2024徐州中考數(shù)學二輪重點專題研究 微專題 運動產生的特殊三角形問題（含菱形）（課件）

函數(shù)微技能一階微專題運動產生的特殊三角形問題(含菱形)例1

(1)如圖①，線段AB與直線l交于點A，且AB不與直線l垂直，請在l上找一點P，使△ABP為等腰三角形，請在圖中畫出所有符合要求的點P，保留作圖痕跡，不寫作法．例1題圖①考向一運動產生的等腰三角形(含菱形)【作法提示】①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，交直線l于P1，P2兩點；②以點B為圓心，AB長為半徑畫圓，交直線l于點P3；③連接以上兩圓的交點作AB的垂直平分線，直線與l的交點即為P4.解：(1)如解圖①，P1，P2，P3，P4即為所有滿足要求的點．例1題解圖①(2)如圖②，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，3)，在x軸正半軸上有一點B，使△AOB為等腰三角形，且BA＝BO，則點B的坐標為________．(3)如圖③，在平面直角坐標系中，已知點A(2，2)，B(4，0)，若在y軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則點C的坐標為______________．例1題圖③(，0)(0，0)或(0，－2)例1題圖②(4)如圖④，在平面直角坐標系中，已知點A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，點P是線段BC上一動點，當以A，C，P為頂點的三角形是等腰三角形時，則點P的坐標為__________________________．例1題圖④(1，3)或(，)1.確定點的位置：已知線段AB，在平面內找一點P，使得△ABP為等腰三角形，這樣的點P位置有以下兩種情況：(1)以AB為腰：點P在分別以點A、B為圓心，AB長為半徑的圓上，AB直線上的點除外；(2)以AB為底：點P在AB的垂直平分線上，AB直線上的點除外．滿分技法2.求點P坐標的方法如下：分別表示出點A、B、P的坐標，再根據(jù)勾股定理表示出線段AB、BP、AP的長度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程解出坐標．設問突破二階例2題圖①例2如圖，已知拋物線y＝－x2＋x＋2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為M，對稱軸與x軸交于點N.(1)若y軸上一點D的坐標為(0，

)，試判斷△ABD的形狀，并說明理由；一題多設問【思維教練】由于點A、B、D三點的坐標確定，可根據(jù)勾股定理分別計算出三條線段的長，進行比較分析即可．解：(1)△ABD為等腰三角形．理由如下：∵A(－1，0)，B(3，0)，D(0，)，∴AD＝＝2，BD＝＝4，AB＝3＋1＝4，∴AB＝BD，∴△ABD是等腰三角形；例2題圖①(2)在拋物線上是否存在一點P，使得△PCO是以OC為底的等腰三角形，若存在，請你求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由；例2題圖②【思維教練】由于點P在拋物線上，△PCO是以OC為底的等腰三角形，所以點P在OC的垂直平分線上，即點P的縱坐標為1，將y＝1代入拋物線表達式求解即可．(2)存在．點P的橫坐標為1＋或1－；如解圖，作CO的垂直平分線交拋物線于點P和點P′，交CO于點D.連接CP，OP，OP′，CP′，則△POC和△P′CO是以OC為底的等腰三角形．令x＝0，則y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2.∵△COP是以CO為底的等腰三角形，C(0，2)，∴CD＝DO＝1，當y＝1時，－x2＋x＋2＝1，例2題解圖解得x＝1＋或x＝1－，∴點P的橫坐標為1＋，點P′的橫坐標為1－.即存在點P使得△PCO是以OC為底的等腰三角形，點P的橫坐標為1＋或1－.例2題解圖(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△BMQ是以BQ為腰的等腰三角形，若存在，請你求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；例2題圖③

【思維教練】分BQ＝QM和BQ＝MB兩種情況，利用點的坐標即可求解．(3)存在．∵y＝－x2＋x＋2，∴拋物線對稱軸為直線x＝－＝1，點B的坐標為(3，0)，M(1，)．設點Q的坐標為Q(1，t)，∴BQ＝，QM＝|－t|，MB＝＝.∵△BMQ是以BQ為腰的等腰三角形，∴分兩種情況討論：例2題圖③

