江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page142024～2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．1.設(shè)集合，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定義進行運算即可【詳解】由交集定義，.故選：B2.下列各對函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.， D.與【答案】D【解析】【分析】推斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)，只須要推斷兩者的定義域與對應(yīng)法則是否相同即可.【詳解】對于A，因為定義域為，的定義域為，故兩函數(shù)不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，所以與不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為的定義域為，的定義域為，故兩函數(shù)不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于D，對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，；即，明顯與是同一函數(shù)，故D正確.故選：D.3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分不必要條件的定義即可推斷.【詳解】因為，，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A4.已知，則取得最大值時的值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，則，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因為，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立．故選：B.【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的“一正、二定、三相等”的條件，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得在R上恒成立，考慮，與兩種狀況，結(jié)合根的判別式進行求解．【詳解】因為函數(shù)定義域為R，所以在R上恒成立，當(dāng)時，滿意要求，當(dāng)時，要滿意，解得：，綜上：故選：B6.定義在上的偶函數(shù)在上的圖象如下圖，下列說法正確的是（）A.僅有一個單調(diào)增區(qū)間 B.有兩個單調(diào)減區(qū)間C.在其定義域內(nèi)的最大值是5 D.在其定義域內(nèi)的最小值是－5【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值狀況即可作出推斷.【詳解】因為是上的偶函數(shù)，所以在上的圖像如下圖所示：由圖可知：在內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間，所以在上有遞增區(qū)間和，遞減區(qū)間，即在上有3個單調(diào)增區(qū)間，A錯誤；,在上有3個單調(diào)減區(qū)間，B錯誤；在處取得最大值5，故在處也取得最大值5，C正確；由圖可知，無法知曉在其定義域內(nèi)的最小值，D錯誤.故選：C7.已知為奇函數(shù)，則等于（）A.－16 B.－14 C.14 D.16【答案】A【解析】【分析】要求的值，須要先求出，利用函數(shù)奇偶性得到即可解決.【詳解】是奇函數(shù)，，又，則.,.故選：A8.定義在上的偶函數(shù)滿意，且對隨意的有，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意與函數(shù)單調(diào)性的定義可的單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)與，可得在定義域上的正負(fù)狀況，列表探討與的正負(fù)狀況即可求得所求.【詳解】因為對隨意的有，所以在上單調(diào)遞增，因為是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的正負(fù)狀況如下：因為，所以由得，即與異號，所以由上表可得.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．9.已知集合，，若，則滿意條件的實數(shù)x可以是（）A.－2 B.0 C.1 D.2【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)包含關(guān)系的定義，列式求，并驗證是否滿意互異性.【詳解】由得，，滿意互異性；由得，，而不滿意互異性，所以舍去；滿意的條件的值有：故選：ABD.10.對隨意實數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.“”是“”的充要條件 B.“”是“”的充分不必要條件C.“”是“”的必要不充分條件 D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)等式或不等式的性質(zhì)結(jié)合，結(jié)合充分必要條件的定義即可求解.【詳解】對于A,依據(jù)等式的性質(zhì)，由可以推出，當(dāng)時，推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故A錯誤;對于B，如，但，所以推不出，如，但，所以推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故B錯誤;因為若則肯定成立，但若則不肯定成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確;由得，，由可推出，不能推出，所以是的充分不必要條件，即”是“”的充分不必要條件，故D正確;故選:CD.11.下列命題中，為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C若，，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐個推斷各個選項即可.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤.對于B，若，則，，即，故B正確.對于C，取，故C錯誤.對于D，若，則=，因為，所以，所以，即，故D正確.故選：BD12.已知且對于一切恒成立，在上的值域為，則（）A. B.C.的最大值為 D.的最小值為4【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)可求解推斷A，依據(jù)自變量即可代入求值推斷B，結(jié)合函數(shù)的圖象即可推斷CD.