兀rQ-r)=—2乃(r-2r)=—2加(r-I)-1],

所以當(dāng)r=l時(shí)，S取得最大值2萬，

此時(shí)圓柱的體積為V=zrxl2xl=^-

故答案為：)

16.72或112

【分析】

設(shè)正四棱柱的底面邊長為。，高為匕，則，2a『+/=9,4a由+2/=144,從而解出"=36

或/=16，b=3或〃=7,從而求出其側(cè)面積.

【詳解】

解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a,高為b,則426+從=9,

4a\b+2a2=144,

聯(lián)立消6可得，

8a4+(72-/)2=810",

即a,-52〃+8x72=0,

解得,。2=36或。2=]6,

a=6。二4

即《或《

b=3b=7'

當(dāng)。=6,6=3時(shí)，側(cè)面積S=4,仍=72,

當(dāng)。=4,8=7時(shí)，側(cè)面積S=4ab=112,

故答案為：72或112

17.73:3

【分析】

設(shè)正方體棱長為1,三棱錐Di-A&C為正四面體，求出其棱長，然后可得正方體和三棱錐

的表面積，從而求得比值.

【詳解】

設(shè)正方體棱長為1,則其表面積為6,

三棱錐Di—A&C為正四面體，每個(gè)面都是邊長為夜的正三角形，其表面積為

4xlxV2x(—xV2)=2V3＞所以三棱錐DI-A8IC的表面積與正方體的表面積的比為

22

26:上

故答案為：耳3.

13

18.—

3

【分析】

根據(jù)三視圖確定空間幾何體的形狀，運(yùn)用體積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為一個(gè)長方體與一個(gè)三棱錐的組合體,

p

長方體的體積為：0X0x2=4，

三棱錐的體積為：^xlx2xlxl=i,故該幾何體的體積為4+

32333

13

故答案為：v

3

1。8后

-LZz.----------------

3

【分析】

根據(jù)圓錐側(cè)面積展開圖是半徑為4的半圓，求得圓錐底面半徑，進(jìn)一步求圓錐的高，計(jì)算出

圓錐的體積，由此求出三棱錐的體積.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2萬r='x2%x4,解得尸=2,

2

圓錐的高為力=542-22=26，

所以圓錐的體積即為三棱錐的體積為V萬X22X2，^=隨萬.

33

故答案為：兀.

3

64

20.——

27

【分析】

1Q1Q

設(shè)沙堆的高為力'，根據(jù)細(xì)沙的體積相等可得出一7/"=x-》,",可得出"=一/?,

327327

即可得解.

【詳解】

設(shè)圓錐形容器的底面圓半徑為人高為力，則圓錐形容器的體積為V=§萬，〃，

2_2

當(dāng)細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙形成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓半徑為一r,高為一力，

33

細(xì)沙的體積為Xx-7rr2h=—V

327327

當(dāng)細(xì)沙在下部時(shí)，細(xì)沙形成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面半徑為r,設(shè)此時(shí)沙堆的高為",

?127f8[78I21—r/曰7，878064/\

則n一乃〃?〃=——V=——x—7rrh,可得/?=——h=—x8=——(cm).

327273272727v7

64

故答案為：—■,

27

21.(1)坦伊一分(2)

解：(1)如圖所示,

?.?P。，平面ABCO,側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°,

ZPAO=45°,;.PO=OA=與b,POX=OX\=—a.

分別取4B,44的中點(diǎn)E,B，連接OE,?旦.

/.斜高EE、=PE-PEI=-y(/?-</).

二棱臺(tái)的側(cè)面積S惻=4x；(a+h)x*e-a)=百?一〃)；

(2)；棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，

4x—(a+人)xEE.=a2+b2,

2

.5a2+b2

-，=2(7^)-

：.OO\=qEE；-(EO-EQ)2=卜+與_("與=迫.

'Y'Y2(a+6)2a+b

設(shè)A5=a,A￡>=〃,A4'=c,則長方體體積為M=abc,

S^'DD'=,所以棱錐體積為V——S^'-CD——x—bcxa——abc,

A223Al)iy326

17

-abc[

所以I匕Z=6=1.

Vjabc6

23.(1)在幾何體PMABC中，平面PAC,平面ABC,

設(shè)△PAC的邊AC上的高為h,則該幾何體的側(cè)視圖的面積為LAC1=旦得h=立,

242

又因?yàn)?C=2PM=2,所以，該幾何體的主視圖(正視圖)如下圖所示:

由圖可知，該幾何體的主視圖為直角梯形，其面積為S=（l+2）x6=￡l

2x24

（2）分別取AC、PC的中點(diǎn)。、N,連接P。、AN,如下圖所示：

?/PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，所以，POLAC,

后11

由（1）可知，PO