八年級數(shù)學下冊專題19.5 一次函數(shù)的應用【八大題型】

專題19.5一次函數(shù)的應用【八大題型】

【人教版】

【題型1行程問題】...........................................................................1

【題型2工程問題】...........................................................................5

【題型3利潤最大問題】.......................................................................9

【題型4費用最低問題】......................................................................14

【題型5調(diào)運問題】..........................................................................19

【題型6體積問題】..........................................................................23

【題型7幾何圖形問題】......................................................................26

【題型8其他問題】..........................................................................29

【題型1行程問題】

【例1】（2022春?大足區(qū)期末）甲、乙兩車分別從A,3兩地同時相向勻速行駛，當乙車到達A地后，繼

續(xù)保持原速向遠離8的方向行駛，而甲車到達B地后立即掉頭，并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過12

小時后兩車同時到達距4地300千米的C地（中途休息時間忽略不計）.設(shè)兩車行駛的時間為x（小時），

兩車之間的距離為y（千米），y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則當乙車到達A地時，甲車距A地150

【分析】由圖象可知甲車從A地到8地用了4小時，進而可知甲車的速度，得出A、8兩地的距離是300

千米，進而得出乙車到達A地的時間，進而可得答案.

【解答】解：由圖象可知，甲車從A地到8地用了4小時,

;經(jīng)過12小時后兩車同時到達距A地300千米的C地,

甲車從8地到C地用12-4=8(小時)，乙從B地到C地用了12小時，

■4、C兩地的距離是300千米,

...甲車的速度是300+(8-4)=75(千米/時)，

；.A、8兩地之間的距離是75X4=300(千米)，

乙車從B地到達A地需要￡=6(小時)，

此時甲的路程為75X6=450(千米)，

甲車矩A地450-300=150(千米)，

故答案為：150.

【變式1-1](2022?前進區(qū)校級開學)甲、乙兩車從佳木斯出發(fā)前往哈爾濱，甲車先出發(fā)，1人以后乙車出

發(fā)，在整個過程中，兩車離開佳木斯的距離y(km)與乙車行駛時間x(〃)的對應關(guān)系如圖所示：

(1)直接寫出佳木斯、哈爾濱兩城之間距離是多少h”？

(2)求乙車出發(fā)多長時間追上甲車？

(3)直接寫出甲車在行駛過程中經(jīng)過多長時間，與乙車相距18h〃.

【分析】(1)由圖象直接得出結(jié)論；

(2)先求出甲、乙車的速度，設(shè)乙出發(fā)x小時追上甲車，再根據(jù)路程相等列出方程，解方程即可；

(3)設(shè)甲車出發(fā))力與乙車相距18h?,分乙車出發(fā)前和出發(fā)后兩種情況，根據(jù)路程差=18列出方程，解

方程即可.

【解答】解：(1)由圖象可知，佳木斯、哈爾濱兩城之間距離是360切?；

(2)由圖象可知，乙車速度為360+3=120Ckm/h),甲車速度為360+(4+1)=72(km/h),

設(shè)乙出發(fā)x小時追上甲車，

根據(jù)題意得：120x=72(x+1),

解得x=|，

答：乙車出發(fā)|小時追上甲車：

（3）設(shè)甲車出發(fā)功與乙車相距1相

①乙車出發(fā)前，

由題意得72）=18,

解得產(chǎn)；；

4

②乙車出發(fā)后，

由題意得：|72y-120（y-1）|=18,

解得：尸日或X=錄，

綜上所述，甲車在行駛過程中經(jīng)過工或2人或言/1與乙車相距18Ml.

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【變式1-2］（2022秋?舞鋼市期末）甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地出發(fā)相向勻速而行，已知

甲比乙先出發(fā)6分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，約定

先到A地者停止運動就地休息.若甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲行走的時間x（分鐘）之間的關(guān)系

如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘，乙的速度是80米/分鐘；②甲出發(fā)30分鐘時，兩人

在C地相遇；③乙到達A地時，甲與A地相距450米，其中正確的說法有（）

【分析】根據(jù)圖象可知A、8兩地相距3720米；利用速度=路程+時間可求出甲、乙的速度，由二者相

遇的時間=6+4、8兩地之間的路程+二者速度和，可求出二者相遇的時間，再由A、C兩地之間的距離

=甲的速度X二者相遇的時間可求出A、C兩地之間的距離，由A、C兩地之間的距離結(jié)合甲、乙的速度,

可求出乙到達A地時甲與A地相距的路程.

【解答】解：由圖象可知，A、B兩地相距3720米，

甲的速度為（3720-3360）+6=60（米/分鐘），

乙的速度為（3360-1260）4-（21-6）-60=80（米/分鐘），故①說法正確；

甲、乙相遇的時間為6+3360+（60+80）=30（分鐘），故②說法正確；

4、C兩地之間的距離為60X30=180（）（米），

乙到達A地時，甲與A地相距的路程為1800-1800+80X60=450（米）.故③說法正確.

