河南圣級名校2024-2025學年高三數(shù)學上學期1月階段性檢測文科試題含解析

河南省頂級名校2024-2025學年高三數(shù)學上學期1月階段性檢測文科試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】先化簡集合A，再依據(jù)補集的定義求解即可．【詳解】解：由解得，，或．故選：D．2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的除法運算即可得解.【詳解】解：因為，所以.

故選：A.3.設：實數(shù)，滿意且．：實數(shù)，滿意，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件、必要條件的定義求解即可．【詳解】解：且，由不等式的性質知，；令，明顯滿意，但，∴．∴是的充分不必要條件．故選：A．4.若實數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2 C.0 D.5【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，依據(jù)的幾何意義求得最小值即可．【詳解】解：作出圖像如下，圖中灰色部分為可行域，點A為與的交點，聯(lián)立，解得，，由知要最小，只要即在軸的截距最大即可，∴當經(jīng)過時取最小值，．故選：C．5.若正項等比數(shù)列的前項和為，，，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列求和公式計算即可．【詳解】解：設公比為，由題意知，，，，化簡得，解得，，．故選：C．6.函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由解除兩個選項，再由時，解除一個選項后可得正確選項．【詳解】∵，所以，故解除C，D，當時，恒成立，解除A，故選：B．7.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知求得角的正切值，再依據(jù)誘導公式化簡求值即可，【詳解】解：∵角的終邊經(jīng)過點，，．故選：B．8.已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量運算平行四邊形法則求出即可．【詳解】解：如圖在矩形中，，在中，，，，．故選：A．9.若，是其次象限的角，則（）A. B. C.2 D.-5【答案】D【解析】【分析】先通過三角恒等變換構造齊次式求出，再估算的范圍，進而求得結論．【詳解】解：，整理得，解得或，∵是其次象限的角，，，，，∴原式．故選：D．10.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則的全部根之和等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)對稱性求和即可．【詳解】解：當時，，∴對稱軸為，為奇函數(shù)，，，關于中心對稱，設為圖像上隨意一點，則在上，，即，對稱軸為．作出圖像如下：由圖像知有4個根，不妨設，由二次函數(shù)的對稱性知，，∴全部根的和為．故選：A．11.若數(shù)列的前項和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項公式為，設數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】依據(jù)題意，求得，進而求得數(shù)列的通項公式為，結合裂項法求得數(shù)列的前和，得出不等式，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當時，；當時，，也滿意，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項公式，前項和公式，求和方法等對于式子化簡變形，留意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要留意這一特別性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要敏捷選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分別參數(shù)，轉化為探討最值問題來解決.12.如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.當點移動至中點時，直線與平面所成角最大且為B.無論點在上怎么移動，都有C.當點移動至中點時，才有與相交于一點，記為點，且D.無論點在上怎么移動，異面直線與所成角可能是【答案】B【解析】【分析】對于A，利用四面體的等體積法求解直線與平面所成角的正弦值，從而推斷正誤；對于B，證明正方體的體對角線平面，依據(jù)平面，即可推斷正誤；對于C，依據(jù)四點共面，利用梯形幾何性質求解，即可推斷正誤；對于D，依據(jù)動點的位置，求解異面直線與所成角的正切值取值范圍來推斷正誤.【詳解】解：對于A，設正方體的棱長為1，如圖，連接在正方體中，面對角線，故四面體為正四面體，所以，，則點到平面的距離為，又為正三角形，則當點為的中點時，線段的長度最短，且為，此時直線與平面所成角的正弦值最大，且為，選項A錯誤；對于B，如圖，連接在正方體中，四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，且平面，所以，同理可得，又平面，所以平面，又平面，所以總有，選項B正確；對于C，如圖，連接，當F為的中點時，，此時四點共面，為梯形的對角線，故其交于一點，且，選項C錯誤；對于D，因為，所以即異面直線與所成的角，該角的正切值為，易知，所以，不在該范圍內，故無論點F在上怎么移動，異面直線與所成的角都不行能是，選項D錯誤.故選：B.二、填空題13.