工程力學(xué)習(xí)題答案豆照良等編

第1章靜力學(xué)基礎(chǔ)

思索題

1-1說明下面兩個(gè)式子的意義。

(1)FI=F2(2)F1=F2

解：

(1)式中尸表示力矢量；因此片=用表示力片和用的大

小相等，方向相同。

(2)式中少表示力的大小；因此尸i=用表示力用和用的

大小相等。

1-2能否說合力肯定比分力大，為什么？

解：

不肯定。

例如，大小相等、方向相反，且作用在同始終線上的兩個(gè)力

的合力為零。

1-3二力平衡原理與作用和反作用定律有何異同?

解:

二力平衡原理是指：作用在剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平

衡的充要條件是：這兩個(gè)力的大小相等，方向相反，且作用在

同始終線上。

作用和反作用定律是指：任何兩個(gè)物體間的作用，總是大小

相等、方向相反、沿同一作用線分別作用在兩個(gè)物體上。

可以看出，二力平衡原理描述的是，兩個(gè)不同的力作用在同

一個(gè)物體上的狀況；作用和反作用定律描述的是兩個(gè)不同物體

之間相互作用的狀況。但它們有一個(gè)相同點(diǎn)，即上述兩種狀況

下的一對(duì)力均滿意大小相等、方向相反。

1-4約束反力的方向和主動(dòng)力的方向有無關(guān)系？

解：

約束反力的方向總是與約束限制物體位移的方向相反。

對(duì)于有些約束類型，如具有光滑接觸表面的約束，其約束反

力必定作用在接觸點(diǎn)處，作用線沿著接觸面的公法線方向，且

指向被約束物體。又如繩索類柔性約束，其約束反力只能是沿

柔性體的軸線而背離被約束物體的拉力。

而對(duì)于圓柱較鏈約束等，其約束反力的作用點(diǎn)位置（即接觸

點(diǎn)位置）、方向和大小由構(gòu)件所受主動(dòng)力確定。因此，約束反力

的方向是否和主動(dòng)力的方向有關(guān)，取決于約束類型。

1-5什么叫二力構(gòu)件？分析二力構(gòu)件受力時(shí)與構(gòu)件的形態(tài)

有無關(guān)系？

解：

所謂二力構(gòu)件，是指只有兩點(diǎn)受力而處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件，

如下圖所示。

二力構(gòu)件受力時(shí)，二力大小相等、方向相反，且都沿兩作用

點(diǎn)的連線方向；與構(gòu)件的形態(tài)無關(guān)。

1-6圖1-18所示物體的受力圖是否正確？如有錯(cuò)誤如何

改正?

c.Fc

"加/YP

(a)(b)

圖1-18

解:

圖1-18(b)所示受力圖錯(cuò)誤，正確的受力圖所圖1-18(c)

所示。

1-18(c)

練習(xí)題

題1-1畫出圖1-19中各物體的受力圖。假定全部接觸均

為光滑接觸，且除有特別說明外物體的重力忽視不計(jì)。

(h)

圖1-19

e)

(f)

題1-2改正圖1-2。各受力圖中的錯(cuò)誤。

(c)

圖1-20

解:

(b)

(c)

第2章平面基本力系

思索題

2-1已知尸1、月、氏、居的作用線匯交于一點(diǎn)，其力多邊

形如圖2-15所示，試問這兩種力多邊形的意義有何不同?

4

(a)(b)

圖2-15

解：

圖2-15(a)中，力多邊形自行閉合，合力為零。

圖2-15(b)所示的力多邊形中，尸一殳月的合力居；

因此該力多邊形中，尸1、且、月、房的合力為2居。

2-2用解析法求平面匯交力系的合力時(shí)，若取不同的直角

坐標(biāo)軸，所求得的合力是否相同？

解：

用解析法求平面匯交力系的合力時(shí)，選取不同的直角坐標(biāo)

軸，只會(huì)影響各力在兩坐標(biāo)軸上的投影，不會(huì)影響最終計(jì)算結(jié)

果，即所求得的合力是相同的。

2-3力的分力與投影這兩個(gè)概念之間有什么區(qū)分和聯(lián)系？

試結(jié)合圖2-16說明之。

圖2-16

解:

分力仍舊是一個(gè)力，是矢量；力在某軸上的投影是標(biāo)量。如

圖2-16(a)所示，力尸沿x、y軸的分力分別為

、V31

,=可尼耳=56

力尸在X、y軸上的投影分別為

=-

2'2

圖2-16(b)中，力尸沿x、y軸的分力分別為

工=Fi,Fy=Fj

力尸在x、y軸上的投影分別為

F、=gF,F,=；F

因此，力在兩正交軸上的分力的大小，分別等于力在對(duì)應(yīng)軸

上的投影。

2-4比較力矩和力偶矩的異同。

解：

力矩是力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，其大小與矩心位置有

關(guān)；而力偶矩是力偶使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，其大小與矩

心位置無關(guān)。

力矩和力偶矩都是代數(shù)量，其符號(hào)“土”表示轉(zhuǎn)向，力(或

力偶)使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)；力矩

和力偶矩的單位都是N?m或KN?m0

練習(xí)題

題2-1如圖2-17(a)所示，等邊三角形的邊長為1,現(xiàn)

在其三頂點(diǎn)沿三邊作用大小相等的三個(gè)力F,試求此力系向B

點(diǎn)簡化的結(jié)果。

(a)(b)