即正確的說法有3個.

故選：D.

【變式1-3]（2022春?南川區(qū)期末）甲、乙兩運動員在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步560

米，先到終點的運動員原地休息.已知甲先出發(fā)1秒，兩運動員之間的距離y（米）與乙出發(fā)的時間x

（秒）之間的關(guān)系如圖所示.給出以下結(jié)論：①。=7；②6=63；③c=80.其中正確的是（）

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得小6、c的值，從而可以解答本題.

【解答】解：由圖象知，甲的速度為7+1=7（米/秒），

..?乙出發(fā)70秒后到達終點，

，乙的速度為560+70=8（米/秒），

?.?乙出發(fā)a秒時乙追上甲，

A8a=7（a+1）,

解得：a=7,

故①正確；

當乙到達終點時，甲走的路程為7X（70+1）=497（米），

."=560-497=63（米），

故②正確；

當乙到達終點時，甲還需要走63+7=9（秒），

/.c=70+9=79（秒），

故③錯誤.

???正確的是①②.

故選：C.

【題型2工程問題】

【例21（2022?李滄區(qū)一模）李滄區(qū)海綿工程建設(shè)過程中，需要將某小區(qū)內(nèi)兩段長度相等的人行道改造為

透水人行道，人行道綠籬改造為下沉式綠籬.現(xiàn)分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工.如圖是反映

所鋪設(shè)人行道的長度y（米）與施工時間x（時）之間關(guān)系的部分圖象，請解答下列問題：

（1）求乙隊在2WxW6的時間段內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若甲隊施工速度不變，乙隊在施工6小時后，施工速度增加到12米/時，結(jié)果兩隊同時完成了任務(wù),

求甲隊從開始施工到完成，所鋪設(shè)的人行道共是多少米.

【分析】（1）觀察函數(shù)圖象找出點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用待定系數(shù)法分別求出甲隊在整個改造工程中y與x的函數(shù)關(guān)系式和乙隊在x26的時間內(nèi)y與x

的函數(shù)關(guān)系式，再聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系式成方程組，解方程組即可求出結(jié)論.

【解答】解：（I）設(shè)乙隊在2<x<6的時間段內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為（A/0）,

將（2,30）、（6,50）代入y=fcr+。，得：

｛赳:U，解得：仁、

...乙隊在2WxW6的時間段內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=5x+20,

（2）設(shè)甲隊在整個改造工程中，），與x的函數(shù)關(guān)系式為），="武（%W0）,

將（6,60）代入得：

60=6"?,解得：m—10,

甲隊在整個改造工程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=10x；

設(shè)乙隊在*26的時間內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=12%+〃，

將（6,50）代入y=12x+〃，得：

50=12X6+〃，解得：〃=-22,

???乙隊在x26的時間內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=l2x-22.

聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：

(y=10%X=11

解得:

[y=12%-22.y=no-

答：甲隊從開始施工到完成，所鋪設(shè)的人行道共是110米.

【變式2-1］（2022春?華容縣期末）某乳品公司向某地運輸一批牛奶，由鐵路運輸每千克需運費0.60元，

由公路運輸，每千克需運費0.30元，另需補助600元.

（1）設(shè)該公司運輸?shù)倪@批牛奶為x千克，選擇鐵路運輸時，所需運費為力元，選擇公路運輸時，所需運

費為以元，請分別寫出X、及與x之間的關(guān)系式；

（2）若公司只支出運費1500元，則選用哪種運輸方式運送的牛奶多？若公司運送1500千克牛奶，則選

用哪種運輸方式所需用較少？

【分析】（1）由總價=單價X數(shù)量+其他費用，就可以得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將y=1500或x=1500分別代入（1）的解析式就可以求出結(jié)論；

【解答】解：（l）“=0.6x,

y2=0.3x+600.

（2）當yi=1500時,x=2500,

當〉2=1500時，x=3000,

；3000>250(),

公路運輸時運送的牛奶多.

當x=1500時，?=900,），2=1050,

V1050>900,

...公司運送150（）千克牛奶，鐵路運輸方式便宜.

【變式2-2］（2022春?廬江縣期末）甲、乙兩工程隊維修同一段路面，甲隊先清理路面，乙隊在甲隊清理

后鋪設(shè)路面.乙隊在中途停工了一段時間，然后按停工前的工作效率繼續(xù)工作.在整個工作過程中，甲

隊清理完的路面長y（米）與時間x（時）的函數(shù)圖象為線段OA,乙隊鋪設(shè)完的路面長y（米）與時間x

（時）的函數(shù)圖象為折線BC--CD--DE,如圖所示，從甲隊開始工作時計時.

