新九年級數(shù)學（人教版）第04講 實際問題與一元二次方程（人教版）（解析版）

第04講實際問題與一元二次方程【人教版】·模塊一傳播問題和數(shù)字問題·模塊二變化率問題和銷售問題·模塊三幾何圖形面積問題·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一傳播問題和數(shù)字問題一元二次方程與實際問題解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟：第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。第2步：設未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關系設未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應的解法。第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答?！究键c1傳播問題】【例1.1】一人患了流感，兩輪傳染后共有121人感染了流感．按這樣的傳染速度，若2人患了流感，第一輪傳染后患流感的人共有(

)人A．20 B．22 C．60 D．61【答案】B【分析】設每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共(1+x)人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x(x+1)]人患流感，列出方程進行計算即可．【詳解】解：設每輪傳染中1人傳染給x人，則第一輪傳染后共(1+x)人患流感，第二輪傳染后共[1+x+x(x+1)]人患流感，根據(jù)題意得：1+x+x(x+1)=121，解得：x1=10，∴2(1+x)=22．故選：B．【點睛】考查一元二次方程的應用，讀懂題目，找出題目中的等量關系是解題的關鍵．【例1.2】某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，求這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)【答案】6【分析】設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是x，依題意得：1+x+x整理得：x2解得：x1=?7（不合題意，舍去），故答案為：6．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1.1】今年下半年以來，豬肉價格不斷上漲，主要是由非洲豬瘟疫情導致．非洲豬瘟疫情發(fā)病急，蔓延速度快．某養(yǎng)豬場第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病，兩天后發(fā)現(xiàn)共有192頭生豬發(fā)?。?）求每頭發(fā)病生豬平均每天傳染多少頭生豬？（2）若疫情得不到有效控制，按照這樣的傳染速度，3天后生豬發(fā)病頭數(shù)會超過1500頭嗎？【答案】（1）7頭；（2）會超過1500頭【分析】（1）設每頭發(fā)病生豬平均每天傳染x頭生豬，根據(jù)“第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病，兩天后發(fā)現(xiàn)共有192頭生豬發(fā)病”，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)3天后生豬發(fā)病頭數(shù)=2天后生豬發(fā)病頭數(shù)×（1+7），即可求出3天后生豬發(fā)病頭數(shù)，再將其與1500進行比較即可得出結論．【詳解】解：（1）設每頭發(fā)病生豬平均每天傳染x頭生豬，依題意，得3(1+x)解得：x1=7，答：每頭發(fā)病生豬平均每天傳染7頭生豬．（2）192×(1+7)=1536（頭)，1536>1500．答：若疫情得不到有效控制，3天后生豬發(fā)病頭數(shù)會超過1500頭．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1.2】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設在每輪的傳染中平均一個人傳染了x個人．(1)第二輪被傳染上流感人數(shù)是______；（用含x的代數(shù)式表示）(2)在進入第二輪傳染之前，如果有4名患者被及時隔離（未治愈），經過兩輪傳染后是否會有63人患病的情況發(fā)生，并說明理由．【答案】(1)x(2)第二輪傳染后不會有63人患病的情況發(fā)生【分析】（1）根據(jù)每輪的傳染中平均一個人傳染了x個人，可得答案；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程1+x+xx+1?4【詳解】（1）解：第一輪被感染的人數(shù)為x，第二輪被傳染上流感人數(shù)是xx+1故答案為：xx+1（2）解：經過兩輪傳染后不會有63人患病的情況發(fā)生，理由如下：依題意得：1+x+xx+1?4整理得：x2解得：x1=1+37∵x1∴第二輪傳染后不會有63人患病的情況發(fā)生．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應用，根據(jù)等量關系，列出一元二次方程是關鍵．【考點2循環(huán)問題】【例2.1】組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，計劃比賽28場，比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽？【答案】8【分析】設比賽組織者應邀請x個隊參加比賽，根據(jù)“參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，計劃比賽28場”列方程并求解即可．【詳解】解：設比賽組織者應邀請x個隊參加比賽，由題意得，12整理得，x2解得，x1=8，答：比賽組織者應邀請8個隊參加比賽．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意正確列出方程是解題的關鍵．【例2.2】某班級的一個小組同學每兩個都握手一次，共握手66次，求該小組共有多少人？【答案】該小組共有12人【分析】設該小組共有x人，利用握手的總次數(shù)=該小組的人數(shù)×(該小組的人數(shù)?1)÷2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設該小組共有x人，依題意可得12解得x=12或x=-11（舍去）故該小組共有12人．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2.1】在一次同學聚會中，每兩名同學之間都互送了一件禮物，所有同學共送了90件禮物，共有多少名同學參加了這次聚會?【答案】10人【詳解】試題分析：設共有x名同學參加了聚會，根據(jù)“每兩名同學之間都互送了一件禮物，共送了90件禮物”即可列方程求解.解：設共有x名同學參加了聚會，由題意得x(x-1)=90x解得x1=-9，x2=10經檢驗x=-9不符合實際意義，舍去∴x=10答:共有10人參加了聚會.考點：一元二次方程的應用點評：解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，正確列方程求解，最后注意舍去不符合題意的解.【變式2.2】小明利用手機發(fā)短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)的2倍發(fā)送該條短信，經過兩輪短信的發(fā)送，共有351人手機上獲得同一條信息，求小明向幾個人發(fā)短信？設小明向x人發(fā)短信，根據(jù)題意列方程得_____．【答案】x+2【分析】第一輪中小明向x人發(fā)短信，那么在第二輪中獲得短信的這x人每人又發(fā)出了2x條信息，即在第二輪中共發(fā)出了x·2x條短信，進而我們可列出方程．【詳解】解：設第一輪中小明向x人發(fā)短信，獲得短信的x人，每人向外發(fā)2x條短信，由題意得，x+x·2x=351，即x+2x故答案為：x+2x【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，該類題解答的關鍵在于分析每一輪中發(fā)送的人數(shù)與接收的人數(shù)，并能結合題意，列出方程．【考點3數(shù)字問題】【例3.1】兩個連續(xù)奇數(shù)的積為99，設其中較小的一個奇數(shù)為x，則可得方程為（