圖2-17

(1)建立直角坐標(biāo)系的

(2)分別求出，、B、。各點(diǎn)處受力在x、y軸上的分力

—F

2-2

(3)求出各分力在B點(diǎn)處的合力和合力偶

E%=工,+尸&+耳,=—g尸+尸—g尸=0

工4=以，+與產(chǎn)"，=一￥/+曰尸=°

IX=7?/=?/

因此，該力系的簡化結(jié)果為一個(gè)力偶矩知=百&/2,逆時(shí)針

方向。

題2-2如圖2-18(a)所示，在鋼架的B點(diǎn)作用有水平力

F,鋼架重力忽視不計(jì)。試求支座4。的約束反力。

(a)(b)

圖2-18

解：

(1)以鋼架為探討對(duì)象。

(2)分析鋼架受力狀況。鋼架受到力尸以與約束反力F.、

%和片的作用而處于平衡狀態(tài)。由力偶系平衡條件知，約束

反力取與力尸構(gòu)成一個(gè)力偶，F(xiàn)FF,且由此可以確定的方向

人為水平向左；約束反力%與凡構(gòu)成一個(gè)力偶，F(xiàn)A”D,

假設(shè)方向如圖2-18(b)所示。上述2個(gè)力偶應(yīng)滿意力偶系平

衡條件。

(3)依據(jù)力偶系平衡條件列出方程，并求解未知量

=0,-aF+2aFD=0

可解得死尸尸「=物。求得結(jié)果為正，說明％和片的方向與

假設(shè)方向相同。

題2-3如圖2-19(a)所示，水平梁上作用有兩個(gè)力偶，

M=60kN?m,跖=40kN?m,已知A5=3.5m,試求4、B

兩處支座的約束反力。

1%

A_________________________B___________________

A蕊

.3.5m

(a)

產(chǎn)%

AB

F.--P_

(b)

圖2-19

解：

(1)以梁48為探討對(duì)象。

(2)分析梁受力狀況。梁ZB受到兩個(gè)力偶M和好,

以與兩個(gè)約束反力居和外的作用而處于平衡狀態(tài)。由力偶系平

衡條件知，支座4和石對(duì)梁AB的約束反力用和外應(yīng)構(gòu)成一

個(gè)力偶，且與原合力偶平衡，又因?yàn)楣姆轿淮怪庇跐L動(dòng)支座

支承面，指向假設(shè)如圖2-15(b)所示，從而可以確定熊的方

向。即有？!=&,且滿意力偶系平衡條件。

(3)依據(jù)力偶系平衡條件列出方程，并求解未知量

陷+M-兀工=0

將題中條件代入后，可解得

心=七=_10kN

求得結(jié)果為負(fù)，說明用和居的方向與假設(shè)方向相反。

題2-4如圖2-20(a)所示，已知M=2Fly其余尺寸如圖,

試求4B兩處支座的約束反力。

圖2-20

解：

(1)以圖示支架5C5為探討對(duì)象。

(2)分析支架受力狀況。支架受到力F、力偶M,以與3

個(gè)約束反力以、％和分的作用而處于平衡狀態(tài)。由力偶系平

衡條件可知,尸與以應(yīng)構(gòu)成一個(gè)力偶跖，%的方向水平向右;

%和外應(yīng)構(gòu)成另一個(gè)力偶監(jiān)，假設(shè)%和外的方向如下圖

2-20(b)所示。上述力偶系應(yīng)滿意力偶系平衡條件。

(3)依據(jù)力偶系平衡條件列出方程，并求解未知量

F「F

pi

2〃=0,彳-M+%=0

可解得

3

FB=AF

3

FA，=FB=%F

2

結(jié)果為正,說明灰和居的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，如圖2-20

(b)所示。

第3章平面隨意力系

思索題

3-1什么叫力系的主矢？它與合力有什么區(qū)分和聯(lián)系？

它與簡化中心的位置有沒有關(guān)系？

解：

平面隨意力系中全部各力的矢量和，稱為該力系的主矢；主

矢與簡化中心的位置無關(guān)。

平面隨意力系的合成結(jié)果為一個(gè)主矢和一個(gè)主矩；當(dāng)主矩為

零時(shí)，平面隨意力系的主矢就是合力。

3-2什么叫力系的主矩？它是否就是力偶系的合力偶

矩？它與簡化中心的位置有沒有關(guān)系？

解：

平面隨意力系中全部各力對(duì)任選簡化中心之矩的代數(shù)和，

稱為該力系的主矩。主矩一般與簡化中心有關(guān)。

合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。在平面力偶系中，各分

力偶的合力偶矩等于該力系的主矩。

3-3已知一平面隨意力系可以簡化為一個(gè)合力，問能否通

過選擇適當(dāng)?shù)暮喕行?，把力系簡化為一個(gè)合力偶？反之，假

如已知力系可以簡化為一個(gè)合力偶，問能否通過選擇適當(dāng)?shù)暮?/p>

化中心，把力系簡化為一個(gè)合力？為什么？

解：

當(dāng)平面隨意力系的簡化結(jié)果為一個(gè)合力時(shí)，無法進(jìn)一步把力

系簡化為一個(gè)合力偶；反之亦然。因?yàn)?，合力和合力偶都是?/p>

面隨意力系簡化的最簡結(jié)果。

3-4什么叫靜不定問題？如何推斷問題是靜定還是靜不

定？如圖3-8所示（a）、（b）、（c）三圖中哪些是靜定問題？哪

些是靜不定問題？

圖3-8

解:

當(dāng)整個(gè)物體系平衡時(shí)，物體系內(nèi)各個(gè)剛體也處于平衡狀態(tài)。

因此對(duì)每個(gè)受平面隨意力系作用的剛體，都可以列出3個(gè)獨(dú)立

的平衡方程。那么對(duì)由n個(gè)剛體組成的物體系來說，獨(dú)立平衡

方程的數(shù)目為32假如物體系中未知量的總數(shù)等于或小于獨(dú)立

平衡方程的數(shù)目時(shí)，則全部的未知量都可以由平衡方程求出，

這樣的問題稱為靜定問題。假如物體系中未知量的總數(shù)大于獨(dú)

立平衡方程的數(shù)目時(shí)，則未知量不能全部由平衡方程求出，而

只能求出其中的一部分未知量，這樣的問題稱為靜不定問題。

圖3-8(a)中剛體的數(shù)目為1個(gè)，可列出3個(gè)獨(dú)立的平衡

方程，而4、B點(diǎn)處共有4個(gè)約束反力，無法完全求解，屬于

靜不定問題。

圖3-8(b)中剛體的數(shù)目為2個(gè)，可列出6個(gè)獨(dú)立的平衡

方程，而4、石與中間較接點(diǎn)處共有6個(gè)約束反力，可以完全

求解，屬于靜定問題。

圖3-8(a)中剛體的數(shù)目為2個(gè)，可列出6個(gè)獨(dú)立的平衡

方程，而力、石點(diǎn)處共有7個(gè)約束反力，無法完全求解，屬于

靜不定問題。

練習(xí)題

題3-1如圖3-9所示，半徑為r的圓盤上，以。為中心，

邊長為r的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上分別作用著力耳、涇、豆、居。

已知四=用=用=居=凡該力系對(duì)。點(diǎn)的主矩為此=2「凡問該

力系對(duì)?！c(diǎn)的主矩M。,為何值？此與間有何關(guān)系？為

什么是這種關(guān)系？

圖3-9

解：

該力系的主矢為

產(chǎn)二=6+6+8+總=0

因?yàn)橹魇笧榱?，力系簡化為一個(gè)合力偶。這種狀況下，力系

的主矩與簡化中心的位置無關(guān)，因此

Ma=Mo=2rF

題3-2如圖3-10(a)所示，已知?jiǎng)?、員、用分別作用

在點(diǎn)C、O、B點(diǎn)上，O4BC是一個(gè)正方形，邊長為a(單位為

mm),Fi=2kN,用=4kN,7^=1OkN,方向如圖所示。求力系

的最終簡化結(jié)果。

圖3-10

解:

(1)建立直角坐標(biāo)系如圖3-10(b)所示

(2)將題述力系向。點(diǎn)簡化

3

F'Ry=Z%=g^—M=4kN

心〃（小+小—瓜刈tang=魯=1=>8=45。

上Rx

Mo=耳a-g"+瑪v。=4〃kN?mm

由于該力系的主矢、主矩都不等于零，即力系簡化的結(jié)果為

一個(gè)力和一個(gè)力偶，依據(jù)力的平行定理的逆定理可知，主矢和

主矩可合成為一個(gè)合力。該合力外矢量等于主矢FK作用線

在。點(diǎn)右下方過。點(diǎn)的直線，且簡化中心到合力作用線的距離

為

M。_母

d-——ci

時(shí)2

題3-3如圖3-11（a）所示，平面隨意力系中四=4。/N,

用=80N,凡=40N,屬=110N,於2000N?mm,各力作用

線位置如圖所示（圖中單位為mm）。求力系向。點(diǎn)簡化的結(jié)果。

y

(彳。)

w-b—(20,-30)

(a)

圖3-11

解：

(1)力系向。點(diǎn)簡化的主矢

Gv=ZFv=#6一6=°

『初j+(%)2=150N

主矢反方向沿x軸負(fù)方向。

(2)力系向。點(diǎn)簡化的主矩

=306+50居—30居一M=—900N?mm，順時(shí)針方向

力系向。點(diǎn)簡化的結(jié)果如圖3-11(b)所示。

題3-4無重水平梁的支承和載荷如圖3-12(a)所示，已

知力R力偶矩”和強(qiáng)度為q的勻稱載荷。求支座Z和B處的

約束反力。

.0—M

尸B

曷」具

(a)(b)

圖3-12

解：

(1)以梁為探討對(duì)象，受力狀況如圖3-12(b)所示

(2)建立直角坐標(biāo)系，列出平面隨意力系的平衡方程，并

求解未知量

%=0,加=0

YFy=Q,-FAy+FH-F=O

YMA(F)=O,-M+FB.2a-F,3a=0

可解得

心=0

FAy=^(aF+M)

2a

FB=^-(,3aF+M)

題3-5如圖3-13(a)所示，起重機(jī)重尸i=10kN,可繞鉛

直軸力B轉(zhuǎn)動(dòng)，起重機(jī)的吊鉤上掛一重為g=40kN的重物，起

重機(jī)的重心。到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為1.5m,其他尺寸如圖所示。

試求在止推軸承Z和軸承B處的約束反力。

圖3-13

解:

(1)以起重機(jī)為探討對(duì)象，受力狀況如圖3-13(b)所示

(2)建立直角坐標(biāo)系，列出平面隨意力系的平衡方程，并

求解未知量

E工=0,七+外=0

XK=03,T—6=O

工必①)=0,-%5m-6?1.5m-g?3.5m=0

可解得

鼠=3IkN,FAV=50kN,FB=-3IkN

/為負(fù)，說明假設(shè)方向與實(shí)際方向相反，即應(yīng)水平向左。

第4章摩擦

思索題

4-1什么是靜滑動(dòng)摩擦力？其方向和大小是如何確定的？

有人說摩擦力的方向恒久與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反，對(duì)嗎？試舉

例說明。

解：

兩個(gè)表面粗糙且相互接觸的物體之間，有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢

時(shí)，在接觸面上產(chǎn)生與相對(duì)滑動(dòng)趨勢相反的阻力，這種阻力稱

為靜摩擦阻力。摩擦力的方向與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨

勢方向相反，而不是與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反。

下圖所示為一個(gè)傳送機(jī)構(gòu)，在圖（a）所示上料過程中，物

塊的運(yùn)動(dòng)方向與靜摩擦力的方向均向上，二者方向相同；而在

圖（b）所示的下料過程中，物塊的運(yùn)動(dòng)方向沿傳送帶向下，靜

摩擦力方向沿傳送帶向上，二者方向相反。因此，靜摩擦力的

4-2什么是最大靜滑動(dòng)摩擦力？它與靜滑動(dòng)摩擦力有什么

區(qū)分和聯(lián)系？

解：

最大靜滑動(dòng)摩擦力是靜滑動(dòng)摩擦力的一個(gè)臨界值。超越該

臨界值后，物體將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)靜滑動(dòng)摩擦力就被動(dòng)滑

動(dòng)摩擦力所取代。

4-3如圖4-6所示，已知尸=100N,4500N,摩擦系數(shù)

4=0.3,求此時(shí)物體所受的摩擦力。

圖4-6

解：

由題意，可首先計(jì)算出墻面能夠供應(yīng)應(yīng)物塊的最大靜摩擦

力，

耳ax=￡&=03x500N=150N

由于

PulOONvR=150N

因此，物體將處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)物體所受的摩擦力為鉛直

向上的靜摩擦力，且有

月=p=100N

4-4如圖4-7所示，重為尸的物體置于斜面上，已知摩擦

系數(shù)為4,且有tana<4,問此物體能否下滑？假如增加物體

的重量或在物體上再加一重量為尸1的物體，問能否達(dá)到下滑的

目的？為什么？

(a)(b)

圖4-7

解：

如圖4-7所示，假設(shè)物體不下滑，則物體受到沿斜面對(duì)上的

靜摩擦力工，由靜力平衡方程可知，

Fs=Psina

而斜面能夠供應(yīng)應(yīng)物體的最大靜摩擦力K1ax的大小為

(ax=時(shí)§=Pcosa-fs>Pcosa?tana=Psina

由于斜面能夠供應(yīng)應(yīng)物體的最大靜摩擦力大于維持物體不

下滑所須要的摩擦力，因此物體不下滑。

同理可證，增加物體的重量或在物體上再加一重量為尸】的

物體，不能達(dá)到下滑的目的。

4-5何謂自鎖現(xiàn)象？試舉例說明。

解：

定義全約束反力與接觸線法線的夾角為cp,其達(dá)到最大值

Of,稱為摩擦角。假如作用在物體上的全部主動(dòng)力的合力的作

用線在摩擦角0f之內(nèi)，則無論這個(gè)力多么大，物體必定保持平

衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。其中，（Pf=arctan4o

在工程中，自鎖現(xiàn)象有廣泛的應(yīng)用。例如，機(jī)床夾具、固

定或鎖緊螺絲、壓榨機(jī)、千斤頂?shù)鹊?，自鎖現(xiàn)象可以使它們始

終保持在平衡狀態(tài)下工作。

4-6如圖4-8所示，重為尸的物體置于水平面上，力尸作

用在摩擦角之外，已知8=25°,摩擦角0=20°,F=P。問

物體能否被推動(dòng)？為什么?

圖4-8

解：

若要推動(dòng)物體，力尸在水平方向上的分力工必需克服地面供

應(yīng)應(yīng)物體的最大靜摩擦力Fmaxo

而本題中

工=/sin8=Rsin25°=0.4226F

=Ay；=(Feos25°+P).tan20°

由于F=P

耳11ax=F(cos25°+l).tan20°=0.6939/

因此小居皿，無法推動(dòng)物體。

練習(xí)題

題4-1如圖4-9所示，已知物體重科100N,與水平面

的靜摩擦系數(shù)為4=0.3,動(dòng)摩擦系數(shù)為u=0.28。試問下列三

種狀況下，物體受到的摩擦力分別為多少？

(1)P=10N

(2)P=30N

(3)尸=50N

圖4-9

解：

首先計(jì)算物體受到的最大靜摩擦力

耳皿=/N=￡W=0.3?100N=30N

(1)Q10N＜居1ax,物體靜止，￡=Q10N;

(2)P=30N=Fmax,物體處于臨界狀態(tài)，然=居1ax=30N;

3)P=50N>Fmax物體運(yùn)動(dòng)

耳1ax=〃N==0.28.100N=28N

題4-2推斷圖4-10中的物體能否靜止？并求這兩個(gè)物體

所受摩擦力的大小和方向。已知

(1)圖(a)中，物體重仍1000N,拉力R200N,

4=0.3,〃=0.28;

