2024年全國甲卷高考數(shù)學(xué)（文數(shù)）真題試題（原卷版+含解析）

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）一、單選題1．集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．-1 D．23．若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<05．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知雙曲線SKIPIF1<0的上、下焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<07．曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0的大致圖像為（

）A． B．C． D．9．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．設(shè)SKIPIF1<0是兩個(gè)平面，SKIPIF1<0是兩條直線，且SKIPIF1<0.下列四個(gè)命題：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0

④若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角相等，則SKIPIF1<0其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④11．在SKIPIF1<0中內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題12．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是．13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．14．曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為．三、解答題15．已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.16．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離.17．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0時(shí)，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立．18．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0軸．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0軸．19．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，以坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0為極點(diǎn)，SKIPIF1<0軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線SKIPIF1<0的極坐標(biāo)方程為SKIPIF1<0.(1)寫出SKIPIF1<0的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)），若SKIPIF1<0與l相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.20．實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0．2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）一、單選題1．集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根據(jù)題意得，對(duì)于集合SKIPIF1<0中的元素SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可能的取值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故選A2．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．-1 D．2【答案】D【解析】根據(jù)題意得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選D3．若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，作出可行域如圖：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的幾何意義為SKIPIF1<0的截距的SKIPIF1<0，則該直線截距取最大值時(shí)，SKIPIF1<0有最小值，此時(shí)直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選D.4．等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.【解析】方法1：利用等差數(shù)列的基本量由SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.故選D方法2：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選D方法3：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【解析】當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有SKIPIF1<0種排法，丁就SKIPIF1<0種，共SKIPIF1<0種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有SKIPIF1<0種排法，丁就SKIPIF1<0種，共SKIPIF1<0種；于是甲排在排尾共SKIPIF1<0種方法，同理乙排在排尾共SKIPIF1<0種方法，于是共SKIPIF1<0種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是SKIPIF1<0，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為SKIPIF1<0.故選B6．已知雙曲線SKIPIF1<0的上、下焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距SKIPIF1<0，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得SKIPIF1<0，即可得離心率.【解析】根據(jù)題意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選C.7．曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故切線方程為SKIPIF1<0，故切線的橫截距為SKIPIF1<0，縱截距為SKIPIF1<0，故切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為SKIPIF1<0故選A.8．函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可排除D.【解析】SKIPIF1<0，又函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0，故該函數(shù)為偶函數(shù)，AC錯(cuò)誤，又SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選B.9．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先將SKIPIF1<0弦化切求得SKIPIF1<0，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選B.10．設(shè)SKIPIF1<0是兩個(gè)平面，SKIPIF1<0是兩條直線，且SKIPIF1<0.下列四個(gè)命題：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0

④若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角相等，則SKIPIF1<0其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【解析】①，當(dāng)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0既不在SKIPIF1<0也不在SKIPIF1<0內(nèi)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，①正確；②，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不一定垂直，②錯(cuò)誤；③，過直線SKIPIF1<0分別作兩平面與SKIPIF1<0分別相交于直線SKIPIF1<0和直線SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，過直線SKIPIF1<0的平面與平面SKIPIF1<0的交線為直線SKIPIF1<0，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，③正確；④，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角相等，如果SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，④錯(cuò)誤；①③正確，故選A.11．在SKIPIF1<0中內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用正弦定理得SKIPIF1<0，再利用余弦定理有SKIPIF1<0，再利用正弦定理得到SKIPIF1<0的值，最后代入計(jì)算即可.【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，則由正弦定理得SKIPIF1<0.根據(jù)余弦定理可得:SKIPIF1<0，即:SKIPIF1<0，根據(jù)正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為三角形內(nèi)角，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選C.二、填空題12．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【解析】SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.答案為：213．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】64【分析】將SKIPIF1<0利用換底公式轉(zhuǎn)化成SKIPIF1<0來表示即可求解.【解析】由題SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0答案為：64.14．曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為．【答案】SKIPIF1<0【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令SKIPIF1<0，分離參數(shù)SKIPIF1<0，構(gòu)造新函數(shù)SKIPIF1<0結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得SKIPIF1<0單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【解析】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，因?yàn)榍€SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以等價(jià)于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個(gè)交點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.答案為：SKIPIF1<0三、解答題15．已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列的求和公式可求SKIPIF1<0.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0,故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式得SKIPIF1<0.16．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)見詳解；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，可證SKIPIF1<0，進(jìn)而得證；（2）作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0三垂直，結(jié)合等體積法SKIPIF1<0即可求解.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）如圖所示，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，結(jié)合（1）SKIPIF1<0為平行四邊形，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0底邊上中點(diǎn)SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0互相垂直，等體積法可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.17．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0時(shí)，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0即可.【解析】（1）SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.（2）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，下證SKIPIF1<0即可.SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，問題得證18．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0軸．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0軸．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0的坐標(biāo)及SKIPIF1<0SKIPIF1<0軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用SKIPIF1<0的坐標(biāo)表示SKIPIF1<0，結(jié)合韋達(dá)定理化簡前者可得SKIPIF1<0，故可證SKIPIF1<0軸.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，由題設(shè)有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）直線SKIPIF1<0的斜率必定存在，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0軸.19．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，以坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0為極點(diǎn)，SKIPIF1<0