）A．xx?2=99 C．xx?1=99 【答案】B【分析】根據(jù)連續(xù)兩個奇數(shù)相差2，得到較大的一個奇數(shù)為x+2，由此列得方程．【詳解】解：設其中較小的一個奇數(shù)為x，則較大的一個奇數(shù)為x+2，則xx+2故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意表示出較大的一個奇數(shù)是解題的關鍵．【例3.2】一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)字的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】設十位數(shù)字為x，表示出個位數(shù)字，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為x+3．依題意得：10x+x+3=(x+3)解得:x1位=2,∴這個兩數(shù)為25或36．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式3.1】一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個兩位數(shù)是_____．【答案】98【分析】設這個兩位數(shù)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為x+1，根據(jù)“個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，”列出方程，即可求解．【詳解】解∶設這個兩位數(shù)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為x+1，依題意，得：xx+1整理，得：x2解得：x1=?9（不合題意，舍去），∴10x+1故答案為：98【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，正確表示出這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是解題的關鍵．【變式3.2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字的平方小3，如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，那么所得到的兩位數(shù)比原來的數(shù)小27，則原來的兩位數(shù)是___．【答案】63【分析】根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可，等量關系為：原來的兩位數(shù)-新兩位數(shù)=27，把相關數(shù)值代入計算可得各位上的數(shù)字，根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可．【詳解】解：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x2－3，由題意得10(x2－3)＋x－(10x＋x2－3)＝27，整理得x2?x?6=0，解得∴十位數(shù)字為32則原來的兩位數(shù)為63故答案為：63【點睛】本題考查了列一元二次方程解應用題，弄清已知中的等量關系是解題的關鍵．模塊二模塊二變化率問題和銷售問題【考點1平均變化率問題】【例1.1】目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2020年底有5G用戶2萬戶，計劃到2022年底全市5G用戶數(shù)達到9.68萬戶．設全市5G用戶數(shù)年平均增長率為x，則可列方程為（