（1）直接寫出乙隊鋪設(shè)完的路面長y（米）與時間x（時）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當甲隊清理完路面時，乙隊還有多少米的路面沒有鋪設(shè)完？

【分析】(1)先求出乙隊鋪設(shè)路面的工作效率，計算出乙隊完成需要的時間求出E的坐標，再由待定系

數(shù)法就可以求出結(jié)論.

(2)由(1)的結(jié)論求出甲隊完成的時間，把時間代入乙的解析式就可以求出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)線段8c所在直線對應的函數(shù)關(guān)系式為丫=心為+也.

,圖象經(jīng)過(3,0)、(5,50),

解得：

ffci=25

匕=-75'

線段BC所在宜線對應的函數(shù)關(guān)系式為y=25x-75.

設(shè)線段DE所在直線對應的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+bz.

?.?乙隊按停工前的工作效率為：50+(5-3)=25,

乙隊剩下的需要的時間為：(160-50)+25=當，

：.E(10.9,160),

.,50=6.5/C2+

,*(160=10.9公+。2'

解得忐二12S

，線段OE所在直線對應的函數(shù)關(guān)系式為y=25x-112.5.

乙隊鋪設(shè)完的路面長y(米)與時間x(時)的函數(shù)關(guān)系式為

y=25x—75(3<x<5)

'y=50(5<%<6.5)；

、y=25x-112.5(6,5<%<10.9)

(2)由題意，得

甲隊每小時清理路面的長為100+5=20,

甲隊清理完路面的時間，x=160+20=8.

把x=8代入y=25x-112.5,得y=25X8-112.5=87.5.

當甲隊清理完路面時，乙隊鋪設(shè)完的路面長為87.5米，

160-87.5=72.5米，

答：當甲隊清理完路面時，乙隊還有72.5米的路面沒有鋪設(shè)完.

【變式2-3］（2022?無錫模擬）甲，乙兩人同時各接受了300個零件的加工任務(wù)，甲比乙每小時加工的數(shù)

量多，兩人同時開工，其中一人因機器故障停止加工若干小時后又繼續(xù)按原速加工，直到他們完成任務(wù).如

圖表示甲比乙多加工的零件數(shù)量y（個）與加工時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系，觀察圖象解決下列問題:

（1）其中一人因故障，停止加工1小時,C點表示的實際意義是甲工作6小時完成任務(wù).甲每

小時加工的零件數(shù)量為60個:

（2）求線段8c對應的函數(shù)關(guān)系式和。點坐標；

（3）乙在加工的過程中，多少小時時比甲少加工75個零件？

（4）為了使乙能與甲同時完成任務(wù)，現(xiàn)讓丙幫乙加工，直到完成.丙每小時能加工80個零件，并把丙

加工的零件數(shù)記在乙的名下，問丙應在第多少小時時開始幫助乙？并在圖中用虛線畫出丙幫助后y與x

之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.

【分析】（I）根據(jù)函數(shù)圖象可以解答本題；

（2）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以求得點C的坐標，從而可以求得線段8c對應的函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)題意和圖象可知它們相差75個零件在BC段和C￡＞段，從而可以解答本題；

（4）根據(jù)題意和圖象可以求得丙應在第多少小時時開始幫助乙，并在圖中用虛線畫出丙幫助后），與x之

間的函數(shù)關(guān)系的圖象.

【解答】解：（I）由題意可得，

其中一人因故障，停止加工2-1=1小時，C點表示的實際意義是甲工作6小時完成任務(wù)，甲每小時加

工的零件數(shù)量為：300+（6-1）=60個，

故答案為：1、甲工作6小時完成任務(wù)、60；

(2)設(shè)線段8c對應的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=^+6,

點C的縱坐標是：300-60+2X6=120,

...點C的坐標是(6,120)

(2k+b=0；iif/c-30

l6k+b=120'何5=-60)

即線段BC對應的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=30r-60,

點。的橫坐標為：3004-(604-2)=10,

故點。的坐標為(10,0)；

(3)當y=75時,75=30%-60,得*=4.5,

當在CO段時，當乙比甲少加工75個零件時的時間為：(300-75)+30=7.5(小時)，

即當在4.5小時或7.5小時時，乙在加工的過程中，比甲少加工75個零件；

(4)由題意可得，

當x=6時，y=30X6-60=120,

1204-80=1.5,

.?.丙應在第4.5小時時開始幫助乙，圖象如右圖所示.

[例3](2022春?遵義期末)釣魚成為越來越多人休閑娛樂的選擇，魚密度大的魚塘的門票在300-600

元不等，這讓愛好釣魚的釣友們喜歡到能回魚的魚塘垂釣(回魚是指釣友釣上的魚返賣給塘主)，如果

魚情和釣魚技能好的話還能獲得一些利潤.歡樂魚塘的門票為450元5小時，回魚標準為56斤以內(nèi)為

12元/斤，超過56斤的部分7元/斤：云門魚塘門票為320元5小時，回魚標準是律按8元/斤.(斤是重

量單位，1斤0.5千克)，設(shè)釣友獲得的利潤為y元，魚的重量為x斤.