(2)圖(b)中，物體重仍200N,壓力Q500N,￡=0.3,

/j=0.28。

圖4-10

解：

(1)圖4-1。(a)中，

111ax=f、N=￡W=0.3.1000N=300N

Q200N</ax,物體靜止，&=Q200N;靜摩擦力方向水

平向左。

(2)圖4-1。(b)中，

%*="=83.500N=150N

仍2001^>居皿，物體運(yùn)動(dòng)，

5=〃V="=0.28x500N=140N,動(dòng)摩擦力方向鉛直向上。

題4-3如圖4-11(a)所示，物塊與傳送帶之間的靜摩擦

系數(shù)￡=0.5。試問傳送帶的最大傾角6為多大？

(a)(b)

圖4-11

解：

以物體為探討對(duì)象，受力狀況如圖4-11(b)所示，由平面

匯交力系的平衡方程，可知

Fs=PsinO

N=PcosO

由臨界狀態(tài)下的補(bǔ)充方程，可知

FxNfs

從而

4axPsin。

￡==tan8=＞。=arctan￡=arctan0.5=26.565°

N尸cos。

題4-4如圖4-12(a)所示，圓柱重仍500N,直徑

d=24cm,圓柱與V型槽間的摩擦系數(shù)￡=0.2。試求轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱

的最小力偶矩。

(a)

圖4-12

解:

(1)以圓柱為探討對(duì)象，并考慮臨界狀態(tài)，受力狀況如圖

4-12(b)所示

(2)建立圖示直角坐標(biāo)系，列出平面隨意力系的平衡方程,

與臨界狀態(tài)下的補(bǔ)充方程

Z工=0,耳+品2-WCOS45O=0

ZK.=0,-6+%-心皿45。=0

工用。(尸)=0,6廠+6「一V=0

￡=人

巴=典2

可解得

FN.=-^4WCOS45°=408N

FN,=-5—4WCOS45°=272N

1+/2

M=(6+K)r=f(FNl+=1632N?m

題4-5如圖4-13(a)所示，兩根相同的均質(zhì)桿4s和

BC,在端點(diǎn)B用光滑較鏈連接，4。端放在不光滑的水平面

上，當(dāng)成等邊三角形時(shí)，系統(tǒng)在鉛直面內(nèi)處于臨界平衡狀

態(tài)。求桿端與水平面間的摩擦系數(shù)。

B

(b)(c)

圖4-13

解:

(1)先以ZB、8。桿整體為探討對(duì)象，設(shè)桿重均為尸，桿

長均為4受力圖如圖4-13(b)所示。由對(duì)稱性原理與平面隨

意力系的平衡條件可知,

NA=NC=P

FA=FC

(2)以4s為探討對(duì)象，受力圖如圖4-13(c)所示。由

平面隨意力系的平衡條件，對(duì)于B點(diǎn)，有

￡MB(F)=0,FA?與I+P；-N0

將用=多代入上式，可解得

f=4

6

第5章空間力系

思索題

5-1用矢量積尸計(jì)算力少對(duì)。點(diǎn)之矩，當(dāng)力沿其作用

線移動(dòng)，變更了力作用點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z,其計(jì)算結(jié)果是否變更？

解：

如下圖所示，力尸的作用線沿工石，。點(diǎn)為矩心，則力對(duì)該

點(diǎn)之矩，稱為力矩矢，用(乃表示。力矩矢皿(為的模

(即大小)等于力尸與力臂d的乘積，方位垂直于力尸與矩心

。所確定的平面，指向可用右手法則來確定。即有

M(尸)|=匕＞川=&=24.

當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，△的面積A.保持不變，力

矩矢的大小和方位保持不變，因此計(jì)算結(jié)果沒有變更。

5-2力對(duì)軸之矩的意義是什么？如何計(jì)算？如何確定其正

負(fù)號(hào)？哪些狀況下力對(duì)軸之矩等于零？

解：

力對(duì)軸之矩用于度量力對(duì)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。假如將力

尸對(duì)z軸之矩用此(乃表示，則有

M:(F)=Mo(F)=±F.d

其中，正負(fù)號(hào)用于表示轉(zhuǎn)向。從z軸的正向看去，若力使物

體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。或用右手螺旋法則來

確定：即以右手四指表示力使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，若拇指的

指向與Z軸的正向相同，取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)。

當(dāng)力與轉(zhuǎn)軸平行時(shí)，此力在垂直于該軸平面上的分力為

零，此時(shí)力對(duì)該軸之矩為零。此外，當(dāng)力與轉(zhuǎn)軸相交時(shí)，力對(duì)

該軸之矩也為零。

5-3試依據(jù)空間隨意力系的平衡方程，推導(dǎo)出各種特別力

系的平衡方程。

解：

空間隨意力系簡化的結(jié)果是一個(gè)主失和一個(gè)主矩，因此空

間力系平衡的充要條件為：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和

分別等于零，且各力對(duì)此三軸之矩的代數(shù)和分別等于零。即

ZG=O，ZG=O，ZK=。[

Z”X（F）=O，Z%（F）=QZM（F）=°

依據(jù)空間隨意力系的平衡方程，可以推導(dǎo)出前面幾章中的

各種特別力系的平衡方程。

例如，對(duì)于平面匯交力系，由于各力在Z軸上的投影都等于

零，故有￡戶=0;而各力對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸之矩也都等于零，故有

￡皈⑸=0、2監(jiān)（刃=0、￡此（乃=0。因此，平面匯交力系的

平衡方程可以簡化為

5-4對(duì)隨意物體，假如它具有對(duì)稱面，則該物體的重心是

否肯定在對(duì)稱面上？為什么？

解：

對(duì)于均質(zhì)物體來說，假如它具有對(duì)稱面，則該物體的重心肯

定在對(duì)稱面上。而對(duì)于非均質(zhì)物體，則不肯定。

5-5均質(zhì)等截面直桿的重心在哪里？若把它彎成半圓形，

重心位置如何變更？

解：

均質(zhì)等截面直桿的重心位于桿的中心處。若把它彎成半圓

形，重心位置變?yōu)橥鯊V2/7萬，如下圖所示。

5-6計(jì)算同一物體的重心，如選兩個(gè)不同的坐標(biāo)系，則對(duì)

