第02講 菱形的判定、判定與性質(zhì)綜合（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第02講菱形的判定、判定與性質(zhì)綜合掌握菱形的判定定理學(xué)會(huì)利用菱形的判定與性質(zhì)綜合解題菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.考點(diǎn)一：菱形的判定例1．在下列條件中，能夠判定為菱形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、由，不能判定為菱形，故選項(xiàng)不符合題意；B、由，能判定為菱形，故選項(xiàng)符合題意；C、由，不能判定為菱形，故選項(xiàng)不符合題意；D、由，能判定為矩形，不能判定為菱形，故選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．例2．如圖，添加下列條件不能判定是菱形的是（

）.A． B． C．平分 D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的應(yīng)用．【解析】解：四邊形是平行四邊形，A、當(dāng)時(shí)，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得是菱形，故本選項(xiàng)不合題意；B、當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得是菱形，故本選項(xiàng)不合題意；C、當(dāng)平分時(shí)，，在中，，可得，可得，則有，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得是菱形，故本選項(xiàng)不合題意；D、當(dāng)時(shí)，是矩形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定．熟記判定定理是解此題的關(guān)鍵．例3．下列條件中能判斷四邊形是菱形的是（

）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線互相垂直且平分C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線相等且互相平分【答案】B【分析】可根據(jù)菱形的判定方法：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，然后進(jìn)行選擇．【解析】解：因?yàn)閷?duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，且對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，所以對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)菱形判定方法的理解，解題關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法．例4．如圖所示，四邊形，當(dāng)，時(shí)，再下列選項(xiàng)中，添加一個(gè)條件，使得四邊形是菱形的是（

）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．有一個(gè)內(nèi)角是直角【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再結(jié)合各選項(xiàng)逐一判斷即可．【解析】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴添加，可得四邊形是菱形；故C符合題意；添加A不能判定，添加B，可判斷四邊形是矩形，添加D，可判斷四邊形四邊形是矩形，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形，矩形，菱形的判定，熟記判定方法是解本題的關(guān)鍵．例5．在平行四邊形中，添加下列條件，能判定平行四邊形是菱形的是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求得答案．【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是菱形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，熟記菱形的判定是解題的關(guān)鍵．例6．在平行四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，，則四邊形（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解．【解析】解：如圖，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，∵，∴，∴，即，∴四邊形是是菱形．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得到是解題的關(guān)鍵．例7．如圖，在中，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：____________，使平行四邊形為菱形（不添加任何輔助線）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)菱形的判定添加合適的條件即可．【解析】解：當(dāng)時(shí)，平行四邊形為菱形,故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．例8．如圖，用直尺和圓規(guī)作菱形，作圖過程如下：①作銳角；②以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑作弧，與的兩邊分別交于點(diǎn)，；③分別以點(diǎn)，為圓心，以的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，分別連接，，則四邊形即為菱形，其依據(jù)是（