(1)求在兩家魚塘釣魚時》歡樂、)?？谂cX之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖，在平面直角坐標系中，M,N為圖象的交點，相，〃分別為點M,N的橫坐標，寫出圖中〃?,

n的值分別為32.5、150；

(3)釣友會根據(jù)自己的釣魚技能和魚塘的回魚標準選擇不同的魚塘垂釣，請幫釣友們分析選擇在哪家魚

塘釣魚更劃算？

【分析】(1)根據(jù)利潤=回魚金額-門票，結(jié)合魚塘的不同回魚方式列式即可：

(2)聯(lián)立函數(shù)解析式求出點M、N的坐標即可；

(3)根據(jù)點例、N的坐標，結(jié)合函數(shù)圖象判斷即可.

【解答】解：(1)由題意得：當00W56時，y?=12r-450,

當x>56時，y歡樂=12X56+7(x-56)-450=7x770,

(12x-450(0<x<56)

=(7x-170(x>56)

yz；n=8.r-320；

(2)^f^=12x-450(0<x<56)

聯(lián)」(y云〃=8%—320(x20)'

解得」;二噫

聯(lián)立卜新壞=7%_170(X>56),

Y云門=8%—320(%>0)'

解得："黑

(y—oou

：.M(32.5,-60),N(150,880),

，m=32.5,〃=15(),

故答案為：32.5,150；

(3)"M(32.5,-60),N(150,880),

，由函數(shù)圖象可得：當0Wx<32.5時，即在云門門魚塘垂釣更劃算:

當x=32.5時,y-=ym,即在歡樂魚塘和云門魚塘垂釣一樣劃算；

當32.5<x<150時，y歡樂>），,汕，即在歡樂魚塘垂釣更劃算；

當x=150時，y*,*=y,：n,即在歡樂魚塘和云門魚塘垂釣一樣劃算；

當x>150,y歡樂<），*“，即在云門魚塘垂釣更劃算；

綜上，當OWxV32.5,x>150時，在云門魚塘垂釣更劃算；當x=325,x=150時，在歡樂魚塘和云門魚

塘垂釣一樣劃算；當32.5<x<150時，在歡樂魚塘垂釣更劃算.

【變式3-1］（2022春?武漢期末）某商店銷售一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本價為6元/件，售價為8元/件，銷售人

員對該產(chǎn)品一個月（30天）銷售情況記錄繪成圖象.

圖中的折線ODE表示日銷量y（件）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系，若線段OE表示的函數(shù)關(guān)系

中，時間每增加1天，日銷量減少5件.

（1）第25天的日銷量是325件,這天銷售利潤是650元:

（2）求），與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）II銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有多少天？銷售期間日銷售最大利潤是多少元？

【分析】（1）由時間每增加1天日銷售量減少5件結(jié)合第22天的日銷售量為340件，即可求出第24天

的日銷售量，再根據(jù)日銷售利潤=每件的利潤X日銷售量，即可求出第24天的日銷售利潤；

（2）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線DE的函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系式成方程組

可求出點。的坐標，結(jié)合點E的橫坐標，即可找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)日銷售量=日銷售利潤小每件的利潤，可求出日銷售量，將其分別代入CE的函數(shù)關(guān)系

式中求出x值，將其相減加1即可求出日銷售利潤不低于640元的天數(shù)，再根據(jù)點。的坐標結(jié)合日銷售

利潤=每件的利潤X日銷售量，即可求出日銷售最大利潤.

【解答】解：（1）340-（25-22）X5=325（件），

(8-6)X325=650(元)，

故答案為：325；650.

(2)設(shè)直線0。的函數(shù)關(guān)系式為

將(17,340)代入

得：340=17*,

解得：-20.

「?直線OD的函數(shù)關(guān)系式為y=20x.

設(shè)直線DE的函數(shù)關(guān)系式為y=wtr+〃，

將(22,340)、(25,325)代入y=mr+小

(22m+n=340

(25巾4-n=325'

解得：1=總，

5=450

?,?直線DE的函數(shù)關(guān)系式為y=-5x+450.

聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，

(y=2Ox

[y=-5%+450'

解得:];羽

.?.點。的坐標為(18,360).

f20x(0<x<18)

???y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為)=々an；

1—5%+450(18<x<30)

(3)6404-(8-6)=320(件)，

當y=320時，有20x=320或-5x+450=320,

解得：x=16或x=26,

A26-16+1=11(天)，

日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有11天.

?折線OOE的最高點。的坐標為(18,360).360X2=720(元).

當x=18時，H銷售利潤最大，最大利潤為720元.

【變式3-2](2022?濟寧二模)某商店購進了A,B兩種家用電器，相關(guān)信息如下表:

家用電器進價(元/件)售價(元/件)

A機+2001800

Bm1700

已知用6000元購進的4種電器件數(shù)與用5000元購進的B種電器件數(shù)相同.

