高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3-2-1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義課件新人教A版選修1-2

3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及其幾何意義

復(fù)數(shù)的加、減法法則及幾何意義與運(yùn)算律必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)z1,z2,z3∈C,設(shè)分別與復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相對(duì)應(yīng),且不共線加法減法運(yùn)算法則z1+z2=(a+c)+(b+d)iz1-z2=_____________(a-c)+(b-d)i幾何意義

復(fù)數(shù)的和z1+z2與向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

復(fù)數(shù)的差z1-z2與向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)運(yùn)算律交換律z1+z2=z2+z1【思考】

(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的和或差得到的結(jié)果是什么?提示:結(jié)果仍然是唯一的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)的加法法則可以推廣嗎?提示:可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的加法不滿足結(jié)合律. (

)(2)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算法則只適用于兩個(gè)復(fù)數(shù)相加. (

)(3)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng). (

)提示:(1)×.復(fù)數(shù)的加減法滿足結(jié)合律.(2)×.可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加.(3)×.正確說(shuō)法是:復(fù)數(shù)z=a+bi與平面向量:=(a,b)一一對(duì)應(yīng).2.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)題改編)已知z=11-20i,則1-2i-z等于 (

)A.z-1 B.z+1C.-10+18i D.10-18i【解析】選C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.3.若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是 (

)A.-2 B.4 C.3 D.-4【解析】選B.z=1-(3-4i)=-2+4i.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.計(jì)算:(2-3i)+(-4+2i)=________.

2.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),則x=_______,y=_______.

3.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實(shí)數(shù),若z1-z2=5-3i,則|z1+z2|=________.

【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

11【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

113.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,則z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.答案:

【解題策略】復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算法則的記憶

(1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減.(2)把i看作一個(gè)字母,類比多項(xiàng)式加減中的合并同類項(xiàng).提醒:注意運(yùn)算格式及范圍,避免出錯(cuò)在進(jìn)行復(fù)數(shù)減法運(yùn)算時(shí)要注意格式,兩復(fù)數(shù)相減所得結(jié)果依然是一個(gè)復(fù)數(shù),其對(duì)應(yīng)的實(shí)部與虛部分別是兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的差.注意中間用“+”號(hào),如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知復(fù)數(shù)z+3i-3=3-3i,則z= (

)A.0 B.6i C.6 D.6-6i【解析】選D.因?yàn)閦+3i-3=3-3i,所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.2.已知復(fù)數(shù)z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=________.

【解析】由條件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是純虛數(shù),所以解得a=3.答案:3類型二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【典例】1.設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3,那么 (

)

A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=02.在復(fù)平面內(nèi),若對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為7+i,3-2i,則||=________.

3.如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別表示復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的復(fù)數(shù).(2)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù).(3)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù).3.如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別表示復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的復(fù)數(shù).(2)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù).(3)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù).【解析】1.選D.因?yàn)?所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.2.答案:53.(1)因?yàn)?所以表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.(2)因?yàn)?所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因?yàn)閷?duì)角線,所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.【解題策略】利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義解題的技巧及常見(jiàn)結(jié)論

(1)技巧.①形轉(zhuǎn)化為數(shù):利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理;②數(shù)轉(zhuǎn)化為形:對(duì)于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋,使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中.(2)常見(jiàn)結(jié)論:在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則四邊形OACB:①為平行四邊形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;③若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.【跟蹤訓(xùn)練】(2020·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,則|z1-z2|=__________.

【解析】因?yàn)閨z1|=|z2|=2,可設(shè)z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=+i,所以兩式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化簡(jiǎn)得cosθcosα+sinθsinα=-,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|答案:2

【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-1+3i,則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.2+4i

B.-2+4i

C.-4+2i

D.4-2i【解析】選D.在平行四邊形ABCD中,=3+i-(-1+3i)=4-2i.類型三復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)【典例】1.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(

)A.1

B.

C.2

D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+

+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.【思路導(dǎo)引】1.設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i,-1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z,Z1,Z2,Z3,則點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng),求|ZZ3|的最小值.2.滿足|z+

+i|≤1的條件的點(diǎn)落在以(-

,-1)為圓心,半徑為1的圓上以及內(nèi)部,則|z|的最值即為求到原點(diǎn)的距離的最值.【解析】1.選A.設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i,-1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z,Z1,Z2,Z3,因?yàn)閨z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng),求|ZZ3|的最小值,因?yàn)閨Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.2.如圖所示,=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【解題策略】

1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

,實(shí)際上就是指復(fù)平面上的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離;|z1-z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)Z1,Z2兩點(diǎn)間的距離.2.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.【跟蹤訓(xùn)練】已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.【解析】因?yàn)閨z|=1且z∈C,作圖如圖:所以|z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)Q到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.a,b為實(shí)數(shù),設(shè)z1=2+bi,z2=a+i,當(dāng)z1+z2=0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi為 (

)

A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i【解析】選D.因?yàn)閦1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.2.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是,則|z1+z2|=(

)A.1

B.

C.2 D.3【解析】選B.由圖象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=

.3.在復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是6+8i,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4+6i,則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.2+14i

B.1+7i

C.2-14i

D.-1-7i【解析】選D.依據(jù)向量的平行四邊形法則可得,,由對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是6+8i,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4+6i,依據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1-7i.4.設(shè)z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z1+z2是純虛數(shù),則有(

)

A.a=1 B.a=

C.a=0 D.a=-1【解析】選D.因?yàn)閺?fù)數(shù)z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是純虛數(shù),所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.5.計(jì)算下列各題(1)(-2+3i)+(5-i).(2)(-1+

i)+(1-

i).【解析】(1)原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.(2)原式=(-1+1)+(-)i=0.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞4.設(shè)z1=1-i,z2=a+2ai(a∈R),其中i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z1+z2是純虛數(shù),則有(

)

A.a=1 B.a=

C.a=0 D.a=-1【解析】選D.因?yàn)閺?fù)數(shù)z1+z2=1-i+a+2ai=1+a+(2a-1)i是純虛數(shù),所以a+1=0,2a-1≠0,所以a=-1.2.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是,則|z1+z2|=(

)A.1

B.

C.2 D.3【解析】選B.由圖象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=

.