山西省長治市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月質(zhì)量檢測試題

山西省長治市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月質(zhì)量檢測試題留意事項(xiàng)：1．本試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．3．選擇題運(yùn)用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，填空題和解答題必需用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解【詳解】，，則．故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合，再由交集的定義求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：D3.正方體中，用平行于的截面將正方體截成兩部分，則所截得的兩個(gè)幾何體不行能是（）A.兩個(gè)三棱柱 B.兩個(gè)四棱臺(tái)C.兩個(gè)四棱柱 D.一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正方體的性質(zhì)及棱柱的概念，找出滿意題意的截面即得.【詳解】在正方體中，連接，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，則截面把正方體截成兩個(gè)三棱柱；分別取的中點(diǎn)，連接，則可得，又平面，平面，∴平面，則截面把正方體截成一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱柱；分別在上取點(diǎn)使，同理可得平面，則截面把正方體截成兩個(gè)四棱柱；不存在平行于的截面將正方體截成兩個(gè)四棱臺(tái).故選：B.4.拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】利用拋物線定義即可求解.【詳解】拋物線可化為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,由拋物線定義知：，解得：.故選：B5.若隨機(jī)變量從正態(tài)分布，則，．現(xiàn)有40000人參與語文考試，成果大致聽從正態(tài)分布，則可估計(jì)本次語文成果在116分以上的學(xué)生人數(shù)為（）A.3640 B.1820 C.910 D.455【答案】C【解析】【分析】由于成果大致聽從正態(tài)分布，可知，，由正態(tài)分布的性質(zhì)可求出數(shù)學(xué)成果116分以上的概率，從而可求出答案【詳解】依據(jù)題意可知，，由于，所以.因此本次考試116分以上的學(xué)生約有人.故選：C6.已知函數(shù)（，，），將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A.（） B.（）C.（） D.（）【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的部分圖像，由最值求出A，由周期求出ω，代點(diǎn)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而依據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)增區(qū)間【詳解】，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)．由圖像可知：A=1，，，，，，∴，，即，，∵，∴∴令，，可得，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故選：A7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)可證，又，可得，即可證．【詳解】由令，則，當(dāng)，；當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且則，因此，所以又因?yàn)椋?，得故，?綜上，.故選：D8.定義在上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：由題意可知，為偶函數(shù)，再由時(shí)函數(shù)的解析式，求得在上連續(xù)且單調(diào)遞減，由，得，即，再依據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性，解不等式即可得到所求的最大值.詳解：為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，繪制如圖所示的函數(shù)圖象，由圖可知在上連續(xù)且單調(diào)遞減，，不等式恒成立，等價(jià)于，不等式恒成立，兩邊同時(shí)平方整理得恒成立令，則有，函數(shù)最大值恒成立（1）當(dāng)時(shí)，，即恒成立，（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即，解得，所以的取值范圍為（3）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即，解得，所以，不存在滿意條件的值.綜上使，不等式恒成立的的取值范圍所以最大值為故選C為點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題的解法，運(yùn)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力，有肯定難度.已知函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，解形如的不等式的解法如下：奇偶性單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式奇函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增區(qū)間上單調(diào)遞減偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上左減右增對(duì)稱區(qū)間上左增右減簡言之一句話，將函數(shù)值不等式問題轉(zhuǎn)化為自變量不等式問題，二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.以石墨烯電池、量子計(jì)算、AI等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢，正在或?qū)⒅厮苁澜绻I(yè)的發(fā)展模式，對(duì)人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大，我國某公司為了搶抓機(jī)遇，成立了A、B、C三個(gè)科研小組針對(duì)某技術(shù)難題同時(shí)進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克技術(shù)難題的小組會(huì)受到嘉獎(jiǎng)．已知A、B、C三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為，，，且三個(gè)小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān)．下列說法正確的（）A.三個(gè)小組都受到嘉獎(jiǎng)的概率是 B.只有A小組受到嘉獎(jiǎng)的概率是C.只有C小組受到嘉獎(jiǎng)的概率是 D.受到嘉獎(jiǎng)的小組數(shù)的期望值是【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率計(jì)算后推斷選項(xiàng)ABC，求出受到嘉獎(jiǎng)的小組數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，計(jì)算出期望值后推斷D．【詳解】設(shè)三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題分別為事務(wù)，即，相互獨(dú)立，，A正確；，B錯(cuò)；只有丙小組受到嘉獎(jiǎng)的概率是，C錯(cuò)；設(shè)受到嘉獎(jiǎng)的小組數(shù)為，則的值為，，，，．所以．D正確．故選：AD．10.已知函數(shù)（）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.B.C.若不等式的解集為，則D.若不等式的解集為，且，則【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)的定義和二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解的條件可得，的關(guān)系式，由二次函數(shù)的最值求法，可推斷A；由基本不等式可推斷B；由二次方程的韋達(dá)定理可推斷C，D．【詳解】依據(jù)題意，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，必有，即，，，時(shí)，等號(hào)成立，即有，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故B正確；由，為方程的兩根，可得，故C錯(cuò)誤；由，為方程的兩根，可得，，則，解得，故D正確．故選：ABD．11.給出下列四個(gè)命題：①“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為真命題；②“平面對(duì)量的夾角是鈍角”的充分不必要條件是③若命題，則；④命題“，使得”的否定是：“均有”.其中不正確的個(gè)數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】舉反例可推斷①，②；結(jié)合命題及其否定的真假關(guān)系，可推斷③；依據(jù)存在命題的否定形式，可推斷④【詳解】對(duì)于命題①，令，由于使得，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故命題不正確；對(duì)于命題②，由于取，雖有，但成平角，故不充分，則命題②不正確；對(duì)于命題③，由于，而，所以其否定不正確，故命題③也不正確；對(duì)于命題④，依據(jù)存在命題的否定形式，可知命題④正確.故不正確的有3個(gè)故選：C12.對(duì)于函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.函數(shù)有極值的充要條件是C.