(1)求表中的值.

(2)由于A,8兩種家用電器熱銷，該商店計劃用不超過23000元的資金再購進4,8兩種電器總件數(shù)

共20件，且獲利不少于13300元.請問：有幾種進貨方案？哪一種方案才能獲得最大利潤？最大利潤是

多少？

【分析】(1)根據(jù)“用6000元購進的A種電器件數(shù)與用5000元購進的B種電器件數(shù)相同”列分式方

程求解可得；

(2)設(shè)計劃購進A種電器件數(shù)為達根據(jù)購進總錢數(shù)不超過23000元及獲利不少于13300元求得x的范

圍，依據(jù)題意列出總利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

【解答】解：(1)由題意可得：

6000=5000,

m+200m

解得：w=1000,

經(jīng)檢驗得："7=1000是原方程的根，

答："7的值為1000；

(2)設(shè)計劃購進A種電器件數(shù)為x,則

(1200x+1000(20-%)<23000

(600x4-700(20-x)>13300'

解得：x&7,

則無可取的整數(shù)有0、1、2、3、4、5、6、7這8種，

故購進方案有8種，

設(shè)所獲利潤為y,

則y=600x+700(20-x)=-10Qx+14000,

Vy隨x的增大而減小，

...當x=0時，y取得最大值，最大值為14000元，

即進貨方案為4種電器0臺，8種電器20臺時，利潤最大，最大利潤為14000元.

【變式3-3](2022?長垣市模擬)某營業(yè)廳銷售3部A型號手機和2部B型號手機的營業(yè)額為10800元,

銷售4部A型號手機和1部B型號手機的營業(yè)額為10400元.

(1)求每部A型號手機和B型號手機的售價；

(2)該營業(yè)廳計劃一次性購進兩種型號手機共50部，其中8型號手機的進貨數(shù)量不超過A型號手機數(shù)

量的3倍.已知A型手機和B型手機的進貨價格分別為1500元/部和1800元/部，設(shè)購進A型號手機a

部，這50部手機的銷售總利潤為卬元.

①求W關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

②該營業(yè)廳購進A型號和B型號手機各多少部時，才能使銷售總利潤最大，最大利潤為多少元？

【分析】(1)根據(jù)3部A型號手機和2部8型號手機營業(yè)額10800元，4部A型號手機和1部8型號

手機營業(yè)額10400元，構(gòu)造二元一次方程組求解即可；

(2)①根據(jù)：每類手機利潤=單部手機利潤X部數(shù)，總利潤=4型手機利潤+8型手機利潤，得函數(shù)關(guān)

系式.注意。的取值范圍.

②根據(jù)①的關(guān)系式，利用一元函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)每部A型號手機的售價為x元，每部B型號手機的售價為y元.

由題意,得修卓瑟需

解成;：歌

(2)①由題意，得卬=(2000-1500)a+(2400-1800)(50-a),

即w=30000-100a,

又?.?50-aW3a,

關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為w=30000-100“(?>g)；

②w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為w=30000-100a,

,:k=-l(K)<0,

Aw隨a的增大而減小，

又：a只能取正整數(shù)，

當a=13時，總利潤w最大，最大利潤w=3()000-100X13=28700

50-a=37

答：該營業(yè)廳購進A型號手機13部，B型號手機37部時，銷售總利潤最大，最大利潤為28700元

【題型4費用最低問題】

【例4】(2022春?前郭縣期末)共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向3?10也2的出行市場現(xiàn)

有4、8品牌的共享電動車，收費與騎行時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中A品牌收費方式對應y”B

品牌的收費方式對應

(1)請求出兩個函數(shù)關(guān)系式.

(2)如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動車去工廠上班，己知兩種品牌共享電動車

的平均行駛速度均為20A"〃z,小明家到工廠的距離為6km,那么小明選擇哪個品牌的共享電動車更省錢

呢？

(3)直接寫出第幾分鐘，兩種收費相差1.5元.

【分析】(1)根據(jù)圖象設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)先求出小明從家到工廠所用時間為18疝〃,再通過圖象可知小于18疝”時選擇A品牌電動車更省錢;

(3)分兩種情況討論，6-刈=1.5,分別解方程即可.

【解答】解:(1)設(shè)力=加,

把點(20,4)代入y尸kix,

得：ki=0.2,

.*.yi=0.2x(JCNO)；

由圖象可知,當OVJTWIO時,以=3,

當x>10時,，設(shè)y2=k2x+b,

把點(10,3)和點(20,4)代入中，

俎(10k2+/?=3

付：120k2+8=4'

解得；｛彳；2°」，

?'?y2=0.lx+2,

但f3(0<x<10)

綜上所述：y2=[01x+2(x>10)：

(2)64-20=0.3(h)，0.30=186加，

V18<20,

由圖象可知，當騎行時間不足20〃,山時，即騎行A品牌的共享電動車更省錢.