于這兩個(gè)坐標(biāo)系計(jì)算出來的重心坐標(biāo)是否相同？假如不相同,

這是否意味著物體的重心相對(duì)位置隨坐標(biāo)系的選擇不同而變更

呢？

解：

計(jì)算同一物體的重心，如選兩個(gè)不同的坐標(biāo)系，則對(duì)于這兩

個(gè)坐標(biāo)系計(jì)算出來的重心坐標(biāo)會(huì)有所不同，這說明物體重心的

坐標(biāo)隨坐標(biāo)系的選擇不同而變更，但物體的重心相對(duì)位置是不

變的。物體重心所在的位置，與該物體在空間的位置無關(guān)。

練習(xí)題

題5-1如圖5-20所示空間力系，已知尸產(chǎn)100N,

用=300N,求力系對(duì)y軸之矩。

圖5-20

解:

首先求出力用在右y軸上的分力，分別為

F,2。。一=筆=166.41N方向沿x軸負(fù)方向;

-V2002+3002V13

生/而鼻端"49.62N,方向沿y軸正方向。

由合力矩定理可得到力尸對(duì)y軸之矩

My(F)=-Fl.200mm-F2x?\00mm=-36.64N.m,沿y軸負(fù)向看

為順時(shí)針方向。

題5-2求圖5-21所示力T^IOOON對(duì)于z軸的力矩MzO

圖5-21

解:

首先求出力尸在X、y軸上的分力，分別為

廣乎=_,1。=f=169N

V1O2+3O2+5O2V1O2+3O2A/35

kV102+302303F

F,,，=—j==507N

V102+302+502V1O2+3O2V35

由合力矩定理可得到力尸對(duì)z軸之矩

M;(F)=-Fr.(100+50)mm-Fv.150mm=-101.4N.m

順時(shí)針轉(zhuǎn)向。

題5-3如圖5-22所示，水平圓盤的半徑為r,外緣。處

作用力尸。力尸位于鉛垂面內(nèi)，且與。處圓盤切線夾角為60°,

其他尺寸如圖所示。求力尸對(duì)生不z軸之矩。

X

圖5-22

解：

力尸在三個(gè)軸上的分力分別為

F=Fcos60°cos30°=—F

X4

F=Fcos60°sin30°=-F

了4

F=Fsin60°=—F

22

由合力矩定理可得到力尸對(duì)x、y、z軸之矩

Mx(F)=hFy-rF_cos30°=，(/z-3r)

Mv(F)^hFx+rF:sin30°=(/?+r)

M;(F)=-rFcos60°=-1Fr

題5-4如圖5-23(a)所示，力尸作用在長方體上，力的

作用線位置如圖所示。試計(jì)算：

(1)尸在y軸上的投影；

(2)尸在z軸上的投影；

(3)尸對(duì)4B軸之矩。

B

(a)

圖5-23

解：

(i)設(shè)尸與水平面的夾角為e,力在水平面上的投影為

Fyz,庫與y軸的夾角為尸，如圖5-23(b)所示，由二次投

影定理

-aF

=-Fcoscosy?=

?Ja2+b2+c2

(2)力斤在z軸上的投影;

-bF

F.=一/7cosOsinp=耳+〃+，

(3)力尸對(duì)力B軸之矩

也產(chǎn)“=/J，"；，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。

題5-5如圖5-24所示，已知鐐刀桿刀頭上受切削力

居=500N,徑向力&=150N,軸向力片=75N,刀尖位于。盯

平面內(nèi)，其坐標(biāo)為x=75mm,片200mm。試求被切削工件左

端。處的約束反力。

y

圖5-24

解:

由空間隨意力系的平衡方程

X工=。，-工+%=-150N+%=0

ZK=O，-q.+%=-75N+%=0

Z￡=0，-￡+%=-500N+%=0

Z匕(F)=O,MX-F：.200mm=Mv-500N.200mm=0

￡M、(F)=0,M、.+￡?75mm=M、+500N.75mm=0

ZM=(F)=Q,M:+工?200mm-居?75mm

=Mx+150N.200mm-75N.75mm=0

可解得

%=150N,%,=75N,%=500N;

M=100N.m,M=-37.5N.m,M.=-24.375N?m

?v'yz

題5-6如圖5-25(a)所示，平面圖形內(nèi)每一方格的邊長

為20mm,試求圖示面積重心的位置。

(a)

(b)

圖5-25

解：

本題可采納負(fù)面積法求解。

圖示平面可看成是大矩形去除2個(gè)小矩形以與1個(gè)

圓后剩余的部分，各部分的面積和重心坐標(biāo)分別為

&=22400mm2,=80mm,y=70mm;

2

S2=-2400mm,X2=140mm,%=110mm;

2

S3=-1600mm,x3=40mm,y3=130mm;

2

S4=-400^mm,x4=40mm,y4=60mm;

剩余部分的重心為

xc=M=78.26mm,yc=%=59.63mm

2S,?