）A．21?2x=9.68 B．21+x=9.68 C．【答案】D【分析】根據(jù)增長率的計算方法，列方程即可求解．【詳解】解：2020年底有5G用戶2萬戶，2022年底全市5G用戶數(shù)達到9.68萬戶，∴時間是2022?2020=2（年），設全市5G用戶數(shù)年平均增長率為x，∴列方程為21+x故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程與增長率的應用，掌握增長率的計算方法，一元二次方程的實際運用是解題的關鍵．【例1.2】現(xiàn)代互聯(lián)網技術的廣泛應用．催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．據(jù)調查，某家小型“大學生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司，今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件．現(xiàn)假定該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同．(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率．(2)如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件，那么該公司現(xiàn)有的26名快遞投遞業(yè)務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務？如果不能，請問至少需要增加幾名業(yè)務員？【答案】(1)10(2)能【分析】（1）設該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)五月份完成投遞的快遞總件數(shù)結合完成投遞的快遞總件數(shù)即可算出今年6月份的快遞投遞總件數(shù)，再根據(jù)投遞快遞總件數(shù)=每人投遞件數(shù)×人數(shù)即可算出該公司現(xiàn)有的26名快遞投遞業(yè)務員最多能夠完成的任務量，二者比較后即可得出結論．【詳解】（1）設該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：10×(1+x)解得：x1=10%答：該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率為10%（2）12.1×(1+10%26×0.6=15.6（萬件）．∵15.6>13.31，∴該公司現(xiàn)有的26名快遞投遞業(yè)務員能完成今年6月份的快遞投遞任務．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)之間的關系列出關于x的一元二次方程；（2）根據(jù)該公司每月的投遞總件數(shù)的增長率相同算出今年6月份的快遞投遞任務量．【變式1.1】2023年蚌埠市為了更好的吸引外資，決定改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃用兩年時間，綠地面積增加44%A．22% B．10% C．20%【答案】C【分析】設這兩年平均每年綠地面積的增長率為x，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進行求解即可．【詳解】解：設這兩年平均每年綠地面積的增長率為x，由題意，得：1+x2=1+44%故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．【變式1.2】某地新開發(fā)風景區(qū)2月份的游客人數(shù)比1月份增加60%，3月份的游客人數(shù)比2月份減少了10%．(1)設該風景區(qū)1月份的游客人數(shù)為a萬人，請用含a的代數(shù)式填表：月份123游客人數(shù)/萬人a(2)求該風景區(qū)2月份、3月份游客人數(shù)的月平均增長率．【答案】(1)1.6a,1.44a(2)20【分析】（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；（2）設該風景區(qū)2月份、3月份游客人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵2月份的游客人數(shù)比1月份增加60%，1月份的游客人數(shù)為a∴2月份的游客人數(shù)為a1+60∵3月份的游客人數(shù)比2月份減少了10%，∴3月份的游客人數(shù)為1.6a×故答案為：1.6a,1.44a．填表如下：月份123游客人數(shù)/萬人a1.6a1.44a（2）解：該風景區(qū)2月份、3月份游客人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得，a解得：x=?2.2（舍去）或x=0.2=20%答：該風景區(qū)2月份、3月份游客人數(shù)的月平均增長率為20%【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出代數(shù)式與方程是解題的關鍵．【考點2銷售問題】【例2.1】某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經調查發(fā)現(xiàn)，商品銷售單價每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤，每件商品應降價（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元【答案】A【分析】根據(jù)題意設每件商品降價x元，則平均每天可售出20+2x件，根據(jù)每日的總利潤=每件商品的利潤×每日的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合40?x≥25即可確定x的值．【詳解】解：設每件商品降價x元，則平均每天可售出20+2x件，依題意得：40?x20+2x整理得：x2解得：x1=10，又∵40?x≥25，∴x≤15，∴x=10．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【例2.2】電影《滿江紅》在2023年春節(jié)檔上映，深受觀眾喜愛．某電影院每日開放若干個能容納80位觀眾的放映廳排片《滿江紅》，票價統(tǒng)一訂為60元．經調查發(fā)現(xiàn)，當一天排片3個放映廳時，每個廳均能坐滿．在此基礎上，每增加1個廳，每個廳將減少10位觀眾．若該電影院擬一日票房收入為18000元，設需要增加開放x個放映廳，根據(jù)題意可列出方程為（