【詳解】由對于一切恒成立得，代入得，故A錯誤；，所以，故B正確；由奇函數(shù)知，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出圖象，如圖，令，解得或，令時，解得或，由圖象可知，要使值域為，，，故C正確，D錯誤.故選：BC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“”的否定形式是________.【答案】，【解析】【分析】依據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱命題即可得解；【詳解】解：命題“”為全稱量詞命題，其否定為：，；故答案為：，14.若一個奇函數(shù)的定義域為，則的值為______________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可得的值，即可得的值.【詳解】解：若奇函數(shù)的定義域為，則，必有故或；若，則，必有，則，所以；若，則，必有，則，所以；綜上：.故答案為：.15.定義：閉區(qū)間的長度為．則不等式的解集區(qū)間長度為______________；若不等式的解集區(qū)間長度為6，則實數(shù)m的值是______________．【答案】①.6②.【解析】【分析】解一元二次不等式即可求出不等式的解集區(qū)間長度；解肯定值不等式即可求出實數(shù)m的值.【詳解】不等式等價于，解得：，所以不等式的解集區(qū)間長度為：.由不等式可得：，解得：，因為不等式的解集區(qū)間長度為6，所以，解得：.故答案為：；16.若對隨意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)基本不等式可求得的最小值為，則，解不等式即可.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即，解得，故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．17.試比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?）與;（2）當(dāng)時,與4．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)對兩式進行做差化簡推斷與零的大小關(guān)系,即可推斷出大小;(2)對兩式進行做差通分化簡合并推斷與零的大小關(guān)系,即可推斷出大小.【小問1詳解】解:由題知,,故;【小問2詳解】,,,即.18.已知集合，集合（1）當(dāng)時，求；（2）記：，：，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再依據(jù)補集、交集的定義計算可得；（2）依題意可得，即可得到不等式組，解得即可.【小問1詳解】解：由，解得，所以，當(dāng)時，所以或，又，所以；【小問2詳解】解：因為是的必要不充分條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.19.已知集合，（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，則說明集合，然后求解即可；（2）依據(jù)元素的個數(shù)分集合為空集，集合有一個元素，集合有兩個元素探討，最終不同狀況求出的取值取并集即可.【小問1詳解】化簡，得，因為，則，所以有，解得或，，解得或，綜上，.【小問2詳解】化簡，得，因為，則，當(dāng)時，有，解得或；當(dāng)集合只有一個元素時，有，得或，當(dāng)時，集合明顯不滿意，當(dāng)時，集合明顯不滿意；當(dāng)集合有兩個元素時，則，所以，所以有，解得或，，解得或，故；綜上所述20已知函數(shù)，（1）推斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）若集合，對于都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)推斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出集合，依題意都有，參變分別可得，對恒成立，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：在上單調(diào)遞減，證明：設(shè)，則，又由，則，，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：由（1）可得在上單調(diào)遞減，又、，所以，因為都有，即都有，所以，對恒成立，令，，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.21.如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．（1）現(xiàn)有可圍48m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？最大面積為多少？（2）若使每間虎籠面積為36，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。孔钚≈禐槎嗌?？【答案】（1）長為6m,寬為4m時，面積最大值為；（2）長為、寬為時，鋼筋網(wǎng)總長最小為.【解析】【分析】（1）求得每間虎籠面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最大值.（2）求得鋼筋網(wǎng)總長的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求得最小值.【小問1詳解】解：設(shè)長為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則，所以，即，所以，當(dāng)，即時等號成立.所以每間虎籠的長為6m,寬為4m時，面積的最大值為；【小問2詳解】解：設(shè)長為，寬為，都為正數(shù)，每間虎籠面積為，則鋼筋網(wǎng)總長為，所以鋼筋網(wǎng)總長最小為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以當(dāng)每間虎籠的長為、寬為時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最小為.22.已知二次函數(shù)，，對隨意，，且恒成立．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的最小值為5，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)得到，依據(jù)恒成立得到，結(jié)合，求出，，求出二次函數(shù)解析式；（2）結(jié)合第一問，將寫出分段函數(shù)，分，與三種狀況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，最小值為5，列出方程