全國大綱卷高考文科數(shù)學真題及答案

2014年普通高等學校統(tǒng)一考試（大綱）

文科數(shù)學

第I卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給

出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},則中元素的個數(shù)為

（）

A.2B.3C.5D.7

2.已知角a的終邊經(jīng)過點（-4,3）,則COS<7=（）

A.-B.-C.--D.--

5555

3.不等式組卜+二〉。的解集為（）

〔|x|<l

A.{x\-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<l}D.{x\x>l}

4.已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所

成角的余弦值為（）

A.-B.C.-D.@

6633

5.函數(shù)y=lnM+l）（x〉-1）的反函數(shù)是（）

A.y=（l—e工）3（x〉—1）B.y=（/—l）3（x〉—l）

C.y=(l-ex)3(xeR)D.y=(ex-l)3(xeR)

6.已知標為單位向量，其夾角為60。，則（21B）?B=（）

A.-1B.0C.1D.2

7.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生

組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）

A.60種B.70種C.75種D.150種

8.設(shè)等比數(shù)列｛%,｝的前n項和為S”，若§2=3,邑=15,則凝=（）

A.31B.32C.63D.64

22

9.已知橢圓C：0+3=1（。〉6〉0）的左、右焦點為耳、耳，離心率

ab

為g,過月的直線交C于A、B兩點，若的周長為4g,則C

的方程為（）

x22222x22

Kyx2iyA

A■—i——lD■—Fy—lG■—i——ID■—i——I

323128124

10.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高位4,底面邊長

為2,則該球的表面積為（）

A81/Ccr>27TC

l-----B1167rC.9兀D■------

44

22

11.雙曲線C:=-2=1（?！?/〉0）的離心率為2,焦點到漸近線的距

ab

離為則C的焦距等于（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

12.奇函數(shù)/（x）的定義域為R,若/（x+2）為偶函數(shù)，且"1）=1,則

/(8)+/(9)=()

A.-2B.-1C.0D.1

第II卷（共90分）

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.以的展開式中三的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

14.函數(shù)y=cos2%+2sinx的最大值為.

x-y>0

15.設(shè)乂、y滿足約束條件Jx+2y<3,則z=x+4y的最大值

x-2y<1

為.

16.直線4和4是圓好+>2=2的兩條切線，若4與的交點為

（1.3）,貝I"與4的夾角的正切值等于.

三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.）

17.（本小題滿分10分）

數(shù)列｛?！ǎ凉M足弓=2,。2=2,an+2=2an+l-an+2.

（1）設(shè)……,證明總｝是等差數(shù)列；

（2）求a｝的通項公式.

18.（本小題滿分12分）

AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知

3acosC=2ccosAtanA=—,求B.

19.(本小題滿分12分)

如圖，三棱柱ABC-A與G中，點4在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，

ZACB=90°,BC=1,AC=CC}=2.

(1)證明：Aq1\B;

(2)設(shè)直線相與平面3。。出的距離為求二面角4-AB-C的大

小.

20.(本小題滿分12分)

設(shè)每個工作日甲'乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別

為0.6、0.5、0.5、0.4o各人是否需使用設(shè)備相互獨立。

(I)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；

(II)實驗室計劃購買k臺設(shè)備供甲、乙'丙、丁使用。若要求

“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于0.1.求

k得最小值。

21.(本小題滿分12分)

函數(shù)千(x)=ax3+3x2+3x(a芋0)

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a得取值范圍。

22.(本小題滿分12分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的交點為F,直線y=4與

y軸的交點為P。與C的交點為Q,且3［以。

(I)求C的方程；

(II)過F的直線I與C相較于A、B兩點。若AB的垂直平分線/'

與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一個圓上，求I的

方程。

文科數(shù)學

一、選擇整：本大題共12小題,每小題5分.在意小趣給出的四個選項中，只有一項是符合I

U)設(shè)集合M=”24,6,8).N={123,5,6.7}.則MCN中元素的個數(shù)為

(A)2(B)3(C)5(D)7

(2)已知角a的終邊經(jīng)過點(-4,3).則8$a=

(A)g(B)(C)-1to)-j

Xi

(3)不等式組，

(A){x|-2<x<-l}(B){x|-l<x<0)(C){JC|0<X<1}(D)(x|.

U)巳知正四面體ztSCO中，￡是/S的中點.，克異而五線。￡與8。所成角的余弦值為

(A)1(B)￡(C)|(D)且

6633

(5)函數(shù)y=ln(次+1Xx>-I)的反函數(shù)是

(A)J=(I-4(X>7)(B)y=(e,-|f(x>-l)

(C)y=(l-e^r-R)(?))=(/-『(.R)

(6)已知4、,為單位回撤，其夾角為60°,則a-，)"=

(A)-I(B)0(C)1(D)2

(7)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)疔小組，則不|

(A)60種(B)70種(C)75種<D)15(M

<N)設(shè)等比數(shù)列{雨}的前n項和為&，若S*3.%75.則&=

1A)31(B)32(C)63(D)64

(9)已知橢圓c；［+A=ig>b>o)的左、在焦點為尸|、尸如離心率為￡,過T的直線，

Qb3

長為46.則，的方程為

(10)正四梭鞋的頂點都在同一球面上.若詼棱錐的高為4,底面邊長為2.則該球的表面積幺

(A)如(B)I6R(C)9n(D)—

44

?>

Iu1雙曲續(xù)c：-4=ig>0*>0)的離心率為2,色點到漸近線的距離為6.則c的噌

Tbr

(A)2(B)2&(04(D)4百

(12)奇函數(shù)f(x)的定義域為R,若/(x+2)為偶函數(shù)，且"1)=I.則/(8)+/(9)=

(A)-2(B)-I(C)0(D)I

二、填空題：本大通兵：小題，銀小題5分。

(13)(x-2，的候開式4■，的索數(shù)為-160.(用數(shù)字作答)

(14)函數(shù)y=cos2x+2sinr的最大值為孑.