）A．603?x80+10x=18000C．603+x110?10x=18000【答案】B【分析】設需要增加開放x個放映廳，則每個放映廳的人數(shù)為80?10x人，根據(jù)“電影院擬一日票房收入為18000元”列方程即可．【詳解】解：設需要增加開放x個放映廳，則每個放映廳的人數(shù)為80?10x人，依題意得603+x故選：B．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)已知表示出每個放映廳的人數(shù)是解題關鍵．【變式2.1】疫情期間，小穎在家制作一種工藝品，并通過網絡進行線上銷售．經過一段時間后發(fā)現(xiàn)：當售價是40元/件時，每天可售出該工藝品60件，且每件的售價每降低1元，就會多售出3件．若每件工藝品需要19元成本，設該工藝品的售價為x元/件（19≤x≤40）．(1)請用含x的代數(shù)式填空：①銷售每件工藝品的利潤為________元；②每天能售出該工藝品的件數(shù)為________．(2)為了支持抗疫行動，小穎決定每銷售一件該工藝品便通過網絡平臺自動向醫(yī)療基金會捐款1元，若每天銷售該工藝品的純利潤為900元，求該工藝品的售價．【答案】(1)①x?19；②180?3x(2)30元/件【分析】（1）①根據(jù)利潤等于售價減成本價，即可含x的代數(shù)式表示出銷售每件工藝品的利潤；②根據(jù)每天售出該工藝品的件數(shù)=60+3×降低的價格，即可用含x的代數(shù)式表示出每天能售出該工藝品的件數(shù)；（2）根據(jù)總利潤等于銷售每件工藝品的利潤乘以日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合條件的值即可得出結論．【詳解】（1）解：①銷售每件工藝品的利潤為x?19元；故答案為：x?19②每天能售出該工藝品的件數(shù)為60+340?x故答案為：180?3x（2）解：根據(jù)題意得：x?19?1180?3x整理得：x2解得：x1∵19≤x≤40，∴x2答：該工藝品的售價為30元/件．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含x的代數(shù)式表示出各量；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．【變式2.2】沃柑是零陵區(qū)最近幾年引進種植的水果品種，它以色澤亮麗，口味甜美而迅速占領了零陵區(qū)的水果市場，今年恰逢沃柑大豐收，一水果商以每斤3元的價格購進了大量的沃柑，然后以每斤9元的價格進行銷售，平均每天可以銷售150斤，經調查發(fā)現(xiàn)，如果沃柑的售價每降價1元，那么平均每天的銷售量會增加50斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售，如果該水果商銷售的沃柑要每天保證盈利1000元，每斤沃柑應降至多少元？【答案】7元【分析】根據(jù)“原銷售量十平均每天增加的銷售量×降的價格”求解即可知道每天的銷售量，然后根據(jù)“每斤的利潤×銷售量=每天利潤”列出關于c的方程，解之即可．【詳解】若將沃柑每斤降低x元，則每天的銷售量是（150+50x根據(jù)題意，得：(9-x整理，得：x2解得，x1=1，又因為需要盡快減少庫存，所以應該取x=2．9-2=7．故每斤沃柑應降至7元．【點睛】此題考查一元二次方程的應用，得到可賣出商品數(shù)量是解決本題的易錯點，得到總盈利1000元的等量關系是解決本題的關鍵．【變式2.3】旅行社為吸引游客組團去某景區(qū)旅游，推出了如下收費標準（如圖所示）：若某公司組織員工去該風景區(qū)旅游，共支付給旅行社會旅游費用27000元，請問該公司這次共有多少名員工去該風景區(qū)旅游？【答案】該公司這次共有30名員工去該風景區(qū)旅游【分析】設該公司這次共有x名員工去該風景區(qū)旅游，根據(jù)題意列出一元二次方程，根據(jù)題意取舍即可求解．【詳解】解：∵27000>25000，∴人數(shù)超過25人，設該公司這次共有x名員工去該風景區(qū)旅游，根據(jù)題意得，1000?20解得：x1∵人數(shù)不超過35人，∴x=30，答：該公司這次共有30名員工去該風景區(qū)旅游．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵．模塊三模塊三幾何圖形面積問題【考點1規(guī)則圖形的面積問題】【例1.1】一個正方形的邊長增加3cm，它的面積就增加了39cmA．5cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】A【分析】設這個正方形原來的邊長為x，根據(jù)題意，列出方程，進行求解即可．【詳解】解：設這個正方形原來的邊長為x，則x解得：x=5，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．【例1.2】我國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步．如果設寬為x步，則可列出方程（

