高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例1-2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用課件新人教A版選修1-2

1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用1.分類變量和列聯(lián)表(1)分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表①定義:列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為_______.②2×2列聯(lián)表:必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法步驟是怎樣的?列聯(lián)表一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d【思考】如何用列聯(lián)表判定兩個(gè)分類變量是否有關(guān)?提示:利用列聯(lián)表中計(jì)算的|ad-bc|值越小,越獨(dú)立,兩個(gè)分類變量關(guān)系越弱;|ad-bc|值越大,越不獨(dú)立,兩個(gè)分類變量關(guān)系越強(qiáng).2.等高條形圖(1)等高條形圖和表格相比,更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響,常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.(2)如果直接觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大,就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.3.獨(dú)立性檢驗(yàn)定義利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)公式,其中n=a+b+c+d【思考】獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法有何異同?提示:兩者都是先假設(shè)結(jié)論不成立,然后根據(jù)是否能夠推出“矛盾”來斷定結(jié)論是否成立.但二者“矛盾”的含義不同,反證法中的“矛盾”是指一種不符合邏輯事情的發(fā)生;而獨(dú)立性檢驗(yàn)中的“矛盾”是指一種不符合邏輯的小概率事件的發(fā)生,即在結(jié)論不成立的假設(shè)下,推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念. (

)(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法. (

)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小.(

)【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念. (

)(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法. (

)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小.(

)提示:(1)×.變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量,有時(shí)可以把分類變量的不同取值用數(shù)字表示,但這時(shí)的數(shù)字除了分類以外沒有其他含義,而函數(shù)中的變量分為自變量與因變量,都是數(shù)的集合,有它們各自的意義.(2)×.獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于反證法,但不能說它就是反證法.(3)√.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可信度的判斷,其結(jié)論是兩個(gè)分類變量有關(guān)系,這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α,可以通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上進(jìn)行運(yùn)算,再進(jìn)行判斷.2.班級(jí)與成績2×2列聯(lián)表:表示數(shù)據(jù)m,n,p,q的值應(yīng)分別為 (

)A.70,73,45,188 B.17,73,45,90C.73,17,45,90 D.17,73,45,45優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班738p總計(jì)mnq【解析】選B.依據(jù)2×2列聯(lián)表的列法以及各行各列的實(shí)際意義,可得m=17,n=73,p=45,q=90.3.在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中,通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論,并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.下列說法中正確的是 (

)A.100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾B.1個(gè)人患心臟病,則這個(gè)人有99%的概率打鼾C.100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人D.100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒有【解析】選D.這是獨(dú)立性檢驗(yàn),在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”.這只是一個(gè)概率,即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.【解析】選D.這是獨(dú)立性檢驗(yàn),在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”.這只是一個(gè)概率,即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一分析兩變量間的關(guān)系(數(shù)據(jù)分析)角度1用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系

【典例】在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中六十歲以上的70人,六十歲以下的54人.六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主,另外27人則以肉類為主;六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主,另外33人則以肉類為主.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表,并利用判斷二者是否有關(guān)系.【思路導(dǎo)引】作2×2列聯(lián)表時(shí),關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別.注意應(yīng)該是4行4列,計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤.【解析】2×2列聯(lián)表如下:年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得=0.671875.=0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距,據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.角度2用等高條形圖分析兩變量間的關(guān)系

【典例】為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系,分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查,結(jié)果如下:組別陽性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736對(duì)照組92837總計(jì)383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖,分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別,鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系?【思路導(dǎo)引】依據(jù)題設(shè)要求以及所求,可直接畫出等高圖,然后再分析即可.【解析】等高條形圖如圖所示:其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率.由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比,尿棕色素為陽性的頻率差異明顯,因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系.【解題策略】1.利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí),首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表,然后根據(jù)頻率特征,即將的值相比,直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響,但方法較粗劣.2.利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟(1)統(tǒng)計(jì):收集數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果.(2)列表:列出2×2列聯(lián)表,計(jì)算頻率、粗略估計(jì).(3)繪圖:繪制等高條形圖,直觀分析.3.利用列聯(lián)表直接計(jì)算,如果兩者相差很大,就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.4.在等高條形圖中展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征,比較圖中兩個(gè)深色條的高可以發(fā)現(xiàn)兩者頻率不一樣而得出結(jié)論,這種直觀判斷的不足之處在于不能給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率.【題組訓(xùn)練】1.觀察下列各圖,其中兩個(gè)分類變量x,y之間關(guān)系最強(qiáng)的是(

