高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊(cè))3.1函數(shù)的概念及表示(精講)(原卷版+解析)

3.1函數(shù)的概念及表示（精講）考點(diǎn)一區(qū)間的表示【例1-1】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來(lái)．(1)；(2)；(3)；(4)或．【例1-2】(2023廣東）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍是________.【【方法總結(jié)】用區(qū)間表示數(shù)集的原則有①數(shù)集是連續(xù)的；②左小右大；③區(qū)間的一端是開(kāi)或閉不能弄錯(cuò)；用區(qū)間表示數(shù)集的方法：區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開(kāi)；（3）用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．2．(2023·江蘇·高一）下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．52．(2023·安徽）已知為一個(gè)確定的區(qū)間，則a的取值范圍是________.考點(diǎn)二函數(shù)概念的辨析【例2-1】(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【例2-2】(2023·四川?。┫铝惺菑募螦到集合B的函數(shù)的是（

）A．，對(duì)應(yīng)法則B．，，對(duì)應(yīng)法則C．，對(duì)應(yīng)法則D．，，對(duì)應(yīng)法則【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．2．(2023·江蘇·高一）如圖，設(shè)，，表示A到B的函數(shù)的是__________填序號(hào)．3．(2023·云南）有對(duì)應(yīng)法則f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)的有________(填序號(hào))．考點(diǎn)三函數(shù)的定義域【例3-1】(2023·江蘇·高一）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）．A． B．C． D．【例3-2】(2023·廣東）（1）已知的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域；（2）已知的定義域?yàn)椋蟮亩x域；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．(4）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椤纠?-3】（1）(2023·新疆）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是（

）A．B．C．D．（2）(2023·廣東·廣州市白云中學(xué)高一期中）已知的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B．【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．(2023·全國(guó)·高一階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．3．(2023·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4．(2023·全國(guó)·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義城是________.5．(2023·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________.6．(2023·江蘇）已知函數(shù)，若的定義域?yàn)?，則的取值范圍是________．7．(2023·湖南）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則的取值范圍是__________．8．(2023·青海）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法【例5-1】(2023·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，部分與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：則（

）A． B． C． D．【例5-2】(2023·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求函數(shù)的解析式；（5）已知是上的函數(shù)，，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．【例5-3】(2023·黑龍江）作出下列函數(shù)的大致圖像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【一隅三反】1．(2023·河南）已知函數(shù)，用列表法表示如下：則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式；（1）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足；（2）已知函數(shù)為二次函數(shù)，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式對(duì)一切實(shí)數(shù)?都成立，且；（5）知函數(shù)滿(mǎn)足條件對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)恒成立；（6）已知，求的解析式．3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）把下列函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，求出定義域和值域并作出函數(shù)圖像：（1）；（2）.考點(diǎn)五相等函數(shù)的判斷【例5】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【一隅三反】1(2023·云南）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（

）A．， B．，C．， D．，2．(2023·全國(guó)·高一）下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．(2023·江蘇·高一）下列各組函數(shù)的圖象相同的是（

