專題03等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)基本不等式（考點(diǎn)清單）

專題03等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（考點(diǎn)清單）目錄TOC\o"13"\h\u一、思維導(dǎo)圖 2二、知識(shí)回歸 2三、考點(diǎn)清單講與練 3考點(diǎn)清單01比較兩個(gè)代數(shù)式的大小 3【考試題型1】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小 3考點(diǎn)清單02利用基本不等式求最值 5【考試題型1】和為定值求積的最值 5【考試題型2】積為定值求和的最值 6【考試題型3】湊項(xiàng)（系數(shù)） 7【考試題型4】常數(shù)代換法 8【考試題型5】消元法 10【考試題型6】二次與二次（或一次）商式 11考點(diǎn)清單03基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用 13【考試題型1】在實(shí)際問題中判斷使用基本不等式求最值 13一、思維導(dǎo)圖二、知識(shí)回歸知識(shí)回顧1：作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）知識(shí)回顧2：不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)知識(shí)回顧3：重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.知識(shí)回顧4：基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類陷阱）三、考點(diǎn)清單講與練01比較兩個(gè)代數(shù)式的大小【考試題型1】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小【解題方法】作差法，作商法【典例1】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：D【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).【詳解】（1）解：，，因?yàn)?，所以，即；?）解：．因?yàn)?，，所以，，所以，即；?）方法一（作差法）．因?yàn)椋?，，，．所以，所以．方法二（作商法）因?yàn)?，所以，，，所以，所以．【專?xùn)11】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，得，于是，即，而，且三個(gè)實(shí)數(shù)互不相等，因此，所以的大小關(guān)系是.故選：D【專訓(xùn)12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，試比較和的大小.【答案】【詳解】（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)椋?，即；（方?）所以，又，所以,所以.02利用基本不等式求最值【考試題型1】和為定值求積的最值【解題方法】基本不等式【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是．【答案】/【詳解】方法一：，∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故當(dāng)時(shí)，．方法二：由知，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故當(dāng)時(shí)，．故答案為：【專訓(xùn)11】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，且，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：C【專訓(xùn)12】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)，求函數(shù)的最大值．【答案】2【詳解】，且==2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故最大值為2.【考試題型2】積為定值求和的最值【解題方法】基本不等式【典例1】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，則函數(shù)最大值為（

）A．6 B．8 C． D．【答案】D【詳解】，由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，故，所以最大值為，故選：D【專訓(xùn)11】（2023秋·湖南株洲·高一株洲二中校考階段練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：B.【專訓(xùn)12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最大值為；此時(shí)的值是.【答案】2【詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最大值為；此時(shí)的值是2，故答案為：；2【考試題型3】湊項(xiàng)（系數(shù)）【解題方法】拼湊項(xiàng)，化整體，利用基本不等式【典例1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則的最小值是．【答案】0【詳解】解析因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為0.故答案為：0【專訓(xùn)11】（2023·湖南衡陽·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)（）的最小值是．【答案】6【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)（）的最小值是.故答案為：【專訓(xùn)12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為.【答案】5【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故答案為：5【考試題型4】常數(shù)代換法【解題方法】將已知條件中的等式與目標(biāo)式相乘【典例1】（2023秋·甘肅臨夏·高一校考期末）若，，，則的最小值為．【答案】9【詳解】由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為9.故答案為：9【典例2】（2023秋·福建莆田·高三校考開學(xué)考試）已知若正數(shù)、滿足，則的最小值為．【答案】【詳解】已知正數(shù)、滿足，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.【專訓(xùn)11】（2023秋·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則的最小值為．【答案】49【詳解】由，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取得最小值49.故答案為：49【專訓(xùn)12】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值為．【答案】【詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【考試題型5】消元法【解題方法】帶入消元【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.故選：D【專訓(xùn)11】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，則的最小值為（

）A． B．C． D．6【答案】A【詳解】由題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：A【專訓(xùn)12】（多選）（2023秋·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】由題知，正實(shí)數(shù)滿足，所以，對于A，因?yàn)椋?，所以，即，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)A得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：AD【考試題型6】二次與二次（或一次）商式【解題方法】分離變量法【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．【答案】【詳解】由，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以原函數(shù)的最小值為.故答案為：【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域是．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)，.若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即.若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即.綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：【專訓(xùn)11】（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)的最小值為．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，則，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故答案為：.【專訓(xùn)12】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的最小值是．【答案】【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值是故答案為:.03基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用【考試題型1】在實(shí)際問題中判斷使用基本不等式求最值【解題方法】基本不等式【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）蘄春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時(shí)間內(nèi)的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度v（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號(hào)燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時(shí)間T（秒）＝路段長×，那么在車流量最大時(shí)，路段A的紅燈設(shè)置時(shí)間為秒.【答案】【詳解】不妨設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.千米/小時(shí)米/秒此時(shí)紅燈設(shè)置時(shí)間為秒.故答案為：【專訓(xùn)11】（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）一家物流公司計(jì)劃建立倉庫儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過市場了解到下列信息：每月的土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與成正比.若在距離車站處建立倉庫，則與分別為萬元和萬元.則當(dāng)兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小時(shí)（單位：）.【答案】【詳解】由已知可設(shè)：，，且這兩個(gè)函數(shù)圖象分別過點(diǎn)、，得，，從而，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.因此，當(dāng)時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和