專題04相似三角形的存在性-2023年中考數(shù)學(xué)畢業(yè)班二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練(上海地區(qū)專用)(原卷版+解析)

專題04相似三角形的存在性目錄最新?？碱}熱點(diǎn)題型歸納【題型一】相似三角形的存在性【題型二】圓和相似三角形【題型三】雙等角模型【題型四】345模型【題型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，點(diǎn)D是斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，EF垂直平分BD交射線BA于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊AC上的中點(diǎn)時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊BA的延長(zhǎng)線上，且AF＝2時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【提分秘籍】相似三角形存在性問(wèn)題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問(wèn)題的計(jì)算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應(yīng)用更為突出）①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒(méi)有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大?。虎谌魞蓚€(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后用相似來(lái)列方程求解?！咀兪窖菥殹?．（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的中線，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)Q是CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)B為CQ的中點(diǎn)時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）設(shè)BQ＝x，PD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AB交PQ于F，當(dāng)△BDF和△ABC相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)．2．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠EDB＝∠ADC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)G，交射線AC于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求∠DAB的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長(zhǎng)．3．(2023·上海徐匯區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊在外作正方形，分別聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求正方形的面積；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如果和相似，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．4．(2023·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，求的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（3）聯(lián)結(jié)如果與相似，求線段的長(zhǎng)．5.(2023松江一模）如圖，已知在等腰中，，，，垂足為F，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)DF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果，求線段AD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，DE交BF于點(diǎn)Q，連接DF，如果和相似，求線段BD的長(zhǎng)．【題型二】圓和相似三角形【典例分析】(2023?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，BC＝OB，點(diǎn)D是在半圓O上的點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯(lián)結(jié)DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果點(diǎn)D平分，求tan∠DFA；（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G，當(dāng)△DOG和△EGC相似時(shí)，求∠AOD．【提分秘籍】[圓中相似思路]利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等:若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問(wèn)題中的線段可能并非相似三角形中的線段確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明.【變式演練】1.【2023寶山二?！咳鐖D，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點(diǎn)B、點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以點(diǎn)P為圓心作圓，圓P與直線BC相切．①求圓P的半徑長(zhǎng)；②又BC＝8，以BC為直徑作圓O，試判斷圓O與圓P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如果分別以AB、CD為直徑的兩圓外切，求證：△ABC與△BCD相似．2.【2023虹口二?！浚ū绢}滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，點(diǎn)M是射線AB上一點(diǎn)，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點(diǎn)D．（1）如圖9，當(dāng)MC=AC時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BM=x，四邊形CBMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如果直線MD與射線BC相交于點(diǎn)E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長(zhǎng)．