）A． B．

C． D．考點(diǎn)六分段函數(shù)【例6-1】(2023·江蘇·高一）函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【例6-2】(2023·新疆）已知函數(shù)，若，則a的值是（）A．3或 B．或4 C． D．3或或4【一隅三反】1．(2023·河南信陽(yáng)）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求x的值.2．(2023·浙江）已知（1）畫(huà)出的圖象；（2）若，求x的取值范圍；（3）求的值域.3(2023·江西）已知函數(shù)（1）在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；（2）若，求a的取值集合.3.1函數(shù)的概念及表示（精講）考點(diǎn)一區(qū)間的表示【例1-1】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來(lái)．(1)；(2)；(3)；(4)或．答案:(1)；(2)；(3)；(4).解析：(1)用區(qū)間表示為；(2)用區(qū)間表示為；(3)用區(qū)間表示為；(4)或用區(qū)間表示為.【例1-2】(2023廣東）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍是________.答案:解析：由區(qū)間的定義知，解得.【【方法總結(jié)】用區(qū)間表示數(shù)集的原則有①數(shù)集是連續(xù)的；②左小右大；③區(qū)間的一端是開(kāi)或閉不能弄錯(cuò)；用區(qū)間表示數(shù)集的方法：區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開(kāi)；（3）用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．答案:（1）（2）（3）解析：（1）根據(jù)集合與區(qū)間的改寫(xiě)，可得．（2）由或．（3）由或．2．(2023·江蘇·高一）下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5答案:D解析：區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無(wú)限集①②是自然數(shù)集的子集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示，④是圖形的集合，不是數(shù)集，等邊三角形組成的集合．⑥Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有⑤可以，區(qū)間形式為，故答案為：D.2．(2023·安徽）已知為一個(gè)確定的區(qū)間，則a的取值范圍是________.答案:.解析：由為一個(gè)確定的區(qū)間知，解得，因此a的取值范圍是.故答案為：考點(diǎn)二函數(shù)概念的辨析【例2-1】(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，那么下列四個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②答案:C解析：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于①中，函數(shù)的定義域不是集合，所以不能構(gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于②中，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，值域?yàn)榧?，所以可以?gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于③中，函數(shù)的定義域?yàn)榧希涤驗(yàn)榧?，所以可以?gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于④中，根據(jù)函數(shù)的定義，集合中的元素在集合中對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不符合函數(shù)的定義，所以不正確.故選：C【例2-2】(2023·四川?。┫铝惺菑募螦到集合B的函數(shù)的是（

）A．，對(duì)應(yīng)法則B．，，對(duì)應(yīng)法則C．，對(duì)應(yīng)法則D．，，對(duì)應(yīng)法則答案:B解析：A：當(dāng)，，但，所以集合A中的一個(gè)元素在集合B中沒(méi)有元素和它對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一對(duì)應(yīng)，是函數(shù)，故B正確；C：集合A中的負(fù)數(shù)在集合B中沒(méi)有元素和它對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D：集合A中元素為0時(shí)，其倒數(shù)不存在，所以在集合B中五對(duì)應(yīng)元素，不是函數(shù)，故D錯(cuò)誤；【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．答案:B解析：B中，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值和對(duì)應(yīng)，不滿(mǎn)足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿(mǎn)足函數(shù)的定義，故選：B2．(2023·江蘇·高一）如圖，設(shè)，，表示A到B的函數(shù)的是__________填序號(hào)．答案:④解析：根據(jù)函數(shù)的定義，在③中，存在一個(gè)x對(duì)應(yīng)兩個(gè)y，③不是函數(shù)；①，②中函數(shù)的值域不是，故排除①②③；可知④符合題意.故答案為：④．3．(2023·云南）有對(duì)應(yīng)法則f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)的有________(填序號(hào))．答案:（1）(4)解析：（1）由函數(shù)的定義知，正確；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，B中不存在數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，故錯(cuò)誤；（3）當(dāng)x＝0時(shí)，B中不存在數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，故錯(cuò)誤；（4）由函數(shù)的定義知，正確；（5）因?yàn)榧螦不是數(shù)集，故錯(cuò)誤；故答案為：（1）(4)考點(diǎn)三函數(shù)的定義域【例3-1】(2023·江蘇·高一）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）．A． B．C． D．答案:D解析：要是函數(shù)有意義，必須，解之得則函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：D【例3-2】(2023·廣東）（1）已知的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域；（2）已知的定義域?yàn)?，求的定義域；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．(4）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)榇鸢?（1）；（2）；（3）.(4)解析：（1）∵中的的范圍與中的x的取值范圍相同．∴，∴，即的定義域?yàn)椋?）由題意知中的，∴.又中的取值范圍與中的x的取值范圍相同，∴的定義域?yàn)椋?）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，∴的定義域?yàn)椋?，即，∴函?shù)的定義域?yàn)?（4）由題函數(shù)的定義域?yàn)?，在中，所以，在中，所?【例3-3】（1）(2023·新疆）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則a的范圍是（