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則D.若，則過點(diǎn)做曲線的切線有且僅有2條【答案】ABC【解析】【分析】由三次函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)選項(xiàng)逐一推斷【詳解】由題意得，則，，對(duì)于A，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故A正確，對(duì)于B，若有極值，則，得，故B正確，對(duì)于C，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，，，而，故，故C正確，對(duì)于D，，則，，設(shè)過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，則，整理得，令，，令，得或，令，得，故有極大值，微小值，由三次函數(shù)性質(zhì)得有三個(gè)解，且，則過點(diǎn)做曲線的切線有3條，故D錯(cuò)誤，故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】【解析】【分析】求出綻開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，再由多項(xiàng)式乘法法則可得．【詳解】綻開式通項(xiàng)公式為，，，，，所以所求常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：．14.已知實(shí)數(shù)，，滿意，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】由條件原式可轉(zhuǎn)化為，換元后可得，，利用二次函數(shù)求解.詳解】由可得，故，所以，令，則，則，，對(duì)稱軸方程為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故答案為：.15.已知，若，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】由已知分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及，可計(jì)算，進(jìn)而分別構(gòu)造，，再由雙勾函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】解：已知分段函數(shù)在兩端區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)，若，則必定分屬兩段內(nèi)，不妨設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，令，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)不符合題意），當(dāng)時(shí)，令，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，此時(shí).故的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查在分段函數(shù)的圖象下由函數(shù)值相等轉(zhuǎn)化自變量關(guān)系，還考查了構(gòu)造函數(shù)求最值，屬于難題.16.在矩形中，，，矩形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），滿意，若，當(dāng)取得最大值時(shí)，__________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，依據(jù)已知可用x，y表示，利用不等式求最大值，依據(jù)取得最大值時(shí)的條件可得x，y的值，然后可解.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則因?yàn)?，所以，即又，所以，得所以因?yàn)?，即所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，所以故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角A，，C所對(duì)的邊，，．（1）求A；（2）若，的面積為，求，．【答案】（1）（2），或，．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后整理化簡可解；（2）依據(jù)面積公式和余弦定理列方程組求解可得.【小問1詳解】由及正弦定理得∵,，∴，即∵，∴，∴，．【小問2詳解】由題得，，①由余弦定理得，，②由①②得，或，即或．∴，或，．18.已知數(shù)列前項(xiàng)和滿意（），且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意（），且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，依據(jù)公式，可得答案；（2）由題意，依據(jù)累加法，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和，可得答案.【小問1詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴，得或．∵，∴．當(dāng)時(shí)，，，∴，即，∴，∵，∴，∴．【小問2詳解】（），∴……將以上各式相加得：．則，又也滿意，∴，．∴，∴．19.在矩形中（圖1），，，為邊上的中點(diǎn)，將沿折起，使得平面平面，連接，形成四棱錐．（1）求證：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，然后可證；（2）聯(lián)立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可解.【小問1詳解】在矩形中，，，所以，故．因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．【小?詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．因?yàn)?，則，，．設(shè)平面的法向量為，則有，取得，平面為坐標(biāo)平面，故可取法向量為，記平面與平面夾角為，則，由圖可知，平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為．20.已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)．但依據(jù)得分規(guī)則：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng)．（1）假如小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確答案，就作隨機(jī)揣測．已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)揣測的概率都是，在他做完單項(xiàng)選擇題后，從卷面上看，在題答對(duì)的狀況下，求他知道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率．（2）假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題閱歷，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好依據(jù)自己的閱歷隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求：（i）；（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】（1）先通過全概率公式求出題目答對(duì)了的概率，再通過條件概率計(jì)算答對(duì)的狀況下，知道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率即可；（2）依次計(jì)算的概率，列出分布列計(jì)算期望即可.【小問1詳解】記事務(wù)A為“題目答對(duì)了”，事務(wù)B為“知道正確答案”，則由全概率公式：，所求概率為.【小問2詳解】設(shè)事務(wù)表示小明選擇了個(gè)選項(xiàng)，，表示選到的選項(xiàng)都是正確的.則，，.（i）；（ii）隨機(jī)變量的分布列為025.21.已知點(diǎn)在橢圓：（）上，且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿意直線與斜率之積為．試推斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由．【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為，，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、、，即可得橢圓的方程；（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，依據(jù)韋達(dá)定理、斜率公式及直線與斜率之積為，可得，解得或，將以上結(jié)論代入直線方程即可得結(jié)果.【小問1詳解】點(diǎn)，在橢圓：（）上代入得：，點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為，則，解得，，故橢圓的方程為．【小問2詳解】由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為（），，，．聯(lián)立得．．∴，，∵直線與直線斜率之積為．∴，∴．化簡得，∴，化簡得，解得或．當(dāng)時(shí)，直線方程為，過定點(diǎn)．代入判別式大于零中，解得（）．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，不符合題意．綜上所述：直線過定點(diǎn)．22.設(shè)函數(shù)，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若不等式在時(shí)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后分與兩種狀況探討即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值，證明當(dāng)時(shí)，即可；（3）結(jié)合（1）（2）探討的正負(fù)推斷，同時(shí)結(jié)合與1的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)放縮推斷