10 立體幾何（基礎卷）（解析版）

2025年普通高等學校對口招生考試數(shù)學二輪復習單元專項卷第九章立體幾何（基礎卷）選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．已知正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線線垂直證明線面垂直即可得兩直線垂直，進而可求解夾角大小.【詳解】由于在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面,故，所以直線與直線所成角為，故選：A

2．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)，將直線平移到，再利用即可求得角的大小.【詳解】連接，如下圖所示：

根據(jù)正方體性質(zhì)可知，所以直線與所成的角即為直線與所成的角；設正方體棱長為2，易知，，，在中，滿足，即，因此，所以.故選：B3．已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個命題正確的是（

）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【分析】舉例說明判斷①②；利用線線、線面垂直的判定、性質(zhì)推理判斷③④作答.【詳解】長方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，當直線AD為直線a時，滿足，，而，①不正確；當直線為直線a時，滿足，，而，②不正確；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；因，過直線b作平面，如圖，則有，又，，于是得，從而得，④正確，∴給定命題正確的是③④.故選：D.4．已知圓柱的底面半徑是3，高是4，那么圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】由題意設底面半徑為，母線為，圓柱的側(cè)面積為.故選：C.5．設l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】依據(jù)線面垂直判定定理去判斷各個選項即可解決.【詳解】選項A：若，，則或或相交.判斷錯誤；選項B：若，，則或或相交.判斷錯誤；選項C：若，，則或或相交.判斷錯誤；選項D：若，，則，又，則.判斷正確.故選：D6．對于平面和兩條直線，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若與所成的角相等，則C．若，，則 D．若，，n在平面α外，則【答案】D【分析】根據(jù)空間線、面的位置關系即可判斷A,B,C,利用線面平行的判定定理可判斷D.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若與所成的角相等，則相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若，，則相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若，，n在平面α外，則由線面平行的判定定理得，故D正確.故選:D.7．已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐底面的半徑為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】設圓錐的底面圓半徑為，母線為，根據(jù)圓的面積公式求出l，進而求出扇形的弧長，結合圓的周長公式計算即可求解.【詳解】設圓錐的底面圓半徑為，母線為，則，解得，所以側(cè)面展開圖扇形的弧長為，有，解得，即圓錐的底面圓半徑為1.故選：A8．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，若，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】借助正方體模型，通過空間想象即可判斷.【詳解】若，則，又，則.反之，如圖，在正方體中，記平面為，平面為，分別為直線，則滿足，，但不平行，所以是的充分不必要條件.故選：A.9．已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三棱棱柱體積的計算公式直接計算，判斷選項.【詳解】,故選:A10．若某圓錐的母線與底面所成的角為，且其母線長為4，則該圓錐的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知圓錐的高與底面半徑相等，再由母線長可求出高和底面半徑，從而可求出圓錐的體積.【詳解】因為該圓錐的母線與底面所成的角為,且其母線長為4，所以該圓錐的高與底面半徑相等,且都等于,所以該圓錐的體積,故選：A二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．已知圓錐的母線長為2，底面半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】因為圓錐的母線長為，底面半徑為，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.12．在正方體中，與平面所成角的大小為.【答案】【分析】找到即為與平面所成角，求出大小.【詳解】由于⊥平面，故即為與平面所成角，因為，所以，故與平面所成角為.故答案為：13．若一個圓柱的底面半徑和母線長都是1，則這個圓柱的體積是.【答案】【分析】直接根據(jù)圓柱的體積公式計算即可得出答案.【詳解】這個圓柱的體積.故答案為：.14．已知正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則其體積為．【答案】/【分析】應用棱錐的體積公式求體積即可.【詳解】由正三棱錐性質(zhì)知：底面是邊長為2的等邊三角形，故底面積為，又三棱錐的高為1，故體積為.故答案為：15．已知球的表面積為，則該球的體積為．【答案】【分析】根據(jù)球體表面積計算公式求出球體半徑，再根據(jù)球體體積計算公式求出球體體積即可.【詳解】設球體的半徑為，根據(jù)已知有：，解得，所以球體體積為：.故答案為：.三、解答題（本大題共7小題，滿分60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．如圖，四邊形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.（1）求證：平面⊥平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明PC⊥平面ABC即可得到結論；（2）取BC的中點為O，連接MO，證明四邊形PMOC為平正方形，則有，可求得結果.【詳解】（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.（2）取BC的中點為O，連接MO，PM∥BC，又PM=BC=CO，∴四邊形PMOC為平行四邊形，∴PC∥MO，∵PC⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∠AMO為AM與PC所成的角，即∠AMO=，∵AC=CO=1，∠ACO=，∴AO=，∴OM=1，則四邊形PMOC為正方形，.【點睛】本題考查面面垂直的證明和求三棱錐的體積，其中求三棱錐體積經(jīng)常運用切換頂點求體積，屬中檔題.17．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用中位線的性質(zhì)、線面平行的判定定理即可證明；(2)利用等體積法求解即可.【詳解】（1）如圖，連接交于點，再連接,在中，為中點，為的中，所以,且平面，平面,所以平面.（2）因為該幾何體為正方體，所以點到平面的距離等于，所以點到平面的距離等于，根據(jù)等體積法可知.18．如圖，平面，四邊形為矩形，，，點是的中點，點在邊上移動.(1)求三棱錐的體積；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）等體積法解決即可；（2）線面垂直的判定定理，性質(zhì)定理相結合解決即可.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，，.（2）證明：平面，，又，且點是的中點，，又，，，平面，又平面，，由，，，平面，平面，.19．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，為的中點，，．

(1)求三棱柱的表面積；(2)求證：平面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分別求三棱柱每個面的面積相加即可；（2）利用線面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）因為側(cè)棱底面，所以三棱柱為直三棱柱，所以側(cè)面，，均為矩形．因為，所以底面，均為直角三角形．因為，，所以．所以三棱柱的表面積為．（2）連接交于點，連接，因為四邊形為矩形，所以為的中點．因為為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．

20．如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的各棱長均為2，求它的表面積.【答案】(1)證明過程見解析；(2)【分析】（1）由中位線證明線線平行，從而線面平行；（2）得出該三棱錐為正四面體，求出邊長為2的等邊三角形的面積，再乘以4即可【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別是AB，AP的中點，所以EF是三角形ABP的中位線，所以EF//PB，因為平面，平面，所以平面.（2）若三棱錐的各棱長均為2，則該三棱錐為正四面體，四個面是全等的等邊三角形，故它的表面積為21．如圖，在正方體中，，求：(1)異面直線與所成角的大?。?2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）找到即為異面直線與所成角，求出各邊長，得到答案；（2）作出輔助線，證明出面，求出點到平面的距離為.【詳解】（1）因為，所以即為異面直線與所成角，因為，由勾股定理得，，故，所以；（2）連接交于，則，因為⊥平面，平面，所以，又因為，，平面，所以面，所以線段為所求距離，所以點到平面的距離為.22．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分別是PA，PB的中點，求證：(1)平面ABCD；(2