...小明選擇A品牌的共享電動車更省錢；

(3)?..當x=20"?i〃時兩種收費相同，

.,.兩種收費相差1.5元分2Qmin前和20min后兩種情況,

①當x<20時，離20m/n越近收費相差的越少，

當x=10時，yi=0.2X10=2,刃=3,

72-)1=3-2=1,

.?.要使兩種收費相差1.5元，x應小于10,

?'?"-'=3-0.2x=1.5,

解得：x=7.5；

②當x>20時，，0.2x-(O.lx+2)=1.5,

解得：*=35.

...在7.5分鐘或35分鐘，兩種收費相差1.5元.

【變式4-1](2022春?碑林區(qū)校級期末)某校張老師寒假準備帶領(lǐng)他們的“三好學生”外出旅游，甲、乙

兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人400元，經(jīng)協(xié)商，甲旅行社表示：“如果帶隊張老師買一

張全票，則學生可半價”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折優(yōu)惠.”則：

(1)設(shè)學生數(shù)為x(人)，甲旅行社收費為y甲(元)，乙旅行社收費為y乙(元)，兩家旅行社的收費

各是多少？

(2)哪家旅行社收費較為優(yōu)惠？

【分析】⑴設(shè)我校區(qū)級“三好學生”的人數(shù)為x人.則選甲旅行社時總費用=400+40()X50%x,選乙

旅行社時總費用=400X60%(x+1)；

(2)當400+400X50%x<400X60%(x+1)時，甲旅行社較為優(yōu)惠.反之，乙旅行社優(yōu)惠，相等時，兩

旅行社一樣.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得，

甲旅行社時總費用：y甲=400+400X50%x=200X+400,

乙旅行社時總費用：*=400X60%(x+1)=240x+240；

(2)設(shè)我校區(qū)級“三好學生”的人數(shù)為x人，根據(jù)題意得：

400+400X50%x<400X60%(x+1),

解得：x>4,

當學生人數(shù)超過4人，甲旅行社比較優(yōu)惠，當學生人數(shù)4人之內(nèi)，乙旅行社比較優(yōu)惠，剛好4人，兩個

旅行社一樣.

【變式4-2](2022春?灤南縣期末)某人因需要經(jīng)常去復印資料，甲復印社直接按每次印的張數(shù)計費，乙

復印社可以加入會員，但需按月付一定的會員費.兩復印社每月收費情況如圖所示，根據(jù)圖中提供的信

息解答下列問題：

(1)乙復印社要求客戶每月支付的會員費是18元;甲復印社每張收費是0.2元:

(2)求出乙復印社收費情況y關(guān)于復印頁數(shù)x的函數(shù)解析式，并說明一次項系數(shù)的實際意義；

(3)當每月復印多少頁時，兩復印社實際收費相同；

(4)如果每月復印200頁時，應選擇哪家復印社？

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出乙復印社要求客戶每月支付的承包費是多少元和甲

復印社每張收費：

(2)先設(shè)出乙復印社一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法可以求得，再說明一次項系數(shù)的實際意義；

(3)先求得甲復印社對應的函數(shù)關(guān)系式，然后令兩個解析式的函數(shù)值相等，即可求得當復印多少頁時，

兩復印社實際收費相同；

(4)將x=200代入(2)(3)中的函數(shù)解析式，然后比較它們的大小，即可解答本題.

【解答】解：(i)由圖可知，

乙復印社要求客戶每月支付的承包費是18元；

甲復印社每張收費是104-50=0.2(元).

故答案為：18；0.2；

(2)設(shè)乙復印社收費情況y關(guān)于復印頁數(shù)x的函數(shù)解析式為y=kx+b,

把(0,18)和(50,22)代入解析式得：

(h=18

(50/c+b=22)

(k=0.08

lb=18

乙復印社收費情況y關(guān)于復印頁數(shù)x的函數(shù)解析式為y=0.08x+18,

一次項系數(shù)的實際意義為每張收費0.08元；

(3)由(1)知，甲復印社收費情況)，關(guān)于復印頁數(shù)x的函數(shù)解析式為y=0.2r,

令0.2x=0.08x+18,

解得,x=150,

答：當每月復印150頁時，兩復印社實際收費相同；

(4)當x=200時，

甲復印社的費用為:0.2X200=40(元)，

乙復印社的費用為：0.08X200+18=34(元)，

V40>34,

...當x=200時，選擇乙復印社.

【變式4-3](2022春?石河子期末)某種黃金飾品在甲、乙兩個商店銷售，甲店標價280元/克，按標價出

售，不優(yōu)惠，乙店標價300元/克，但若買的黃金飾品重量超過3克，則超出部分可打八折出售.

(1)分別寫出到甲、乙商店購買該種黃金飾品所需費用y(元)和重量x(克)之間的函數(shù)關(guān)系，并寫

出定義域；

(2)李阿姨要買一條重量不超過10克的此種黃金飾品，到哪個商店購買最合算？請說明理由.