）A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．四條邊相等的四邊形是菱形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形【答案】B【分析】由作圖過程可知，根據(jù)菱形的判定定理分析判斷即可．【解析】解：由作圖過程可知，，所以依據(jù)是“四條邊相等的四邊形是菱形”．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二：利用菱形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度、角度、面積例9．如圖，在菱形中，相交于，，是線段上一點(diǎn)，則的度數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)，得∠AOB=90°，∠ABO=，從而得：∠BAO=55°，進(jìn)而可得：55°＜＜90°，即可得到答案．【解析】∵在菱形中，∴，即：∠AOB=90°，∴＜90°，∵，∴∠ABO=，∴∠BAO=55°，∵=∠BAO+∠ABE，∴＞55°，即：55°＜＜90°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)定理以及三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例10．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行四邊形的對(duì)邊平行，以及角平分線平分角，得到是等腰三角形，進(jìn)而得到四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)，對(duì)角線垂直平分，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵四邊形為平行四邊形，∴∥，∴，∵平分，∴，∴，∴，同法可證：，∴，∴四邊形為菱形，∴，設(shè)、交于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．利用平行四邊形和角平分線，證明三角形是等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．例11．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，在其中一張紙條轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論一定成立的是（）A． B．四邊形面積不變C． D．四邊形周長(zhǎng)不變【答案】A【分析】?jī)蓮埖葘挼募垪l的寬為h，根據(jù)題意可得，從而得到四邊形是平行四邊形，再由，可得，進(jìn)而得到四邊形是菱形，即可．【解析】解∶設(shè)兩張等寬的紙條的寬為h，∵紙條的對(duì)邊平行，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形是菱形，∴，故A選項(xiàng)正確，符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵在旋轉(zhuǎn)的過程中，在變化，∴四邊形面積和周長(zhǎng)也在變化，故B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，面積法等知識(shí)，學(xué)握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例12．如圖，將矩形紙片分別沿、折疊，若、兩點(diǎn)恰好都落在對(duì)角線的交點(diǎn)上，下列說法：①四邊形為菱形，②，③若，則四邊形的面積為，④，其中正確的說法有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，進(jìn)而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，可證明AE∥CF，AE=CE，根據(jù)矩形性質(zhì)可得CE∥AF，即可得四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而可得四邊形AECF為菱形，由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出BE的長(zhǎng)，即可得OE的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積公式即可求出四邊形AECF的面積，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出AB：BC的值，綜上即可得答案．【解析】解：∵將矩形紙片分別沿、折疊，若、兩點(diǎn)恰好都落在對(duì)角線的交點(diǎn)上，∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°，∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°，∴AE∥CF，AE=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE=CE，∴四邊形AECF是菱形，故①正確；∵∠BAE=30°，∠B=90°，∴∠AEB=60°，∴∠AEC=120°，故②正確；設(shè)BE=x，∵∠BAE=30°，∴AE=2x，∴x2+22=（2x）2，解得，∴OE+BE=，∴S菱形AECF=，故③正確；∵∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴BC=，∴AB：BC=1：，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論為①②③．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：利用菱形的判定與性質(zhì)解答證明例13．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，連結(jié)，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，則四邊形的面積是________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，證明四邊形、是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得，再利用菱形的面積公式即可求解．【解析】（1）證明：∵，為的中點(diǎn)，∴.∵，，∴四邊形是平行四邊形.∴∴又∵，∴四邊形是平行四邊形.又∵，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是菱形，∴四邊形的面積是．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，掌握“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．例14．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，．(1)判斷四邊形的形狀，并進(jìn)行證明；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）首先根據(jù)兩對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論；（2）依據(jù)“角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”結(jié)合題意可求得，根據(jù)勾股定理可求得’從而求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，最后依據(jù)菱形的性質(zhì)得，即可求解．【解析】（1）證明：（1）∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，∴，∴四邊形為菱形；（2）∵，，∴，∴’∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形為菱形，∴．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理解直角三角形，三角形和四邊形面積的有關(guān)計(jì)算；解題關(guān)鍵在于根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，并根據(jù)相關(guān)三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)換．例15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，，．(1)求證：四邊形ADCE是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面積．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）先證四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AD＝BC＝CD，即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)和三角形面積關(guān)系得S菱形ADCE＝2S△ACD＝S△ABC，即可求解．（1）證明：∵，，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝CD，∴平行四邊形ADCE是菱形；（2）解：∵四邊形ADCE是菱形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴S菱形ADCE＝2S△ACD＝S△ABC＝AB?AC＝×8×6＝24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形ADCE為菱形是解題的關(guān)鍵．例16．如圖，的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)作的垂線，與，分別相文于點(diǎn)，，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積是2，求的面積．【答案】(1)見解析(2)40【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，進(jìn)一步證明，則，即可證明四邊形是平行四邊形，由即可得到結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得到，進(jìn)一步得到，則，即可得到，由平行四邊形的性質(zhì)即可得到的面積．【解析】（1）證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴與互相平分，∴，∴，∴答：的面積為40．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．例17．如圖，在平行四邊形中，E為對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作，，連接，，，線段交于點(diǎn)H．(1)若，求證：四邊形為菱形；(2)在（1）問的基礎(chǔ)上，若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，以及，再根據(jù)已知得到，，可得四邊形是平行四邊形，證明，得到，即可證明菱形；（2）首先求出，進(jìn)一步證明是等邊三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求出，最后利用梯形面積公式計(jì)算即可．【解析】（1）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，，在平行四邊形中，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，即是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定定理和性質(zhì)定理．一、單選題1．（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（

）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，，，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出．利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而求出．【解析】是菱形，E為AD的中點(diǎn)，，．是直角三角形，．，，，．，即，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力．解題關(guān)鍵是得出并求得．求解本題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)理解并運(yùn)用菱形對(duì)角線互相垂直且平分、對(duì)角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)．3．（2021·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，和關(guān)于直線BC對(duì)稱，連接AD，與BC相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作，垂足為C，與AD相交于點(diǎn)E．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，和關(guān)于直線BC對(duì)稱，證明出四邊形ABDC是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，最后由勾股定理求出結(jié)果．【解析】解：∵，和關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴AB=AC=CD=BD，∴四邊形ABDC是菱形，∴BC⊥AD，OC=OB，OA=OD，∵，，∴OC=OB=3，OA=OD=4，在Rt△COD中，OC=3，OD=4，∴DC=，∴AB=AC=CD=BD=5，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，關(guān)鍵在于利用等腰三角形與折疊的性質(zhì)證明出四邊形是菱形，再用菱形的性質(zhì)與勾股定理進(jìn)行求解．二、解答題4．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且，連接BF．FD，DE，EB．求證：四邊形DEBF是菱形．【答案】見解析【分析】先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再結(jié)合可得結(jié)論．【解析】連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是茥形，∴，，，又∵，∴，即，∴四邊形DEBF是平行四邊形．又∵，即，∴四邊形DEBF是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明四邊形是菱形，證明四邊形DEBF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明見解析【分析】（1）由得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，結(jié)合，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即求解；（2）由，，易得四邊形ADCF是平行四邊形，若，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得，即得四邊形ADCF是菱形．【解析】（1）證明：∵，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA．∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∴，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形ADCF是菱形．證明如下：由（1）知，，∵，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵，∴是直角三角形．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴，∴四邊形ADCF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．一、單選題1．在一組對(duì)邊平行的四邊形中，增加一個(gè)條件，使得這個(gè)四邊形是菱形，那么增加的條件可以是（