曲線在點處的切線方程是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，進而求得切線方程．【詳解】解：由得，，∴過點的切線方程為，即．故答案為：．14.已知向量，，若，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量共線列式計算即可．詳解】解：，，∵，，解得．故答案為：．15.中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿意，，，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)正弦定理求解即可．【詳解】解：中，由正弦定理得，，．故答案為：．16.已知函數(shù)，，且在上單調遞減，則_________．【答案】【解析】【詳解】對于函數(shù)，，可得函數(shù)關于對稱，所以有，又在上單調遞減，所以有，.三、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調遞減區(qū)間．【答案】（1）（2）最小正周期為；單調遞減區(qū)間是，【解析】【分析】（1）先把函數(shù)化成，再代入求值即可；（2）依據(jù)求得周期，再由的遞減區(qū)間求的遞減區(qū)間即可．【小問1詳解】解：由已知得．；【小問2詳解】解：由（1）知的最小正周期為．由得，．∴的單調遞減區(qū)間是，．18.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理邊化角可求得；（2）依據(jù)三角形面積求得，再結合余弦定理可求得，進而求得周長．【小問1詳解】解：由正弦定理，可得，又，．，即．又，故．【小問2詳解】解：由得，又，即，，則，故的周長為．19.已知數(shù)列的前項和為，，且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）選取數(shù)列的第項構造一個新的數(shù)列，求的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；（2）先求得的通項公式，再結合等比數(shù)列的求和公式求得．【小問1詳解】解：證明：∵，∴由已知得，即．∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】解：由（1）知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，又，首項為，，．．．20.已知函數(shù)，．（1）探討的單調性；（2）若函數(shù)在區(qū)間內無零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，詳細見解析（2）【解析】【分析】（1）求導后依據(jù)的正負狀況分類探討求得單調區(qū)間；（2）當時，遞減，抓住得到在上無零點；當時，依據(jù)的極值點與的大小關系分兩種狀況求實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】解：的定義域為，．①當時，，則在遞增．②當時，由；由．∴的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為．【小問2詳解】解：由已知得，．則．①當時，，則在上單調遞減，由得時，恒成立．∴在內無零點．②當時，令，得．若，即時，則在上遞減，又時，．要使在內無零點，只需，即；若，即時，則在上遞減，在上遞增．∴．令，則，∴在上遞減，．即，∴在上肯定有零點不合題意，舍去．綜上，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題解題的關鍵是在（2）中當時，抓住函數(shù)過定點；當時，要擅長利用極值點與區(qū)間的位置關系分類探討，從而探究不同狀況下函數(shù)的性質，把問題轉化成由求的范圍．21.已知函數(shù)f(x)＝－ax，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線經(jīng)過點(2，－1).（1）求實數(shù)a的值；（2）設b>1，求f(x)在[，b]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）最大值為－1；最小值為－blnb－.【解析】【分析】（1）首先對函數(shù)求導，求得的值，利用兩點斜率坐標公式求得切線斜率，建立等量關系，求得a的值；（2）結合（1）的結論，得到函數(shù)的單調性，應用導數(shù)求得函數(shù)的最值，得到結果.【詳解】（1）由題可得，f(x)的導函數(shù)為，∴，依題意，有，即，解得a＝1.（2）由（1）得，，易知，f′（1）＝0，∴f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減.又∵，∴f(x)的最大值為f（1）＝－1.設，其中b>1，則，∴h(b)在(1，＋∞)上單調遞增.當b→1時，h(b)→0，可得h(b)>0，則，故f(x)的最小值為.【點睛】該題考查的是有關導數(shù)的問題，涉及到的學問點有導數(shù)的幾何意義，應用導數(shù)探討函數(shù)的最值，屬于中檔題目.22.在平面直角坐標系中，曲線：（α為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換得到曲線，在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線的一般方程；（2）設點P是曲線上的動點，求點P到直線l距離d的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把轉化為直角坐標方程，把代入到直角坐標方程中即可（2）設點P的坐標為，把直線l的極坐標方程轉