題5-7求圖5-26所示工字鋼截面的重心，尺寸如圖所示。

圖5-26

解:

本題可采納分割法求解。

圖示工字鋼截面可看成是由3個(gè)小矩形組合而成的，各部分

的面積和重心坐標(biāo)分別為

2

S]=4000mm,=-10mm,yt=0;

2

S2=4000mm,x2-100mm,y2=0;

2

S3=3000mm,x3=210mm,y3=0;

因此，截面重心為

工號(hào)噸.

=90mm,yc=0

第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體基本運(yùn)動(dòng)

思索題

6-1什么叫點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程？什么叫點(diǎn)的軌跡方程？二者有

什么區(qū)分和聯(lián)系？能否由點(diǎn)的軌跡方程確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程？

解：

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，是描述動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間變更的方程；點(diǎn)的軌

跡方程，是描述動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的空間曲線方程。

在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程中，消去參變量時(shí)間t,則可以得到點(diǎn)的軌

跡方程；但無法由點(diǎn)的軌跡方程確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

6-2號(hào)和手，^和手有何異同？

drdrdrdr

解：

當(dāng)用于描述點(diǎn)的速度矢量隨時(shí)間的變更，即為點(diǎn)的加速度,

它是一個(gè)矢量；而平則用于描述點(diǎn)的速度大小隨時(shí)間的變更，

dt

即點(diǎn)的切向加速度大小，它是一個(gè)標(biāo)量。

手用于描述點(diǎn)的速度，包含大小和方向，是一個(gè)矢量；手是

drdr

指引的速度大小，是一個(gè)標(biāo)量。

6-3若動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的加速度為零，是否此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度

也肯定為零？反之，若動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的速度為零，是否此時(shí)動(dòng)

點(diǎn)的加速度也肯定為零？

解：

動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的加速度為零，說明在該瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度變更

為零，但此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度不肯定為零；反之，若動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)

的速度為零，但其速度變更不肯定為零，即此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的加速度

也不肯定為零。

6-4如圖6-14所示，點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的加速度a為恒

矢量。問這種狀況下點(diǎn)是否作勻變速運(yùn)動(dòng)？

圖6-14

解：

勻變速運(yùn)動(dòng)的特征是動(dòng)點(diǎn)的角加速度a為常數(shù)，在圖示中

雖然點(diǎn)的加速度a為恒矢量，但其角加速度卻a特別數(shù)，因此

這種狀況下點(diǎn)并不作勻變速運(yùn)動(dòng)。

6-5點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，推斷下列說法是否正確？

(1)若切向加速度為正，則點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)；

(2)若切向加速度和速度符號(hào)相同，則點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)；

(3)若切向加速度為零，則速度為常矢量。

解：(1)錯(cuò)誤；(2)正確；(3)錯(cuò)誤。

6-6”各點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)的剛體肯定是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這種說

法是否正確？

解：

上述說法不正確。

6-7剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡肯定是圓

周嗎？

解：

不肯定。若轉(zhuǎn)軸位于剛體內(nèi)，則剛體中位于轉(zhuǎn)軸上的各點(diǎn)位

置始終不變。

6-8手表的時(shí)針、分針和秒針的角速度各是多少？

解:

時(shí)針、分針和秒針的角速度分別為壬^；rad/s、-^J-rad/s

21oOO1oO(J

和'rad/s。

30

練習(xí)題

題6-1已知”點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

x=0.2-0.1r(m)

y=0.2r(m)

試求：點(diǎn)”的軌跡方程、速度與加速度。

解:

點(diǎn)的軌跡為

x=0.2-2.5/

點(diǎn)的速度為

..dx.dy.....,.

V=VJ+Vj=-i+-j-j=-0.2(ft-j)(m/s)

rdtat

點(diǎn)的加速度為

2

a=axi+ayj=需i+#j=-0.2i(m/s)

點(diǎn)的軌跡、速度和加速度如下圖所示。

題6-2如圖6-15(a)所示機(jī)構(gòu)，已知014=4石

=r=0.2m,OXO2=AB,Q輪按規(guī)律0=15"1運(yùn)動(dòng)。試求才

=0.5s時(shí)，"點(diǎn)的速度和加速度。

圖6-15

解：

由題意，。。2期是平行四邊形，力右作半徑為r的圓周運(yùn)

動(dòng)，桿作平動(dòng)，依據(jù)平動(dòng)特性，桿上各點(diǎn)的速度、加速度都

相同，因此求出了4點(diǎn)的速度和加速度，也就求出了〃點(diǎn)的速

度和加速度。

首先確定桿的位置。t=0.5s時(shí),=15^-x0.5=7.5^-rado

該瞬時(shí)桿力B位于最下方，如圖6-15(b)所示。

輪Q作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為

a>=—=15乃rad/s

dr

故力點(diǎn)的速度為

vA=s=15;rxO.2=9.42m/s

由于角速度為常量，因此4點(diǎn)的切向加速度為零，只有法

向加速度，即

222

aA=?r=(15^-)x0.2=444m/s

進(jìn)而可以求出力8桿上”點(diǎn)的速度和加速度分別為

VM=VA=9.42m/s,方向水平向右；

2

aM=aA=444m/s,方向豎直向上。

題6-3如圖6-16(a)所示機(jī)構(gòu)，其中剛體的速度和角加

速度分別為G和a。試求4M點(diǎn)的速度、切向與法向加速度

的大小和方向。

M

b

圖6-16

解：

剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其上全部點(diǎn)均作以。為圓心的圓周運(yùn)動(dòng),

