廣西梧州市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬測試文試題含解析

廣西梧州市2024屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬測試（文）試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先列舉全集中的元素，再求.【詳解】由題意可知，，，，所以，.故選：A2.若復(fù)數(shù)z滿意，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而依據(jù)幾何意義求解即可.【詳解】解：因為所以，所以，復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，為第四象限的點，所以，在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D3.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測量他們的身高（單位：），所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖，由此可估計甲、乙兩班同學(xué)的身高狀況，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲乙兩班同學(xué)身高的極差相等 B.甲乙兩班同學(xué)身高的平均值相等C.甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)相等 D.乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)較多【答案】D【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖和極差、平均數(shù)、中位數(shù)等概念逐一計算，即可推斷選項是否正確.【詳解】由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的極差為，乙班同學(xué)身高的極差為，兩班身高極差不相等，故A錯誤；甲班同學(xué)身高的平均值為，乙班同學(xué)身高的平均值為明顯，甲乙兩班同學(xué)身高的平均值不相等，即B錯誤；依據(jù)莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為，所以，甲乙兩班同學(xué)身高的中位數(shù)不相等，即C錯誤；由莖葉圖可知，甲班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為3人，乙班同學(xué)身高在以上的人數(shù)為4人，故D正確.故選;D4.已知向量，滿意，，，則（）A.3 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面對量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵向量滿意，，，，，，，故選：D5.我們可以把看作每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.可以計算得到，一年后的“進(jìn)步”是“落后”的倍.假如每天的“進(jìn)步”率和“落后”率都是10%，至少經(jīng)過（）天后，“進(jìn)步”是“落后”的1000倍.（，）A.31 B.33 C.35 D.37【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可列出若干天后的“進(jìn)步”是“落后”的倍數(shù)表達(dá)式，利用參考數(shù)據(jù)和對數(shù)運(yùn)算法則中的換底公式即可得出結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，假如每天的“進(jìn)步”率和“落后”率都是10%，假設(shè)經(jīng)過天后，“進(jìn)步”是“落后”的1000倍，得，即，所以，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)可得，得所以，至少經(jīng)過35天后，“進(jìn)步”是“落后”的1000倍.故選：C.6.在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和三角恒等變換可得，再利用余弦定理即可求得的值.【詳解】依據(jù)正弦定理，由得，又因為，可得，即得，，所以，由余弦定理可知，，得.故選：B7.直線與圓交兩點.若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知圓心為，半徑為，進(jìn)而依據(jù)幾何法求弦長得，解得，再計算面積即可得答案.【詳解】解：由題知圓心為，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，所以，弦長，即，解得，所以的面積為故選：A8.在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段，的中點，則異面直線，EF所成角余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖所示，連接，確定或其補(bǔ)角是異面直線EF與所成角，在直角中，計算得到答案.【詳解】如圖所示：F是線段的中點，連接交于F，由正方體的性質(zhì)知，知異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故或其補(bǔ)角是異面直線EF與所成角.設(shè)正方體邊長為2，在直角中，，，故故選：C9.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知，函數(shù)關(guān)于對稱，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，知函數(shù)關(guān)于對稱，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，知，作出函數(shù)的圖象，如下：由圖可知，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則；所以不等式的解集為：或，故選：C10.在三棱錐中，已知平面，，.若三棱錐的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求出底面的外接圓半徑，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，過底面外接圓中心作垂線，則垂線的中點即為外接球球心，進(jìn)而即可求解.【詳解】在中，設(shè)其外接圓半徑為r，由正弦定理可得解得，三棱錐補(bǔ)成三棱柱，如圖設(shè)三棱錐外接球半徑為R，，所以球O的表面積為故選：D11.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，直線為函數(shù)圖像的一條對稱軸，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖像求出函數(shù)解析式，再求出減區(qū)間.【詳解】令，則可以看出經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到的.由題中圖像知點在函數(shù)的圖像上，所以，即，則結(jié)合圖像可得．①又直線為函數(shù)圖像的一條對稱軸，結(jié)合圖像可得．②②-①解得，再代入①解得：，所以．由，得.故選：B．12.如圖所示，拋物線，為過焦點的弦，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設(shè)，則：①若的斜率為1，則；②若的斜率為1，則；③；④.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立推斷①，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求得處的切線方程，進(jìn)而得，再依次探討②③④即可得答案.【詳解】解：由得，所以焦點坐標(biāo)，對①，直線的方程為，由得，所以，所以，故①錯誤．因為，所以，則直線、的斜率分別為、，所以，因為，所以，所以，，由，解得，即．由題意知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，由消去得，所以，，故④正確所以，故③正確；所以當(dāng)?shù)男甭蕿?，則，②錯誤；所以，正確的個數(shù)為2個.故選：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.實數(shù)x，y滿意：，則的最大值是____________．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)不等式組畫出可行域，然后利用的幾何意義求最值即可.