①當BQ＝QM時，即|－t|，解得t＝，此時點Q的坐標為(1，)；②當BQ＝MB時，即＝，解得t＝－(t＝不符合題意，舍去)，此時點Q的坐標為(1，－)．綜上所述，點Q的坐標為(1,)或(1，－)；例2題圖③

(4)在x軸上是否存在一點E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，請你求出點E的橫坐標；若不存在，請說明理由．例2題圖④【思維教練】先設出點

E的坐標，由于△ACE是等腰三角形，可分為三種情況討論：①AE＝AC,②AC＝CE，③AE＝CE，當AE＝AC時還要注意點E分別在點A的兩側兩種情況．(4)存在．點E的橫坐標為－1或－－1或1或.∵點E在x軸上，∴設點E的坐標為(m，0)．由題意得點C的坐標為(0，2)，點A的坐標為(－1，0)，∴AC＝，∵△ACE是等腰三角形，∴分以下三種情況：①當AE＝AC時，a.當點E在點A的右側時，∵AE＝AC＝，則EO＝－1，∴點E的橫坐標為－1；b．當點E在點A的左側時，例2題圖④∵AE＝AC＝，則EO＝＋1，∴點E的橫坐標是－－1；②當AC＝CE時，∵CO⊥AE，∴點E在AO右側的延長線上，且AO＝EO，∴點E的橫坐標為1；③當AE＝CE時，則點E為AC的垂直平分線與x軸的交點．∵AE＝1＋m，OE＝m，例2題圖④∴AE2＝(1＋m)2.∵點C的坐標為(0，2)，∴OC＝2.在Rt△COE中，CE2＝OE2＋OC2，∴CE2＝22＋m2.∵CE＝AE，∴22＋m2＝(1＋m)2，解得m＝.∴點E的橫坐標為.綜上所述，點E的橫坐標為－1或－－1或1或.例2題圖④考向二運動產生的直角三角形問題函數(shù)微技能一階例3(1)如圖①，線段AB在直線l上方，在直線l上是否存在一點P，使△PAB是直角三角形？請在圖中畫出所有符合條件要求的點P，并說明畫圖依據(jù)；例3題圖①解：(1)存在點P，使△PAB是直角三角形，如解圖中點P1，P2，P3，P4即為滿足條件的點P.畫圖依據(jù)：①AB作為直角邊：分別過點A，B作線段AB的垂線，交直線l于點P1，P2；②AB作為斜邊：以AB為直徑畫圓，交直線l于點P3，P4，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形．例3題解圖(2)如圖②，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是(3，0)，(0，4)．點P為y軸上一點，使△PAB為直角三角形，求點P的坐標；例3題圖②(2)設點P(0，p)，分兩種情況討論：①當AB為直角邊時，只存在點A為直角頂點的情況．∵A(3，0)，B(0，4)，∴AB2＝32＋42＝25，AP2＝32＋p2＝9＋p2，BP2＝(4－p)2.根據(jù)勾股定理得AB2＋AP2＝BP2，即25＋9＋p2＝(4－p)2，解得p＝－.∴P(0，－)；②當AB為斜邊時，同理可得AB2＝AP2＋BP2，即25＝9＋p2＋(4－p)2，解得p＝0或p＝4(不符合題意，舍去)，∴P(0，0)．綜上所述，點P的坐標為(0，－)或(0，0)．例3題圖②(3)如圖③，在平面直角坐標系中，已知點A(－5，0)，B(0，－5)，在直線x＝－3上取點C，使得△ABC為直角三角形，求滿足條件的點C的坐標．例3題圖③(3)∵點C在直線x＝－3上，∴設C(－3，y)，∵A(－5，0)，B(0，－5)，∴AB2＝50，AC2＝4＋y2，BC2＝9＋(y＋5)2＝y(tǒng)2＋10y＋34，分三種情況討論：①當∠ACB＝90°時，則AB2＝AC2＋BC2，即50＝4＋y2＋y2＋10y＋34，解得y＝－6或y＝1，此時點C的坐標為(－3，－6)或(－3，1)；②當∠ABC＝90°時，則AC2＝AB2＋BC2，即4＋y2＝50＋y2＋10y＋34，解得y＝－8，此時點C的坐標為(－3，－8)；③當∠BAC＝90°時，則BC2＝AB2＋AC2，即y2＋10y＋34＝50＋4＋y2，解得y＝2，此時點C的坐標為(－3，2)．綜上所述，點C的坐標為(－3，－6)或(－3，1)或(－3，－8)或(－3，2)．例3題圖③滿分技法1.確定點的位置：已知線段AB，在平面內找一點P，使△ABP為直角三角形，這樣的點P位置有以下三種情況：(1)以A為直角頂點，AB為直角邊，點P在過點A與AB垂直的直線上；(2)以B為直角頂點，AB為直角邊，點P在過點B與AB垂直的直線上；(3)以點P為直角頂點，AB為斜邊，點P在以AB為直徑的圓上．2.求點P坐標的方法如下：分別表示出點A、B、P的坐標，再根據(jù)勾股定理表示出線段AB、BP、AP的長度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐標．滿分技法例4如圖，已知拋物線y＝x2－x－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，對稱軸為直線l，頂點為M.(1)若點P是y軸上一點，且∠PAC＝90°，求點P的坐標；突破設問二階一題多設問例4題圖①【思維教練】當∠PAC＝90°時，易得∠PAO＝∠ACO，根據(jù)相等兩角的正切值也相等求解即可．解：(1)將y＝0代入y＝x2－x－2，解得x＝4或x＝－1.∴A(－1，0)，B(4，0)．令x＝0.代入得點C(0，－2)，∴OA＝1，OC＝2.如解圖，過點A作AP⊥AC交y軸于點P.∴∠PAO＋∠OAC＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠PAO＝∠ACO，∴tan∠PAO＝tan∠ACO＝，∴，∵OA＝1，∴PO＝，即點P的坐標為(0，)；例4題解圖【思維教練】由于點G在x軸上，可知∠COG＝90°，要讓它為等腰直角三角形，則需要分為當點G在x正半軸和負半軸兩種情況討論.例4題圖②