）A．xx?6=864 C．xx+6=864 【答案】D【分析】設寬為x步，則長為x+12步，然后根據(jù)長方形面積公式列出方程即可．【詳解】解：設寬為x步，則長為x+12步，由題意得，xx+12故選：D．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．【例1.3】在半徑為R的圓形鋼板上，挖去四個半徑都為r的小圓.若R＝16.8，剩余部分的面積為272π，則r的值是（

）A．3.2 B．2.4 C．1.6 D．0.8【答案】C【分析】根據(jù)大圓面積-4個小圓面積=272π，即可求出r的值.【詳解】由題意得，16.82π-4πr2=272π解得r2=2.56r=1.6或r=-1.6（不合題意，舍去）故答案為C【點睛】本題考查列方程解應用題，根據(jù)題意找出等量關系是解題的關鍵.【變式1.1】某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環(huán)保為主題的公園．已知這塊地的長是寬的3倍，，它的面積為60000(1)這塊荒地的寬為多少米?(2)若在公園中建一個圓形噴水池，其面積為80πm【答案】（1）1002米；（2）該水池的半徑為4【分析】（1）設長方形荒地的寬為x米，則長為3x米，根據(jù)面積列方程解答；（2）設該水池的半徑為R米，根據(jù)面積列得πR【詳解】解：（1）設長方形荒地的寬為x米，則長為3x米，則3xx=1002(x=?100答：這塊荒地的寬為1002（2）設該水池的半徑為R米，則πRR2解得R=45(答：該水池的半徑是45【點睛】此題考查一元二次方程的實際應用，正確理解題意，根據(jù)題意直接設未知數(shù)列出方程進行解答.【變式1.2】如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，試求該矩形荒地的長．【答案】矩形荒地的長為26m【分析】設B地塊的邊長為xm，根據(jù)“C地塊的面積比B地塊的面積少40m2”列出方程求解即可．【詳解】解：設B地塊的邊長為xm．x2－x(16－x)＝40

解得：x1＝10，x2＝－2（不符題意，舍去）

∴

10＋16＝26m答：矩形荒地的長為26m【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找到題目中的等量關系，難度不大．【變式1.3】用一條長為40cm的鐵絲圍成一個斜邊長為17cm的直角三角形，則這個直角三角形的面積為____【答案】60【分析】設一條直角邊長為xcm，則另一條直角邊長為40?17?xcm，根據(jù)勾股定理可列出關于x的等式，解出【詳解】解：設一條直角邊長為xcm，則另一條直角邊長為40?17?x根據(jù)勾股定理得：x2解得：x1=15，∴兩直角邊長分別為15cm和8∴直角三角形的面積為12故答案為：60．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，勾股定理．根據(jù)勾股定理列出一元二次方程是解題關鍵．【考點2邊框與甬道的面積問題】【例2.1】如圖，在一塊長92m，寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為5310m2，那么水渠應挖多寬？若設水渠應挖