【分析】(1))根據(jù)等量關(guān)系“去甲商店購買所需費用=標價又重量”“去乙商店購買所需費用=標價

X3+標價X0.8X超出3克的重量(x>3)；當xW3時，y/=530x,”列出函數(shù)關(guān)系式；

(2)通過比較甲乙兩商店費用的大小，得到購買一定重量的黃金飾品去最合算的商店.

【解答】解：(1)到甲商店購買所需費用y和重量x之間的函數(shù)關(guān)系為：y，i，=280x,(xNO),

到乙商店購買所需費用y和重量x之間的函數(shù)關(guān)系：

當0WxW3時，yz.=300x,

當x>3時，y乙=300X3+300X0.8X(%-3)=240x+180；

(2)當0<xW3時，顯然"故此時到甲商店購買合算；

①當y,p=y乙時，即：280x=240x+180,解得：x=4.5,

...當x=4.5時，到甲、乙兩商店購買一樣：

②當乙時,gp.280x<240x+180,解得：x<4.5,

...當x<4.5時，到甲商店購買合算；

③當匕時，即：280X>240X+180,解得：x>4,5,

.?.當x>4.5時，到乙商店購買合算；

綜上，當0<x<4.5時，到甲商店購買合算；當x=4.5時，到兩商店購買一樣合算；當4.5VxW10時，

到乙商店購買合算.

【題型5調(diào)運問題】

【例5】（2022?賀蘭縣模擬）云南某縣境內(nèi)發(fā)生地震，某市積極籌集救災物資260噸從該市區(qū)運往該縣甲、

乙兩地，若用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性運完這批物資.已知這兩種貨車的載重量分別為

16噸/輛和10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如下表：

車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）

運往地

大貨車720800

小貨車500650

（1）求這兩種貨車各用多少輛？

（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車為。輛，前往甲、乙兩地的

總運費為w元，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于132噸，請你設(shè)計出使總運費最少的貨車調(diào)配方案，

并求出最少總運費.

【分析】（1）首先設(shè)大貨車用x輛，則小貨車用（20-x）輛，利用所運物資為260噸得出等式方程求

出即可；

（2）根據(jù)安排9輛貨車前往甲地，前往甲地的大貨車為〃輛，得出小貨車的輛數(shù)，進而得出卬與〃的

函數(shù)關(guān)系；

（3）根據(jù)運往甲地的物資不少于132噸，則16a+10（9-a）N132即可得出a的取值范圍，進而得出最

佳方案.

【解答】解：（1）設(shè)大貨車用x輛，則小貨車用（20-x）輛，根據(jù)題意得

16A-+10（20-x）=260,

解得：x=10,

則20-x=10.

答：大貨車用10輛，小貨車用10輛.

（2）由題意得出:

卬=720a+800(10-a)+500(9-a)+650L10-(9-a)]=70a+13150,

則w=70a+13150(0WaW9且為整數(shù)).

(3)由16a+10(9-a)2132,

解得a27.

又；0WaW9,

；.7WaW9且為整數(shù).

Vw=70a+13150,A=70>0,w隨a的增大而增大,

.?.當a=7時，w最小,最小值為W=70X7+13150=13640.

答：使總運費最少的調(diào)配方案是：7輛大貨車、2輛小貨車前往甲地；3輛大貨車、8輛小貨車前往乙地.最

少運費為13640元.

【變式5-1](2022春?扎魯特旗期末)某農(nóng)機租賃公司共有50臺收割機，其中甲型20臺，乙型30臺，現(xiàn)

將這50臺聯(lián)合收割機派往A,8兩地區(qū)收割水稻，其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往8地區(qū)，兩地區(qū)與

該農(nóng)機公司商定的每天租賃價格如表：

每臺甲型收割機的租金每臺乙型收割機的租金

A地區(qū)1800元1600元

B地區(qū)1600元1200元

(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金為)，元，求)，關(guān)

于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)試問有無可能一天獲得總租金是80050元？若有可能，請寫出相應的調(diào)運方案；若無可能，請說明

理由.

【分析】(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，則派往8地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機為(30-x)臺，

派往4、8地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機分別為(30-%)臺和10)臺，然后根據(jù)價格表列出y與x之間的

函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)將y=8OO5O代入(1)中所得的函數(shù)關(guān)系式求得x的值，然后進行判斷即可.

【解答】解：(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，則派往8地區(qū)乙型聯(lián)合收割機為(30-x)臺，

派往A、8地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機分別為(30-x)臺和(%-10)臺，

Ay=1600x+1200(30-x)+1800(30-%)+1600(%-10)=200x+74000；

(2)當y=80050時,

80050=200.r+74000,解得：x=3().32＞30,不符合題意，

...不可能使一天獲得總租金是80050元.

