第07講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（學生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學銜接（新人教版）

第07講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【學習目標】1.會結合一元二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程實根的存在性及實根個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關系．2.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義，能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系【基礎知識】一、一元二次不等式一般地，我們把只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.二、二次函數(shù)的零點1.一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．2.二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．3.一元二次方程的根是相應一元二次函數(shù)的零點．三、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系【解讀】(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．四、解一元二次不等式的一般步驟1.通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；2.計算對應方程的判別式；3.求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；4.根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．【解讀】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構成的，三者之間相互依存、相互轉化．五、解含參數(shù)的一元二次不等式1.若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；2.若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；3.若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．六、簡單分數(shù)不等式的解法1.對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．2.對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立問題1.不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為空集的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【考點剖析】考點一：一元二次不等式的解法例1．(2022學年新疆喀什市普通高中高一上學期期末)解下列不等式：(1)；(2).考點二：三個二次關系的應用例2．(2020-2021學年安徽省滁州市定遠中學高一上學期考試)已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集是(

)A．或 B．C．或 D．考點三：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例3．解關于x的不等式考點四：簡單分數(shù)不等式的解法例4．(多選)(2022學年湖南省懷化市高一上學期期末)集合也可以寫成(

)A． B．C．或 D．考點五：一元二次不等式恒成立問題例5．(2020-2021學年廣東省江門市新會陳經綸中學高一上學期期中)已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是(

)A． B． C．或 D．或【真題演練】1．(2022學年浙江省強基聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)不等式的解集是(

)A． B．C．或 D．2.(2022學年浙江省“新高考名校聯(lián)盟”高一下學期5月檢測)一元二次不等式對一切實數(shù)恒成立，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．3.(2022學年重慶市石柱中學校高一上學期第一次月考)已知函數(shù)的圖象都在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍(

)A． B．C． D．4.(多選)(2022學年江蘇省鹽城市大豐區(qū)新豐中學高一上學期期中)下列不等式的解集為R的有(

)A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<15.(多選)(2022學年江蘇省南京市第一中學高一上學期10月月考)對于給定實數(shù)，關于的一元二次不等式的解集可能是(

)A． B． C． D．6.(2022學年湖南省衡陽市田家炳實驗中學高一上學期月考)已知二次函數(shù)圖象如圖所示.則不等式的解集為_________.7.(2020-2021學年浙江省衢州五校高一上學期11月期中聯(lián)考)(1)若不等式的解集為，求的值.(2)不等式的解集為A，求集合A.8.(2022學年廣東省江門市廣雅中學高一上學期月考)求下列不等式的解集．(1)；(2)【過關檢測】1.(2022學年安徽省亳州市利辛縣第一中學高一下學期4月聯(lián)考)不等式的解集為(

)A． B．或C． D．或2.(2022學年陜西省西安市長安區(qū)高一下學期月考)若不等式對一切實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．3.(2022學年廣東省化州市第三中學高一下學期3月考試)已知不等式的解集是，則的值為(

)．A．1 B． C．0 D．4.(2022學年甘肅省定西市高一下學期統(tǒng)一檢測)若關于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2022學年福建省晉江市第一中學高一上學期月考)已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是(

)A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．6.(多選)(2022學年安徽省皖西地區(qū)高一下學期期中大聯(lián)考)若不等式的解集為，則下列說法正確的是(

)A． B．C．關于的不等式解集為 D．關于的不等式解集為7.(2022學年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學高一上學期月考)若不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．8.(2022學年湖北省黃石市有色第一中學高一上學期期