A．92?2x60?x=5310 C．92×60?2×60x?92x=5310 D．92×60?2×92x?60x+2【答案】A【分析】6個矩形小塊通過平移可以得到一個大的矩形，求出矩形的長和寬，根據(jù)面積為5310m【詳解】解：由題意知，6個矩形小塊通過平移可以得到一個大的矩形，長為92?2xm，寬為60?x∵6個矩形小塊的面積和為5310m∴92?2x60?x故選A．【點睛】本題考查根據(jù)實際問題列一元二次方程，解題的關鍵是用含x的代數(shù)式表示出6個矩形小塊合成的大矩形的長和寬．【例2.2】要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)省材料，養(yǎng)雞場的一邊利用原有的一道墻，另三邊用鐵絲網圍成，如果鐵絲網的長為

(1)若墻足夠長，則養(yǎng)雞場的長與寬各為多少？(2)若給定墻長為am，則墻長a【答案】(1)養(yǎng)雞場的長為20m或15m，寬為7．(2)當a<15時，題目無解；當15≤a<20時，題目只有一個解；當a≥20時，題目有兩個解．【分析】（1）設垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為35?2xm，根據(jù)長方形的面積公式結合養(yǎng)雞場的面積為（2）根據(jù)（1）的結論可分a<15、15≤a<20及a≥20三種情況，找出題目解的個數(shù)．【詳解】（1）解：設垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為35?2x依題意，得：x35?2x整理，得：2x解得：x1∴35?2x=20或35?2x=15．答：養(yǎng)雞場的長為20m或15m，寬為7．（2）解：當a<15時，題目無解；當15≤a<20時，題目只有一個解；當a≥20時，題目有兩個解．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【例2.3】如圖1，有一長方形菜地，長比寬多20米．求菜地的面積．老師在黑板上的板書：x(x+20)(1)請根據(jù)老師的板書說出x的實際意義：__________________；(2)請用含x的多項式表示菜地的面積為：__________________；(3)如圖2，經測量菜地的長為120米．張老爹為了擴大菜地面積，向周圍開墾荒地，已知四周開墾的菜地寬度均為a米，通過計算說明菜地開墾后的面積（結果用含a的多項式表示）；(4)當a=2米時，求菜地開墾后的面積；【答案】(1)菜地的寬度(2)x(3)12000+440a+4(4)12896【分析】（1）根據(jù)題意即可得到答案；（2）根據(jù)題意即可得到答案；（3）由題意得，開墾后菜地的長為120+2a米，菜地的寬為（4）把a=2代入第（3）的結果即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意得：x的實際意義是菜地的寬度；（2）解：設菜地的寬度為x，則長度為x+∴菜地的面積為：xx（3）解：∵菜地的長為120米，∴菜地的寬為100米，∵四周開墾的菜地寬度均為a米，∴開墾后菜地的長為120+2a米，菜地的寬為∴開墾后菜地的面積為：120=12000+240a+200a+4=12000+440a+4（4）解：由（3）得：開墾后菜地的面積為：12000+440a+4a當a=2時，原式=12000+440×2+4×=12000+880+16=12896【點睛】本題考查額一元二次方程的實際應用，靈活運用所學知識是解題關鍵．【變式2.1】2023亞洲花卉產業(yè)博覽會于2023年5月10至12日，在中國進出口交易會展館舉辦，為了迎接盛會的到來，組委會想利用一塊長方形空地建了一個小型的惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52m，寬為28m，陰影部分設計為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640m【答案】通道的寬是6米．【分析】設通道的寬是x米，則鋪花磚的部分可合成長為52?2x米，寬為28?2x米的長方形，根據(jù)鋪花磚的面積為640平方米，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：設通道的寬是x米，則鋪花磚的部分可合成長為52?2x米，寬為28?2x米的長方形，根據(jù)題意得：52?2x28?2x整理得：x2解得：x1=6，答：通道的寬是6米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2.2】如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m