CCMBA圖9DCCBA備用圖3.【2023年浦東新區(qū)二?！浚?4分）已知：半圓O的直徑AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上，且tan∠ABC＝2，點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DC（如圖）（1）求BC的長(zhǎng)；（2）若射線DC交射線AB于點(diǎn)M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)OD，當(dāng)OD∥BC時(shí)，作∠DOB的平分線交線段DC于點(diǎn)N，求ON的長(zhǎng)．【題型三】雙等角模型【典例分析】【提分秘籍】【題型四】345模型【典例分析】【提分秘籍】模型1：頂角(底角)為37°的等腰三角形模型2：頂角(底角)為53°的等腰三角形專題04相似三角形的存在性目錄最新?？碱}熱點(diǎn)題型歸納【題型一】相似三角形的存在性【題型二】圓和相似三角形【題型三】雙等角模型【題型四】345模型【題型一】相似三角形的存在性【典例分析】1．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，點(diǎn)D是斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，EF垂直平分BD交射線BA于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊AC上的中點(diǎn)時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊BA的延長(zhǎng)線上，且AF＝2時(shí)，求AD的長(zhǎng)．分析：（1）連接DF，DE，由∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，得AB＝6，BC＝8，而D是AC中點(diǎn)，知BD＝AC＝5，從而DG＝BD＝，證明△DGF∽△ABC∽△EGD，可得＝，＝，解得FG＝，EG＝，即可得EF＝FG+EG＝；（2）分兩種情況：①當(dāng)△DEC∽ABC時(shí)，設(shè)CE＝m，則BE＝8﹣m＝DE，有＝，解得m＝；②當(dāng)△EDC∽△ABC時(shí)，設(shè)CE＝n，則BE＝DE＝8﹣n，可得＝，解得n＝5，即可得△DEC和△ABC相似，CE的長(zhǎng)為或5；（3）連接DF，過(guò)D作DK⊥AB于K，由∠ADK＝∠C，有＝，設(shè)AK＝3t，則DK＝4t，在Rt△DKF中，得（4t）2+（3t+2）2＝82，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）連接DF，DE，如圖：∵∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，∴AB＝6，BC＝8，∵D是AC中點(diǎn)，∴BD＝AC＝5，∵EF是BD的垂直平分線，∴DG＝BD＝，∵D是AC中點(diǎn)，∠ABC＝90°，∴AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠DBA，∠C＝∠DBC，∵EF是BD的垂直平分線，∴DF＝BF，DE＝BE，∴∠FDG＝∠DBA，∠EDG＝∠DBC，∴∠FDG＝∠A，∠EDG＝∠C，∵∠DGF＝∠ABC＝90°＝∠EGD，∴△DGF∽△ABC∽△EGD，∴＝，＝，∴＝，＝，解得FG＝，EG＝，∴EF＝FG+EG＝；（2）①當(dāng)△DEC∽ABC時(shí)，如圖：設(shè)CE＝m，則BE＝8﹣m＝DE，∵＝，∴＝，解得m＝，∴CE＝；②當(dāng)△EDC∽△ABC時(shí)，如圖：設(shè)CE＝n，則BE＝DE＝8﹣n，∵＝，∴＝，解得n＝5，∴CE＝5；綜上所述，△DEC和△ABC相似，CE的長(zhǎng)為或5；（3）連接DF，過(guò)D作DK⊥AB于K，如圖：∴DK∥BC，∴∠ADK＝∠C，∴tan∠ADK＝tanC＝，即＝，設(shè)AK＝3t，則DK＝4t，∵AB＝6，AF＝2，∴BF＝8＝DF，KF＝AK+AF＝3t+2，在Rt△DKF中，DK2+KF2＝DF2，∴（4t）2+（3t+2）2＝82，解得t＝或t＝（舍去），∴AD＝＝＝5t＝，∴AD的長(zhǎng)是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形中的相似問(wèn)題，涉及勾股定理及應(yīng)用，垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及應(yīng)用．【提分秘籍】相似三角形存在性問(wèn)題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問(wèn)題的計(jì)算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應(yīng)用更為突出）①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒(méi)有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小；②若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后用相似來(lái)列方程求解。【變式演練】1．（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的中線，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)Q是CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）當(dāng)點(diǎn)B為CQ的中點(diǎn)時(shí)，求PD的長(zhǎng)；（2）設(shè)BQ＝x，PD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AB交PQ于F，當(dāng)△BDF和△ABC相似時(shí)，求BQ的長(zhǎng)．分析：（1）由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得∠PCQ＝∠ABC，則可得△PCQ∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)即可求得PC的長(zhǎng)度，從而求得結(jié)果；（2）由△PCQ∽△CBA，即可求得PC的長(zhǎng)度，從而由y＝PC﹣CD即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，由CQ在CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，即可寫出x的取值范圍；（3）分△DBF∽△ACB，△DBF∽△BCA兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)即可完成求解．