故4、〃兩點(diǎn)的速度、加速度的方向分別如圖6-16(b)所示。

下面求4〃兩點(diǎn)的速度、加速度的大小。

(1)對(duì)Z點(diǎn)：

vA-cor-coxOA=2aco

a\-o^r=co2xOA=2aa)2

a[=ar=axOA=2aa

(2)對(duì)”點(diǎn):

12

vM=cor=coxOM=coyla+b

a'；=orr=<y2xOM=療J/+。2

(b)

第7章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

思索題

7-1試舉幾個(gè)工程實(shí)際中的合成運(yùn)動(dòng)的實(shí)例。

解：

如乘客在行進(jìn)中的公交車上行走時(shí)，公交車相對(duì)于地面的運(yùn)

動(dòng)為牽引運(yùn)動(dòng)，乘客相對(duì)于公交車的運(yùn)動(dòng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而乘客

相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)則為合成運(yùn)動(dòng)。

7-2什么叫牽引速度？有人說動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)是牽引運(yùn)

動(dòng)，因此動(dòng)坐標(biāo)系的速度就是牽引速度，這種說法是否正確？

為什么？

解：

牽引速度，是指牽引點(diǎn)的速度，即某瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重

合的點(diǎn)相對(duì)于定系的速度。一般來說，動(dòng)點(diǎn)是對(duì)動(dòng)參考系有相

對(duì)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)；牽連點(diǎn)是動(dòng)參考系上的幾何點(diǎn)，它們是兩個(gè)不同

的點(diǎn)。但在運(yùn)動(dòng)的同一瞬時(shí)，它們是重合的。在不同瞬時(shí)，動(dòng)

點(diǎn)與動(dòng)坐標(biāo)系上不同的點(diǎn)重合，就有不同的點(diǎn)成為新的牽連點(diǎn)。

因此，“動(dòng)坐標(biāo)系的速度就是牽引速度”的說法是不正確的。

7-3點(diǎn)的速度合成定理是什么？牽引運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)

有無區(qū)分？

解：

點(diǎn)的速度合成定理，指在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的肯定速度等于牽

連速度和相對(duì)速度的矢量和。牽引運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的

速度合成定理的實(shí)質(zhì)并無區(qū)分。

7-4總結(jié)利用點(diǎn)的速度合成定理求解問題的一般步驟。

解：

利用點(diǎn)的速度合成定理求解問題的一般步驟為：

(1)依據(jù)題意選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系。其中，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系

應(yīng)分別選在兩個(gè)不同的剛體上，這樣才能分解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

(2)分析三種運(yùn)動(dòng)與其速度。由于肯定運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)是

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，因此肯定運(yùn)動(dòng)量和相對(duì)運(yùn)動(dòng)量通常由運(yùn)動(dòng)軌跡來確

定；而牽連運(yùn)動(dòng)為剛體的運(yùn)動(dòng)，因此牽連運(yùn)動(dòng)量需通過對(duì)動(dòng)系

所固連的剛體運(yùn)動(dòng)的分析，由定義中重合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)量確定。

(3)應(yīng)用速度合成定理求解。列出矢量方程，利用矢量的

平行四邊形法則或投影方程進(jìn)行計(jì)算求解。

練習(xí)題

題7-1如圖7-5(a)所示曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄04繞。

軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊/可在滑槽。E內(nèi)滑動(dòng)，并帶動(dòng)石。桿在水平方

向上往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)曲柄以角速度/作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=ro試求

桿的速度。

圖7-5

解:

由于桿8。作平移，故桿以與滑槽。E上全部點(diǎn)的速度

相同。

選曲柄端/為動(dòng)點(diǎn)，桿為動(dòng)系。

動(dòng)點(diǎn)工的肯定運(yùn)動(dòng)是以。點(diǎn)為中心的圓周運(yùn)動(dòng)，肯定速度

方向沿圓周的切線；4點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿滑槽。E的直線運(yùn)動(dòng)，

相對(duì)速度方向鉛直向上；牽引運(yùn)動(dòng)為BC桿水平向右的直線運(yùn)

動(dòng)。

由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-5(b)

所示。由圖中三角關(guān)系可求得桿的速度為

vBC=匕=匕sin(p-corsincp

題7-2如圖7-6(a)所示，半徑為R、偏心距為e的凸

輪，以勻角速度/繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，桿45可在滑槽內(nèi)上下移動(dòng)，端

點(diǎn)，始終與凸輪接觸，且。4右呈直線。求圖示位置時(shí)桿43的

速度。

圖7-6

解：

桿ZB作平移，桿上各點(diǎn)的速度相同。

選取桿力B的端點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系隨凸輪一起繞。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

力點(diǎn)的肯定運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，肯定速度方向沿45直線；相

對(duì)運(yùn)動(dòng)是以凸輪中心。為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度方向沿凸

輪圓周的切線；牽引運(yùn)動(dòng)為凸輪繞。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，牽引速度為凸

輪上與桿端4點(diǎn)重合的點(diǎn)的速度，垂直于其大小為

ve=a?OAo

由速度合成定理，可作出速度平行四邊形，如圖7-6(b)

所示。由圖中三角關(guān)系可求得桿的肯定速度為

e

va=ve/cot0=co*OA-^=coe

題7-3如圖7-7(a)、(b)所示的兩種機(jī)構(gòu)中，已知

(91(92=a=200mm,a!=3rad/so求圖示位置時(shí)桿的角速

(c)(d)

圖7-7

解：

(1)對(duì)圖7-7(a)所示機(jī)構(gòu)，以