【答案】20?x【分析】利用平移可把草坪把為一個長為32?xm，寬為20?x【詳解】解：利用平移，原圖可轉化為，如圖所示，

設小路寬為x米，根據(jù)題意得：20?x32?x故答案為：20?x32?x【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，利用平移把草坪變?yōu)榫匦问潜绢}的關鍵．模塊四模塊四課后作業(yè)1．為了宣傳環(huán)保，某學生寫了一份倡議書在微博傳播，規(guī)則為：將倡議書發(fā)表在自己的微博，再邀請n個好友轉發(fā)倡議書，每個好友轉發(fā)倡議書，又邀請n個互不相同的好友轉發(fā)倡議書，以此類推，已知經過兩輪傳播后，共有1641人參與了傳播活動，則方程列為（）A．(n+1)2=1641 B．(n?1)2=1641 C．【答案】D【分析】根據(jù)兩輪傳播后，共有1641人參與了傳播活動，列出方程即可．【詳解】解：第一輪傳播人數(shù)為：1+n，第二輪又增加n2，由題意，得：1+n+故選D．【點睛】本題考查一元二次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．2．疫情期間，若有1人染上“新冠”，不及時治療，經過兩輪傳染后有361人染上“新冠”，平均一個人傳染x個人．則由題意列方程得（

）A．x+12=361 C．1+x+x2=361【答案】A【分析】設平均一個人傳染x個人，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解∶設平均一個人傳染x個人，根據(jù)題意得：x+1+x+1即x+12故選：A【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．3．某大型超市在2022年12月份的純利潤是100萬元，由于改進管理，額外損耗減少，2023年2月份的純利潤達到了121萬元．假設該超市在2022年12月至2023年1月、2月間每個月增長的利潤率相同，則每個月增長的利潤率為（

）A．30% B．20% C．15%【答案】D【分析】設每個月增長的利潤率為x，根據(jù)題意列一元二次方程1001+x【詳解】解：設每個月增長的利潤率為x，由題意得：1001+x解得x1=0.1，因此每個月增長的利潤率為10%故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是理解利潤率的概念．4．如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度為10m）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，要圍成面積為45m

【答案】5【分析】設AB的長為xm，則BC的長為24?3xm，由題意得，x24?3x【詳解】解：設AB的長為xm，則BC的長為24?3x由題意得，x24?3x=45，整理得解得，x=3或x=5，當x=3時，BC的長為15m∴AB的長為5m故答案為：5m【點睛】本題考查了一元二次方程的應用．解題的關鍵在于根據(jù)題意正確的列方程并求解．5．已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，則這個兩位數(shù)是___．【答案】84【分析】等量關系為：個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和＝這個兩位數(shù)﹣4，把相關數(shù)值代入求得整數(shù)解即可．【詳解】設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：這個兩位數(shù)為84．故答案為：84【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．6．某班學生去參加義務勞動，其中一組到一果園去摘梨子，第一個進園的學生摘了1個梨子，第二個學生摘了2個，第三個學生摘了3個，…以此類推，后來的學生都比前面的學生多摘1個梨子，這樣恰好平均每個學生摘了6個梨子，請問這組學生的人數(shù)為_______【答案】11【分析】設這組學生的人數(shù)為x人，根據(jù)題意列出方程，解出即可．【詳解】解：設這組學生的人數(shù)為x人，根據(jù)題意得：1+2+3+?+x=6x，即xx+1解得：x=11．故答案為：11【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．7．如圖，要搭建一個矩形的自行車棚ABCD，一邊AD靠墻MN，另三邊的總長為60米．設AB的長為x米．(1)若墻MN長為30米，當x為多少時，矩形車棚的面積為400平方米．(2)車棚面積能否為460平方米？若能，求出此時x的值，若不能，說明理由．【答案】(1)當x=20米時，矩形車棚的面積為400平方米(2)不能，理由見解析【分析】（1）利用矩形的面積計算公式，找出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合墻長30米即可確定x的值；（2）利用矩形的面積計算公式，找出關于x的一元二次方程，由根的判別式Δ=?20<0【詳解】（1）解：設AB的長為x米，則BC的長為60?2x米，依題意得：x60?2x整理得：x2解得：x1=10，當x=10時，60?2x=40>30，不合題意，舍去；當x=20時，60?2x=20<30，符合題意．答：當x為20米時，矩形車棚的面積為400平方米．（2）解