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵CD是邊AB上的中線，∴，∴∠PCQ＝∠ABC，∵∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△CBA，即，∵點(diǎn)B為CQ的中點(diǎn)，∴CQ＝2BC＝8，∴，∴；（2）解：∵△PCQ∽△CBA，∴，∵CQ＝BC+BQ＝4+x，∴，∴，∵點(diǎn)Q是CB延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，∴x＞4，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，x的取值范圍為x＞4；（3）若△DBF∽△ACB，如圖，則，∴，∵∠FBQ+∠ABC＝∠ABC+∠A＝90°，∠PCQ+∠ACD＝∠PCQ+∠PQC＝90°，∴∠FBQ＝∠A，∠ACD＝∠PQC，∴△FBQ∽△DAC，∴，∵，∴；若△DBF∽△BCA，如圖，則，∠FDB＝∠ABC，∴，DF∥CQ，∴△PDF∽△PCQ，∴，即DF?PC＝PD?CQ，∴，化簡(jiǎn)得：4x2+7x﹣36＝0，解得：，x2＝﹣4（舍去），∴．綜上，BQ的長(zhǎng)為4或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理，正確運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．2．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠EDB＝∠ADC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)G，交射線AC于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求∠DAB的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長(zhǎng)．分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥AC，延長(zhǎng)FE交AT于T，直線DE交AT于K，交AC的延長(zhǎng)線于R．想辦法證明AR＝AT＝8，再證明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得結(jié)論．（3）利用△CFD與△ADH相似，可得＝或＝，由此構(gòu)建方程求出CD，當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，同法可求CD．【解答】解：（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥AC，延長(zhǎng)FE交AT于T，直線DE交AT于K，交AC的延長(zhǎng)線于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x＜2）．（3）如圖3中，連接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF與△AGE相似，∴△CFD與△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x+16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍棄）或8﹣4或8+4（舍棄），∴CD＝4﹣4或8﹣4，當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，同法可得，CD＝，綜上所述，滿足條件的CD的值為4﹣4或8﹣4或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．(2023·上海徐匯區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊在外作正方形，分別聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求正方形的面積；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如果和相似，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．答案:（1）；（2）；（3）．分析：（1）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)CD=x，則AD=12-x，利用勾股定理得出132=x2+(12-x)2+(5+x)2+x2，求出x的值，再利用正方形的面積公式求解即可；（2）先證∠BAC=∠EBF，設(shè)邊長(zhǎng)為x，利用三角函數(shù)求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可；（3）設(shè)邊長(zhǎng)為x，利用△BCG∽△EDG，得出，然后聯(lián)立，根據(jù)AG=AE，求解即可．【詳解】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，設(shè)CD=x，則AD=12-x，在△ADE中，AE2=DE2+AD2=x2+(12-x)2，在△BFE中，BE2=BF2+EF2=(5+x)2+x2，在△ABE中，AE⊥BE，∴AB2=AE2+BE2，即132=x2+(12-x)2+(5+x)2+x2，解得x=，∴正方形的面積=CD2=×=；（2）如圖：延長(zhǎng)ED交AB于H，∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH，∴∠BEH=∠BAG，∵DE∥EF，∴∠BEH=∠EBF，∴∠BAC=∠EBF，設(shè)邊長(zhǎng)為x，則tan∠EBF=，tan∠BAC=，令=，則x=,∵，∵，∴BH=13-AH=，HD=，∴HE=HD+x=，過(guò)H作HM，與BE相交于M，,；（3）∵DE//BC,∴△BCG∽△EDG，設(shè)邊長(zhǎng)為x，∴，∵DG+GC=x，∴DG=，GC=，則，令A(yù)G=AE，則CD=x=或x=（舍去）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及利用三角函數(shù)求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線，表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．4．(2023·上海楊浦區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)F．（1）如果點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，求的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；（3）聯(lián)結(jié)如果與相似，求線段的長(zhǎng)．答案:（1）；（2）；（3）4-4、或．