(2)若點G是x軸上一點，當△OCG為等腰直角三角形時，求點G的坐標；(2)由(1)可知，點C的坐標為(0，－2)．∴OC＝2.∵點G在x軸上，∴當△OCG為等腰直角三角形時，分點G在x軸正半軸和負半軸兩種情況討論：①當點G在x軸正半軸時，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴點G的坐標為(2，0)；例4題圖②

②當點G在x軸負半軸時，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴點G的坐標為(－2，0)．∴當點G是x軸上一點，△OCG為等腰直角三角形時，點G的坐標為(2，0)或(－2，0)；例4題圖②

(3)若點P是拋物線上一點，是否存在點P，使△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，若存在，請你求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；例4題圖③【思維教練】因為△PBC是直角三角形，BC為直角邊，則分點B、點C為直角頂點兩種情況求解即可．(3)存在，滿足條件的點P的坐標為(－5，18)或(－1，0)．設直線BC表達式為y＝kx＋b，將B(4，0)，C(0，－2)代入，得解得∴直線BC的表達式為y＝x－2，∵BC是Rt△PBC的直角邊，∴分兩種情況討論；①當點B是直角頂點時，設PB所在直線的表達式為y＝－2x＋n，將點B(4，0)代入，解得n＝8，∴PB所在直線的表達式為y＝－2x＋8，例4題圖③聯(lián)立，即x2＋x－20＝0，解得x＝4(舍去)或x＝－5，此時點P(－5，18)；②當點C是直角頂點時，設PC所在直線的表達式為y＝－2x＋n，將點C(0，－2)代入，解得n＝－2，∴PC所在直線的表達式為y＝－2x－2，聯(lián)立

，即x2＋x＝0，解得x＝－1或x＝0(舍去)，此時點P(－1，0)．綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(－5，1