新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題命題點(diǎn)4三角函數(shù)與解三角形練習(xí)含答案

命題點(diǎn)4三角函數(shù)與解三角形預(yù)測(cè)說(shuō)明三角函數(shù)與解三角形在高考中各種題型都會(huì)涉及,大部分是考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,主要考查運(yùn)算求解、邏輯推理能力.命題方向:1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì):常以兩種形式出現(xiàn):一是圍繞三角函數(shù)的求值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等展開(kāi),以填空題、選擇題的形式為主,考查數(shù)形結(jié)合思想與推理、運(yùn)算能力.二是三角函數(shù)圖象的變換問(wèn)題,主要針對(duì)三角函數(shù)圖象的平移、伸縮、對(duì)稱、翻折等變換進(jìn)行研究,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.2.三角恒等變換與解三角形:(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)、求值(角)(給角求值、給值求值、給值求角);(2)解三角形(求邊、角、最值、面積、證明問(wèn)題等).以三角恒等變換為工具,利用正余弦定理、向量等知識(shí)進(jìn)行求解,主要考查邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng).預(yù)測(cè)探究識(shí)透高頻考點(diǎn)1.(2024浙江紹興4月適應(yīng)性考試,6)已知x∈π6,2π3,sinx?π6=35,則tanA.-247B.-724C.7242.(多選)(2024安徽皖江名校聯(lián)盟模擬,9)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分圖象如圖,則(BD)A.A=3B.函數(shù)fx+π3C.函數(shù)fx+π3D.函數(shù)f(x)在(0,2π)上有4個(gè)極值點(diǎn)3.(多選)(2024江蘇南京師大附中模擬,10)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若AB·AC=2,a=2,則(BCD)A.bccosA=2aB.b2+c2=8C.角A的最大值為πD.△ABC面積的最大值為34.(2024湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考六,15)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=bcosC-33csin(1)求角B;(2)過(guò)B作BD⊥BA,交線段AC于D,且AD=2DC,求角C.回歸教材向量法解三角形(可參考人教A版教材必修第二冊(cè)P63“數(shù)學(xué)探究:用向量法研究三角形的性質(zhì)”)解析(1)由正弦定理及題意得sinA=cosCsinB-33sinCsin∵A=π-(B+C),∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-33sinCsinB∴cosBsinC=-33sinCsinB又B,C∈(0,π),∴sinC≠0,∴tanB=-3,∴B=2π3(2)∵D在AC邊上,且AD=2DC,∴BD=23BC+∵BD⊥BA,∴BD·BA=0,即13BA+23BC·BA=0,BA∴c2+2accosB=0,由(1)知cosB=cos2π3=-1∴c2=ac,c=a.∴A=C,又B=23π,∴C=π悟透新型考法1.(多選)(2024浙江嘉興二模,10)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,它的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過(guò)點(diǎn)A(a,b)(ab≠0,a≠b),定義:Ti(α)=a+ba?b.對(duì)于函數(shù)f(x)=Ti(x),則(A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π4B.函數(shù)f(x)在區(qū)間π4C.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π4D.方程f(x)=12在區(qū)間[0,π]2.(2024河北唐山二模,17)(1)證明:sin3x=3sinx-4sin3x;(2)若sin10°∈1n+1,1n,n∈N*,利用(1新型考法以三角函數(shù)為載體,考查零點(diǎn)存在定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解析(1)證明:sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcosx·cosx+(1-2sin2x)sinx=2sinx(1-sin2x)+sinx-2sin3x=3sinx-4sin3x.(2)由(1)可知,sin30°=3sin10°-4sin310°=12即sin10°是方程4x3-3x+12=0的一個(gè)實(shí)根令f(x)=4x3-3x+12,則f'(x)=12x2-3=3(2x+1)(2x-1),顯然0<sin10°<sin30°=12,當(dāng)0<x<12f'(x)<0,所以f(x)=4x3-3x+12在0,12上單調(diào)遞減,又f16=4×163>0,f15-17250<0,所以sin10°∈1即n=5.3.(2024湖南婁底一模,17)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=13,A=2π3,b>c,△ABC的內(nèi)切圓圓I的面積為3π(1)求b、c的值及cos∠ABC;(2)若點(diǎn)D在AC上,且B,I,D三點(diǎn)共線,試討論在BC邊上是否存在點(diǎn)M,使得BI·BM=CI·CM?若存在,求出點(diǎn)M的位置,并求出△DBM的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.新型考法三角形內(nèi)切圓在解三角形中的應(yīng)用解析(1)由△ABC內(nèi)切圓圓I的面積為3π,可得圓I的半徑為r=3,則S△ABC=12×3(13+b+c)=12bcsin∴bc=26+2(b+c),∴b+c=12bc-13,由余弦定理得b2+c2-2bccos2π3得(b+c)2-bc=169,將b+c=12bc-13代入整理得(bc)2-56bc=0解得bc=56,∴b+c=15,∵b>c,∴b=8,c=7.∴由余弦定理的推論得cos∠ABC=132+7(2)記圓I與BC邊切于點(diǎn)E,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可求得BE=6,CE=7,若BI·BM=CI·CM,則|BE|·|BM|=|CE|·|CM|,即6|BM|=7(13-|BM|),解得|BM|=7,∴在BC邊上存在點(diǎn)M,使得BI·BM=CI·CM.依題意可知I為△ABC的內(nèi)心,則BD平分∠ABC,記∠ABD=∠DBC=θ,由(1)知cos∠ABC=cos2θ=1113故cosθ=1+cos2θ2=sinθ=1?cos2θ2=在△ABD中,∠ADB=π-2π3-θ=π3-由正弦定理得,BDsin2π3=AB又sinπ3?θ=32cosθ-12sinθ=∴BD=7395,(提示:還可利用角平分線定理求BD)S△DBM=12×|BM|×|BD|×sinθ=12×7×739故BC邊上存在點(diǎn)M,使得BI·BM=CI·CM,此時(shí)BM=7,S△DBM=493參透創(chuàng)新情境(2024湖南長(zhǎng)沙一中適應(yīng)性演練(一),16)“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出.該問(wèn)題是:“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn),使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答,當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí),使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí),最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題:已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1.(1)求A;(2)若bc=2,設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),求PA·PB+PB·PC+PC·PA.新定義理解通過(guò)對(duì)“費(fèi)馬點(diǎn)”的理解和應(yīng)用,綜合考查解三角形與平面向量等知識(shí)解析(1)由已知△ABC中,cos2B+cos2C-cos2A=1,即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,故△ABC為直角三角形,且A=π2(2)由(1)知A=π2,所以△ABC的三個(gè)角都小于1