)【解析】選D.在四幅圖中,D圖中的兩個(gè)深色條的高相差最明顯,說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng).2.某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):在平時(shí)的模擬考試中,性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張,作出等高條形圖,利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系.【解析】作列聯(lián)表如下:所以ad-bc=332×381-213×94=106470.所以ad-bc比較大,說明考前緊張與性格類型有關(guān).性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例,從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高,可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類型有關(guān).類型二獨(dú)立性檢驗(yàn)(數(shù)據(jù)分析)【典例】“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對(duì)“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān),從馬路旁隨機(jī)抽取30名路人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表:男性女性總計(jì)反感10不反感8總計(jì)30已知從這30人中隨機(jī)抽取1人,抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并據(jù)此分析能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為對(duì)“中國式過馬路”的態(tài)度與性別有關(guān).【思路導(dǎo)引】(1)依據(jù)2×2列聯(lián)表的定義填表;(2)計(jì)算K2,查找犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的臨界值,與此臨界值比較大小.【解析】補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下:因?yàn)镵2的觀測值k=≈1.158<3.841,所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為對(duì)“中國式過馬路”的態(tài)度與性別有關(guān).男性女性總計(jì)反感10616不反感6814總計(jì)161430【解題策略】獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟(1)確定分類變量,獲取樣本頻數(shù),得到列聯(lián)表.(2)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α,然后查表確定臨界值k0.(3)利用公式K2=計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k.(4)作出判斷.如果k≥k0,就推斷“X與Y有關(guān)系”,這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α,否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y的關(guān)系”,或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.【跟蹤訓(xùn)練】1.某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下列聯(lián)表:積極支持企業(yè)改革不太支持企業(yè)改革總計(jì)工作積極544094工作一般326395總計(jì)86103189根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為員工工作態(tài)度與支持企業(yè)改革之間有關(guān)系?【解析】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測值為k=≈10.759>7.879,因此,在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為員工工作態(tài)度與支持企業(yè)改革之間有關(guān)系.2.新冠肺炎疫情期間,講究衛(wèi)生,垃圾分類已經(jīng)深入人心,某校通過網(wǎng)絡(luò)組織了高三年級(jí)學(xué)生參與“垃圾分類,從我做起”的知識(shí)問卷作答,隨機(jī)抽出男、女各20名同學(xué)的問卷進(jìn)行打分,作出如圖所示的莖葉圖,成績大于70分的為“合格”.(1)由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)?(2)從上述樣本中,成績?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生問卷中任意選2個(gè),求這2個(gè)學(xué)生性別不同的概率.男女總計(jì)合格不合格總計(jì)【解析】(1)根據(jù)莖葉圖可得由K2的觀測值k=≈3.956>3.841知可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān).男女總計(jì)合格101626不合格10414總計(jì)202040(2)從題干莖葉圖可知,成績?cè)?0分以下(不含60分)的男、女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人,分別用A,B,C,D和E,F表示,基本事件為:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共有15個(gè),其中性別不同的基本事件有AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF,共8個(gè),所求概率為.3.(2020·全國Ⅲ卷)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?附:K2=人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)由頻數(shù)分布表可知,該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為=0.43,等級(jí)為2的概率為=0.27,等級(jí)為3的概率為=0.21,等級(jí)為4的概率為=0.09.(2)由頻數(shù)分布表可知,一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為

=350.(3)2×2列聯(lián)表如下:K2的觀測值k=≈5.820>3.841,因此,有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.為調(diào)查中學(xué)生近視情況,某校男生150名中有80名近視,女生140名中有70名近視,在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說服力(

)A.平均數(shù)B.方差C.獨(dú)立性檢驗(yàn)D.概率【解析】選C.因?yàn)槠骄鶖?shù)描述的是整體水平,方差描述的是數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度,獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量之間的相關(guān)關(guān)系,概率是描述某一事件發(fā)生的可能性.所以檢驗(yàn)中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn).2.某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān),隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況,具體數(shù)據(jù)如表:心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到K2的觀測值k=≈15.968,因?yàn)閗>10.828,則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系,那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為 (

)A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.001【解析】選D.P(K2>10.828)=0.001.3.下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表:則表中a,b處的值分別為________,________.

【解析】因?yàn)閍+21=73,所以a=52.b=a+8=52+8=60.答案:52

60y1y2總計(jì)x1a2173x282533總計(jì)b464.在三維柱狀圖中,主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形高度的乘積相差越大,H1(即兩個(gè)分類變量有關(guān)系)成立的可能性就________.

【解析】主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形高度的乘積相差越大,H1成立的可能性就越大.答案:越大5.為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生,得到如下列聯(lián)表:由表中的數(shù)據(jù),你認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過多少的前提下可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系?為什么?喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300【解析】K2的觀測值k=≈4.514>3.841,在假設(shè)“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間沒有關(guān)系”的前提下,K2應(yīng)該很小,并且P(K2>3.841)≈0.05,而我們所得到的K2的觀測值4.514超過3.841,這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”這一結(jié)論是錯(cuò)誤的可能性約為0.05,即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下可以認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞5.為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生,得到如下列聯(lián)表:由表中的數(shù)據(jù),你認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過多少的前提下可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)