【變式5-2](2022春?海淀區(qū)校級期末)某市A,8兩個蔬菜基地得知四川C,。兩個災民安置點分別急

需蔬菜240f和260f的消息后，決定調(diào)運蔬菜支援災區(qū)，已知A蔬菜基地有蔬菜200r,B蔬菜基地有蔬菜

300/,現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)運C,。兩個災民安置點從A地運往C,。兩處的費用分別為每噸20元和25

元，從B地運往C,。兩處的費用分別為每噸15元和18元.設(shè)從8地運往C處的蔬菜為x噸.

(1)請?zhí)顚懴卤?，并求兩個蔬菜基地調(diào)運蔬菜的運費相等時X的值：

CD總計〃

A(240-%)(尸40)200

BX(300-X)300

總計〃240260500

(2)設(shè)A,B兩個蔬菜基地的總運費為卬元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運費最小的調(diào)運方

案；

(3)經(jīng)過搶修，從B地到C處的路況得到進一步改善，縮短了運輸時間，運費每噸減少〃[元(根＞0),

其余線路的運費不變，試討論總運費最小的調(diào)動方案.

【分析】(1)根據(jù)題意，用240減x可得需要從4處調(diào)運的數(shù)量；用200減去(240-x)可得從A調(diào)研

往D處的數(shù)量；300減去x即為從B調(diào)運往D處的數(shù)量；

(2)根據(jù)調(diào)運總費用等于四種調(diào)運單價分別乘以對應的噸數(shù)，易得w與x的函數(shù)關(guān)系，列不等式組可解;

(3本題根據(jù)x的取值范圍不同而有不同的解，分情況討論：當0＜?。?時；當〃?=2時；當2＜膽＜15

時.

【解答】解：(1)填表如下：

CD總計〃

A(240-x)(x-40)200

BX(300-x)300

總計〃240260500

依題意得：20(240-%)+25(%-40)=15x+18(300-%)

解得：x=2(M)

兩個蔬菜基地調(diào)運蔬菜的運費相等時x的值為200.

(2)w與x之間的函數(shù)關(guān)系為：w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200

240—x>0

由題意得:x-40>0

x>0

300-x0

.?.40&W240

;在卬=2x+9200中，2>0

隨x的增大而增大

...當x=40時，總運費最小

此時調(diào)運方案為：

CD

A200跖。噸

B4。噸260噸

(3)由題意得卬=(2-m)x+9200

：.0<m<2,(2)中調(diào)運方案總費用最??；

m=2時，在404W240的前提下調(diào)運方案的總費用不變;

2<加<15時，x=240總費用最小，其調(diào)運方案如下：

CD

AQ噸200兩

B240跖6W

【變式5-3](2022春?巴南區(qū)月考)某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農(nóng)用車12輛和6輛，現(xiàn)要調(diào)往A縣

10輛，調(diào)往8縣8輛，已知調(diào)運一輛農(nóng)用車的費用如表：

縣名

費用AB

倉庫

甲4080

乙3050

(1)設(shè)從乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車x輛，求總運費y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)若要求總運費不超過900元.共有哪幾種調(diào)運方案？

(3)求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少元？

【分析】（1）若乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車x輛，那么乙倉庫調(diào)往8縣農(nóng)用車、甲給A縣調(diào)農(nóng)用車、以及

甲縣給8縣調(diào)車數(shù)量都可表示出來，然后依據(jù)各自運費，把總運費表示即可；

（2）若要求總運費不超過900元，則可根據(jù)（1）列不等式求解；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求出最低運費即可.

【解答】解：（1）若乙倉庫調(diào)往A縣農(nóng)用車x輛（xW6）,則乙倉庫調(diào)往8縣農(nóng)用車6-x輛，A縣需

10輛車，故甲給A縣調(diào)農(nóng)用車10-x輛，那么甲倉庫給B縣調(diào)車8-（6-x）=x+2輛，根據(jù)各個調(diào)用

方式的運費可以列出方程如下：y=40（10-x）+80（x+2）+30x+50（6-x）,

化簡得：y=20x+860（0WxW6）；

（2）總運費不超過900,即yW900,代入函數(shù)關(guān)系式得20x+860W900,

解得xW2,所以x=0,1,2,

即如下三種方案：

1、甲往A：10輛；乙往A：0輛甲往8：2輛：乙往8：6輛，

2、甲往4：9；乙往A：1甲往8：3；乙往B：5,

3、甲往4：8；乙往4：2甲往8：4；乙往8：4；

（3）要使得總運費最低，由y=20x+860（O0W6）知，x=0時y值最小為860,

即上面（2）的第一種方案：甲往410輛；乙往40輛；甲往8：2輛；乙往8：6輛，

總運費最少為860元.

【題型6體積問題】

[例6]（2022秋?祁江區(qū)月考）某水池的容積為90,/,水池中已有水IO,小,現(xiàn)按8向h的流量向水池注

水.

（1）寫出水池中水的體積y（m3）與進水時間，⑺