<II）由（I）得心=1+2。-1）.

即an4i-=2n-I.

于是—（%-aJ=Z（2A-l）.

“I1-1

22

所以a^\~a\=H.即OH=n+a）.

又6=I一所以｛4｝的通項公式為o?=?2-2n+2.

（13）（本小腮滿分12%

△45C的內(nèi)角45、C的對邊分別為a.b.c.已知3acosC=2ccosJ,tan^x1,可

3

解；由題設(shè)和iE弦定理得SsiiUcosC=2sinCctMU.

故JtaivfcosC=2sinC?

因為taM=g,所以cosC=2sinC,

tanC='.

所以13位二始”恒伊一仆0]

=-ranf/+C）

_tan/+tanC

tan/tanC-I

="!,

即B=I350.

（"Jl本小題滿分12分）

如圖.二棱柱48C-4B1G中，點小在平面/BC內(nèi)的射影。在HC上，

LACB=90。.5C=1.AC=CCi=2.

（I）證明：ACxXAfft

（ID設(shè)直線/小與BCCR的距禹為石.求二面角Ai-AB-C的大

解法一：（I）因為40」平面，BC,4Du平面44GC.故平面/UiCCJ_T面48c.

XBCLAC,所以8CJ?平而4/|GC

連結(jié)小C.因為側(cè)面/MiGC為菱形，故4CU0仁

由三垂城定理得《1，/田，]

（II）BCL平面AAtCiC.BCu平面BCC\ii\.樸平面4,4|C,C±平面BCRB1.I

作4￡_LCG,￡為垂足,則為￡J?平面BCG/-**

又直坡平面aCGBt,因而4E為直線與平面BCG8】的距離.x,￡=

因為小c為乙1CG的平分線，WAQ=A\E=石.

作。:-1i/為垂足，連篇小尸.由三垂線定理得出RL4.

故乙為二面角力-48-C的平面角一

由/￡>="3；-4。2W】得。為力C中點.

?.IACxBC75…—40/—

Df9二：x------：--=—.tn/41FD=---------Vl5.

2AB5DF

所以二面角Ai-AB-C的大小為arccan屈.

做法二二以C為坐標原乩時續(xù)CA為1負的正半軸.以CR的&為照他倏.

(11)設(shè)中面的法向.杭則二區(qū)M4mlCfi，”…BRi,KPw?CB=(

\iiCB=(0,1,0)?-AA\=(。一2?。，')?故T=0?IL(G-2)K+e*=0.

令“卻娜才=2-G"MuO,2?G?點?到平ifiibCQBi的距闔為

^HcosMd小哈臺必含廣’

乂依即停.A到平面8CG&的雨離為后,所以c=JL

代人①斛得"=3(舍去)或4=1.

于是AA\=(-L0.6).

設(shè)平面46小的法向城”=(p,q,r)則〃-l.It.w±17?.即〃，~AA\=0.

-夕+必r=0,且-2/，+g=(L令p=v3.則v=2\Zi,r=I,?=(4.2V3

又p=(0,0,1)為平而4BC的法向M.故

O=麗=丁

所以二而與zlI-4J3-C的大小為arccos7.

4

120)(本小照滿分12分)

設(shè)標個工作H甲、乙.丙.丁4人需使用某甲就小的概率分別為Q-6.05.05.0.4.

Kr求同一工作11至少3人而使川設(shè)備的限率；

(n)實腕室計劃購買人和設(shè)備供甲、乙.內(nèi),丁使用.若嬖求“同一匚作口需使用沒得的,

小孫

解；記出裊求力件：用一工作日乙，內(nèi)中恰有i人需使用設(shè)備./=0.I,2.

白表示界件：甲.由叱福.

C表示小件：丁露心川設(shè)鉆，

。表示事件：同?【：作H至少3人尚使用設(shè)備.

—事件：同一T作口4人需使用改備.

一一東力件；同?「.作口需使用說希的人數(shù)大I人

(I)D=A.BC+A,B+A,HC.

尸(g)=0.6,P(C)=0.4,/X，4Jsfix0.5\/=0,1.2.

所以P(D)=P(A,BC+A.B+.^BC)

.4——汽―助十?一?瓦C)

-P^)P(B)P(C)+P(/li)P{B}+P(42)P(fi)P(C)

0.31.

，仃)由于。￥0,故當。<】時.有兩個根：

—1+VI—。-1—"jl-d

Xi=-------------------,必=----------,

aa

若Ovovl.則當xe或xe(x,,+<o)時/'(x)>0,故f(x)分別在(-a>,x2).

當xw(S西)0'1f'fx)<Q,故/(x)在(馬,不)是減函數(shù)；

若a<0,則當“\?,蒼)或后.xo)時八X)V0,故〃x)分別在?！璊.(x3,+oo

當XW—時八X)A0,故/(X)在—是增函數(shù).

(II)當。>0.*>。時，f(x)=W+6r+3>0.故當a>0時，/(外在區(qū)間(1,2)是地眼

當。時，/(x)在區(qū)間Q2)是增函數(shù)當且僅當，⑴至0且/'(2)卦0,解得】，

僚上，。的取值范朋是「之o)U(o.y).

4

(22)(本小題滿分12分)

已知拋物線Cz2Mp>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為尸.與C的交點