）A．B．C．D．（2）(2023·廣東·廣州市白云中學(xué)高一期中）已知的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A． B．C． D．答案:（1）D（2）D解析：（1）若的定義域?yàn)镽，則當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，無(wú)法滿(mǎn)足定義域?yàn)镽．綜上所述：，D正確．故選：D（2）由題意可知，的解集為，①當(dāng)時(shí)，易知，即，這與的解集為矛盾；②當(dāng)時(shí)，若要的解集為，則只需圖像開(kāi)口向上，且與軸無(wú)交點(diǎn)，即判別式小于0，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:D解析：使得函數(shù)的表達(dá)式有意義，則且，解得故選：D2．(2023·全國(guó)·高一階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:C解析：要使函數(shù)有意義，則有，解得且，所以其定義域?yàn)椋蔬x：C.3．(2023·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:B解析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，則，所以，解得，所以的定義域?yàn)椋蔬x：B4．(2023·全國(guó)·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義城是________.答案:解析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，只需，即，所以函數(shù)的定義城是.故答案為：5．(2023·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________.答案:解析：函數(shù)的定義域?yàn)?，即，所以，所以，即，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：.6．(2023·江蘇）已知函數(shù)，若的定義域?yàn)椋瑒t的取值范圍是________．答案:解析：由已知得對(duì)恒成立，即，∴.故答案為：.7．(2023·湖南）函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則的取值范圍是__________．答案:解析：由于，所以解得或.所以的取值范圍是.故答案為：8．(2023·青海）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.答案:解析：由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，即在上恒成立，?dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；當(dāng)時(shí)，要使恒成立，即方程無(wú)實(shí)根，只需判別式，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)四函數(shù)的表示方法【例5-1】(2023·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，部分與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：則（

）A． B． C． D．答案:D解析：由表知，，則．故選：D．【例5-2】(2023·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求函數(shù)的解析式；（5）已知是上的函數(shù)，，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．答案:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解析：（1）∵，∴．（2）設(shè)，則，，即，∴，∴．（3）∵是二次函數(shù)，∴設(shè)．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，則，∴．【例5-3】(2023·黑龍江）作出下列函數(shù)的大致圖像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答案:見(jiàn)解析解析：（1），圖象如圖所示：（2），圖象如圖所示：（3），圖象如圖所示：（4），圖象如圖所示：（5），【一隅三反】1．(2023·河南）已知函數(shù)，用列表法表示如下：則（

）A． B． C． D．答案:B解析：由列表可知.故選：B.2．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式；（1）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足；（2）已知函數(shù)為二次函數(shù)，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式對(duì)一切實(shí)數(shù)?都成立，且；（5）知函數(shù)滿(mǎn)足條件對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)恒成立；（6）已知，求的解析式．答案:（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．解析：（1）設(shè)，則所以解得：所以；（2）設(shè)，解得：（3），令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得或，，或（4）因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)?都成立，且令則，又因?yàn)樗裕矗?）將代入等式得出，聯(lián)立，變形得：，解得（6）由題意得：定義域?yàn)樵O(shè)，則

．3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）把下列函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，求出定義域和值域并作出函數(shù)圖像：（1）；（2）.答案:（1）定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑘D像見(jiàn)解析；（2）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，圖像見(jiàn)解析.解析：（1），定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑘D像如圖所示：（2）定義域?yàn)?，值域?yàn)?圖像如圖所示：考點(diǎn)五相等函數(shù)的判斷【例5】(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與答案:C解析：A．函數(shù)的定義域?yàn)?，，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，B．，定義域?yàn)?，函?shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)C．兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)D．由得得，由得或，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，故選：C．【一隅三反】1(2023·云南）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（

）A．， B．，C．， D．，答案:A解析：對(duì)于A(yíng)，與定義域均為，，與為相等函數(shù)，A正確；對(duì)于B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋c不是相等函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，與不是相等函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.2．(2023·全國(guó)·高一）下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．答案:D解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽.對(duì)于A(yíng)：的定義域?yàn)椋逝c函數(shù)不是同一函數(shù).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)椋逝c函數(shù)不是同一函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)镽，但是，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：的定義域?yàn)镽，且，故與函數(shù)是同一函數(shù).故D正確.故選：D.3．(2023·江蘇·高一）下列各組函數(shù)的圖象相同的是（

）A． B．

C． D．答案:B解析：若函數(shù)與的圖象相同則與表示同一個(gè)函數(shù)，則與的定義域和解析式相同.A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，故排除A；B：，與的定義域、解析式相同，