分析：（1））過(guò)點(diǎn)D作于H，在中，利用勾股定理解得AD、AB的長(zhǎng)，再結(jié)合等積法，解得DH、AH的長(zhǎng)即可解題；（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，表示，再證明由即得到與x的關(guān)系；（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，結(jié)合（2）中y關(guān)于x的函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，繼而解得x、y的值即可解題．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作于H，在中，；（2）過(guò)E作EH⊥CB于H∵，∴．∴即．∴．∵EH⊥CB，，∴，．∴∵，∴．∵∴．∵∴．∴即．整理得，；（3）在Rt△MDB中，DB=4-x,所以MD=MB=在Rt△ADM中，AM=AB一MB=所以tan∠DAB=按照點(diǎn)F的位置，分兩種情況討論△CDF與△AGE相似:①點(diǎn)F在線段AC上，此時(shí)y=4-2x.如圖，如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得結(jié)合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.解得x=4-4或-4-4（舍去）,如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得結(jié)合y=4--2x,整理，得x2-16x+16=0.解得或（舍去）②點(diǎn)F在線段AC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)y=2x-4如圖如果∠FDC=∠DAB,由結(jié)合y=2x-4，整理，得解得x=或（舍去）如果∠CFD=∠DAB,與y=2x-4整理，得此方程無(wú)解.綜上，CD的值為4-4、或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，涉及解二元一次方程組等知識(shí)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意利用相似三角形性質(zhì)構(gòu)造方程．5.(2023松江一模）如圖，已知在等腰中，，，，垂足為F，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）求邊BC的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)DF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如果，求線段AD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，DE交BF于點(diǎn)Q，連接DF，如果和相似，求線段BD的長(zhǎng)．答案:（1）10；（2）；（3）或．分析：（1）如圖作交BC于點(diǎn)H，設(shè)BH=x，根據(jù)正切可求出AH=2x，再根據(jù)勾股定理解出x即可．（2）作交AC于點(diǎn)E，利用三角形面積公式可求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出，從而得到．再利用和結(jié)合邊的等量關(guān)系得到兩個(gè)關(guān)于未知邊的方程組，解出方程組即可．（3）根據(jù)題意可證明，所以分兩種情況討論①當(dāng)DQ=DF時(shí)，如圖，作交BF于點(diǎn)P，，再反復(fù)利用正切函數(shù)結(jié)合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函數(shù)即可求出BD的長(zhǎng)②當(dāng)DF=QF時(shí)，如圖，作交DQ于點(diǎn)O，同理設(shè)，解出x的值，最后再利用正切函數(shù)即可求出BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖作交BC于點(diǎn)H，設(shè)BH=x，根據(jù)題意，，∴AH=2x，在中，，∴解得x=5．∴BH=5．又∵是等腰三角形，即H點(diǎn)為BC中點(diǎn)，∴BC=2BH=10．（2）根據(jù)題意可知，即，∴，∴，．作交AC于點(diǎn)E，∴，得到：，即．，得到：．又∵∴，由，解得，．∵，是等腰三角形，∴也是等腰三角形，∴．（3）∵，，∴，又∵，∴當(dāng)DQ=DF時(shí)，如圖，作交BF于點(diǎn)P，設(shè)，∵,∴，∴，∴，∵，∵,∴，∴，∵，即解得x=，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，即．∴．當(dāng)DF=QF時(shí)，如圖，作交DQ于點(diǎn)O，設(shè)，同理，，，∵,∴，∴，∴，同理∵，即解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，邊的等量關(guān)系等知識(shí)，作出每一個(gè)問(wèn)的輔助線是解答本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，較難．需特別注意最后問(wèn)的分情況討論．【題型二】圓和相似三角形【典例分析】(2023?徐匯區(qū)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，BC＝OB，點(diǎn)D是在半圓O上的點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），CE⊥CD且CE＝CD，聯(lián)結(jié)DE．（1）如圖1，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果DF＝BF，求證：；（2）如圖2，線段CD與半圓O交于點(diǎn)F，如果點(diǎn)D平分，求tan∠DFA；（3）聯(lián)結(jié)OE交CD于點(diǎn)G，當(dāng)△DOG和△EGC相似時(shí)，求∠AOD．