【詳解】依據(jù)不等式畫出可行域，如下所示：設(shè)，整理可得，所以表示直線過可行域上一點時的縱截距，由圖可知，當(dāng)直線過點時，縱截距最大，聯(lián)立，解得，所以，代入可得.故答案為：.14.已知，則_________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變換公式求解【詳解】由題意得，而，故，，故.故答案為：15.過四點，，，中的三點的雙曲線方程為，則的漸近線方程為_______.【答案】【解析】【分析】由題知雙曲線過點，，，進(jìn)而待定系數(shù)得，再求解漸近線方程即可.【詳解】解：由雙曲線的對稱性可知，，必在雙曲線上，所以，雙曲線過點，，設(shè)雙曲線方程為，所以，解得所以，雙曲線的方程為所以，的漸近線方程為故答案為：16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象，將方程分解可得，利用函數(shù)圖象可知，和與函數(shù)共有5個不同的交點，對實數(shù)a進(jìn)行分類探討即可求得a的取值范圍.【詳解】由函數(shù)可知，其函數(shù)圖象如下圖所示：若關(guān)于x的方程有5個不同的實數(shù)根，即方程有5個不同的實數(shù)根，即和共有5個不同的實數(shù)根，所以和與函數(shù)共有5個不同的交點；由圖可知，與函數(shù)最多有三個交點，且；所以，當(dāng)，與函數(shù)有2個不同的交點，需滿意與函數(shù)有3個不同的交點，所以，解得；當(dāng)時，與函數(shù)有3個不同的交點，需滿意與函數(shù)有2個不同的交點，所以解得；綜上可知，所以，a的取值范圍為.故答案為：【點睛】方法點睛：將方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題時解決此類問題的常用方法，畫出函數(shù)圖象并利用數(shù)形結(jié)合對參數(shù)進(jìn)行分類探討即可得出結(jié)果.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知為數(shù)列的前n項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求前項的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進(jìn)而得；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而分組求和即可.小問1詳解】解：因為，所以，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，所以，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由（1）知，所以，記前項的和為，所以，.18.近年來，隨著社會對教化的重視，家庭的平均教化支出增長較快，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某市2016-2025年的家庭教化支出（單位：萬元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對應(yīng)2016-2025年）.經(jīng)計算得，，，，.（1）用線性回來模型擬合與的關(guān)系，求出相關(guān)系數(shù)r，并說明與相關(guān)性的強(qiáng)弱；（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計算r時精確度為0.01）（2）求出與的回來直線方程；（3）若2024年該市某家庭總支出為10萬元，預(yù)料2024年該家庭的教化支出.附：①相關(guān)系數(shù)；②在回來直線方程，，.【答案】（1），線性相關(guān)程度較高（2）（3）萬元.【解析】【分析】（1）由公式計算相關(guān)系數(shù)并推斷相關(guān)性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2024年對應(yīng)的年份代碼，代入回來方程即可得到教化支出占比，即可預(yù)料2024年該家庭的教化支出【小問1詳解】解：由題意得，，則，故，故，∵，∴與高度相關(guān)，即與的相關(guān)性很強(qiáng)．【小問2詳解】解：依據(jù)題意，得，，∴關(guān)于的回來直線方程為．【小問3詳解】解：由題知，2024年對應(yīng)的年份代碼，所以，當(dāng)時，，所以，預(yù)料2024年該家庭的教化支出為（萬元）．19.邊長為1的正方形中，點M，N分別是DC，BC的中點，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)先證明平面，即可證明出平面平面(2)先利用求出點到平面的距離，然后再依據(jù)四棱錐的體積公式進(jìn)行計算，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】證明：在正方形中有，，，，又因為，所以平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】連接MN由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為20.已知橢圓的長軸長為4，且經(jīng)過點，．（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，且與橢圓交于，兩點（異于點，過點作的角平分線交橢圓于另一點．證明：直線與坐標(biāo)軸平行．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】分析】（1）由條件得：解得，，即可得到橢圓方程．（2）證明：欲證與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為；或，又因為平分，故只需證明，的斜率都存在時滿意即可．當(dāng)，的斜率不存在時，說明不滿意題意．然后證明．設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合的表達(dá)式，推出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由條件得：解得，，橢圓．（2）證明：欲證與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為；或，又因為平分，故只需證明，的斜率都存在時滿意即可．當(dāng)，的斜率不存在時，即點或的坐標(biāo)為，而經(jīng)檢驗此時直線與橢圓相切，不滿意題意．故，的斜率都存在，下證．設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，可得此時，，，．（※），（※）式的分子，直線與坐標(biāo)軸平行．得證．【點睛】本題主要考查了求橢圓方程以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）證明：【答案】（1）0（2）詳見解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最小值；（2）由（1）可知，令，不等式變形為，不等式右邊裂項為，再用累加求和，即可證明不等式.【小問1詳解】，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以【小問2詳解】由（1）知，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等成立），令，則，所以，而，故，從而，，…，，累加可得，命題得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題其次問考查導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合問題，問題的關(guān)鍵是從要證明的式子入手，將(1)的不等式變形為，再利用裂項相消法求和.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于，兩點，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得到直線的一般方程，從得到其極坐標(biāo)方程，依據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）把代入曲線的極坐標(biāo)方程，即可求出，從而得解.【小問1詳解】解：因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)得，即，明顯直線過原點，傾斜角為，直線的極坐標(biāo)方程為．曲線的極坐標(biāo)方程化為，將代入得：，即，所以的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】解：把