分析：（1）連接OF，證明△FCB∽△OCF，由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出結(jié)論；（2）連接DO交AF于點(diǎn)M，連接BF，證出，設(shè)OM＝a，則BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，由勾股定理求出MF＝a，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案；（3）當(dāng)∠ODG＝∠DCE＝90°時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案；當(dāng)∠DOG＝∠DCE＝90°時(shí)，設(shè)BE的中點(diǎn)為H，連接HO，HC，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】（1）證明：∵DF＝BF，∴∠DOF＝∠FOB，連接OF，在半圓O中，OD＝OF＝OB，∴∠ODF＝∠OFD＝，∠OFB＝∠OBF＝（180°﹣∠FOB），∴∠ODF＝∠OFD＝∠OFB＝∠OBF，∵∠CFB＝180°﹣∠OFB﹣∠OFD＝180°﹣∠OFB﹣∠OBF＝∠FOC，又∵∠FCB＝∠OCF，∴△FCB∽△OCF，∴，又∵OF＝OB＝BC＝OC，∴；（2）解：連接DO交AF于點(diǎn)M，連接BF，∵點(diǎn)D平分，OD是半徑，∴OD⊥AF于點(diǎn)M，AM＝MF，∵OA＝OB，∴OD∥BF，OM＝BF，又∵OC＝OB，BF∥OD，∴，設(shè)OM＝a，則BF＝2a，OD＝OF＝4a，DM＝3a，在Rt△OMF中，由勾股定理得，MF＝＝＝a，在Rt△DMF中，tan∠DFA＝；（3）解：由題意有∠DGO＝∠CGE，當(dāng)∠ODG＝∠DCE＝90°時(shí)，∵OC＝2OB＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴∠AOD＝120°，當(dāng)∠DOG＝∠DCE＝90°時(shí)，設(shè)BE的中點(diǎn)為H，連接HO，HC，在Rt△DOE中，OH＝，∴∠HDO＝∠HOD，在Rt△DOE中，CD＝CE，∴HC＝DE，CH⊥DE，∴HC＝DE＝HO，∴∠HOC＝∠HCO，∵四邊形HCOD的內(nèi)角和為360°，∴∠DOC＝135°，∴∠AOD＝45°．綜上所述，∠AOD為120°或45°．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】[圓中相似思路]利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等:若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問(wèn)題中的線段可能并非相似三角形中的線段確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明.【變式演練】1.【2023寶山二?！咳鐖D，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點(diǎn)B、點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)P．（1）如果AB＝3，CD＝5，以點(diǎn)P為圓心作圓，圓P與直線BC相切．①求圓P的半徑長(zhǎng)；②又BC＝8，以BC為直徑作圓O，試判斷圓O與圓P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如果分別以AB、CD為直徑的兩圓外切，求證：△ABC與△BCD相似．分析：（1）①過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于H．利用平行線分線段成比例定理求出PH，可得結(jié)論．②求出OP的長(zhǎng)，即可判斷．（2）設(shè)AB，DC的中點(diǎn)分別為O1，O2，連接O1O2，過(guò)點(diǎn)O1作O1E⊥DC于E，設(shè)AB＝a，DC＝b．根據(jù)兩邊成比例夾角相等，證明三角形相似即可．解：（1）①過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于H．∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥PH∥DC，∴＝，＝，∵AB＝3，DC＝5，∴+＝1，∴PH＝，∵直線BC與⊙P相切，∴⊙P的半徑為．②結(jié)論：⊙O與⊙P內(nèi)切．理由：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，∵BC＝8，∴OB＝OC＝4，由＝，∴CH＝5，OH＝1，∴OP＝，即OP＝|RO﹣RP|，∴⊙O與⊙P內(nèi)切．（2）設(shè)AB，DC的中點(diǎn)分別為O1，O2，連接O1O2，過(guò)點(diǎn)O1作O1E⊥DC于E，設(shè)AB＝a，DC＝b．由題意O1O2＝，在Rt△O1O2E中，O1E＝，∵O1E＝BC，∴AB?DC＝BC2，即＝，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABC∽△BCD．2.【2023虹口二模】（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，點(diǎn)M是射線AB上一點(diǎn)，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點(diǎn)D．（1）如圖9，當(dāng)MC=AC時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BM=x，四邊形CBMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如果直線MD與射線BC相交于點(diǎn)E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長(zhǎng)．CCMBA圖9DCCBA備用圖25．解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，垂足為點(diǎn)H．在Rt△ABC中，易得．………（1分）∵M(jìn)C=AC，∠ABC=90°∴AM=2AB=8∴在Rt△AMH中，．………（1分）∴……………（1分）∴由垂徑定理，得．………（1分）（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，垂足為點(diǎn)H．在Rt△AMH中，……………（1分）．∴,．…………（1分）∴．…（1分）又．∴，即．…………（1分）定義域?yàn)椋?分）（3）①當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖9），∵△ECD與△EMC相似，∠EDC>∠EMC，∴∠EDC=∠ECM．………（1分）∴∠CDM=∠BCM．而由MC=MD可得，∠MCD=∠CDM，∴∠BCM=∠MCD．可證得△CBM≌△CHM，∴CB=CH．…………………（1分）∴．解得，即．…………………（1分）②當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)（如下圖），同①可得∠BCM=∠MCD，CB=CH，MB=MH．………（1分）∴,．在Rt△AMH中，，即．解得．…………………（1分）綜上所述，線段BM的長(zhǎng)為6或．3.【2023年浦東新區(qū)二模】（14分）已知：半圓O的直徑AB＝6，點(diǎn)C在半圓O上，且tan∠ABC＝2，點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DC（如圖）（1）求BC的長(zhǎng)；（2）若射線DC交射線AB于點(diǎn)M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)OD，當(dāng)OD∥BC時(shí)，作∠DOB的平分線交線段DC于點(diǎn)N，求ON的長(zhǎng)．分析：（1）如圖1中，根據(jù)AB是直徑，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)