）A．另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線相等 B．另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線互相垂直C．另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相等 D．另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相互垂直【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐項(xiàng)判斷即可得．【解析】解：A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線相等的四邊形可以是等腰梯形，則此項(xiàng)不符題意；B．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線互相垂直的四邊形可以是等腰梯形，則此項(xiàng)不符題意；C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相等的四邊形可以是矩形，不一定是菱形，則此項(xiàng)不符題意；D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟練掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．2．兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形如圖所示拼湊出一個(gè)平行四邊形，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，由平行四邊形和等邊三角形的性質(zhì)，易證四邊形是菱形，可求得AB=2，AO=1，由勾股定理可求得，繼而可求得對(duì)角線的長(zhǎng)．【解析】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，由題意可得和是等邊三角形，且邊長(zhǎng)都為2，∴AB=BC=CD=DA=AC=2，∴四邊形是菱形，∴，BD=2BO，AC⊥BD，在中，由勾股定理得：，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理，靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、在上，且，若添加一個(gè)條件使四邊形是菱形，則下列可以添加的條件是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，連接交于，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解析】解：可以添加的條件是，理由：四邊形是平行四邊形，，，、分別為邊、的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，，，，，，四邊形是平行四邊形，連接交于，，，，四邊形是菱形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)．若OE＝3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合菱形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，∵OE=3，且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，是的中位線，∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為:4BC=4×6=24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出BC=6．5．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，連接OE．若，，則DE的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AC＝2OE＝2，則OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，則BD＝2OB＝2，然后由菱形面積求出AE的長(zhǎng)，即可解決問題．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，∴AC＝2OE＝2，∴OA＝AC＝，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，∴BD＝2OB＝2，∵S菱形ABCD＝CD?AE＝AC?BD＝×2×2＝2，∴AE＝，∴DE＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在四邊形中，，且，則下列說法：①四邊形是平行四邊形；②；③；④平分；⑤若，則四邊形的面積為24．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5【答案】D【分析】，且，可判斷四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案．【解析】解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形∴，，平分；∴①②③④正確；若，；∴⑤正確；∴正確的有5個(gè)．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判斷和性質(zhì)，熟練掌握菱形的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．菱形中，．點(diǎn)、分別在邊、上，且．若，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等邊三角形，即可解決問題．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的對(duì)角線，∴∠ACF∠DCB＝60°，∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等邊三角形，∵EF＝2，∴S△AEF×22，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明全等三角形得到△AEF是等邊三角形，牢記等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵．8．在中，，，，點(diǎn)D（不與C重合）是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，求出，，根據(jù)等積法求出，證明，得出四邊形為菱形，根據(jù)菱形面積公式求出結(jié)果即可．【解析】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，如圖所示：

中，，，∴，，∴，∴，∵，∴，由沿翻折得可得，∴和都是等邊三角形，∴，∴四邊形為菱形，∴四邊形ADCE的面積為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合．9．已知菱形在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖連接，別交，作于．首先說明點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線，列方程組即可解決問題．【解析】解：如圖連接，分別交，作于．∵四邊形是菱形，∴，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴此時(shí)最短．在中，，∴．∵，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)，∴直線解析式為，直線解析式為，由，解得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)．故選：D．【點(diǎn)睛】考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短問題、坐標(biāo)與圖象的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)位置，構(gòu)建一次函數(shù)，列出方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)．10．如圖，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足為G，EG與CD相交于點(diǎn)K，GD的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)H，連接DE，則下列結(jié)論：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】首先證明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可一一判斷．【解析】解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，∴DG＝DH，AG＝FH，∴BG=AB＋AG＝AB＋HF，故①正確，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，又∵DG＝DH，∴DE＝DG＝DH，故②正確，∴∠DHE＝∠DEH，∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∴∠DHE＝∠BAD，故③正確，∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，∴∠DCE＝∠EDH，∴∠B＝∠EDH，若∠B=∠DEF，則∠EDH=∠DEF=∠DHE，那么?DHE是等邊三角形，但題目中沒有明確?DHE是等邊三角形，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題11．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，請(qǐng)你添加一個(gè)條件________，使四邊形AEDF是菱形．【答案】DF∥AB【分析】添加DF∥AB，根據(jù)DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．【解析】解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴平行四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了添加條件，菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，菱形的判定，添加DF∥AB．12．若?ABCD的對(duì)角線AC平分∠DAB，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系是________．【答案】互相垂直【分析】證明AB=BC可得到四邊形ABCD是菱形，即可得到對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴AB=BC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系是：互相垂直．故答案為：互相垂直．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形．13．四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，，的中點(diǎn)．若四邊形為菱形，則四邊形應(yīng)滿足條件_____．【答案】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，可得順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形，故可添加：．【解析】解：如圖，，、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，則、分別是、的中位線，、分別是、的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，，，則四邊形是平行四邊形，當(dāng)有成立，則四邊形是菱形．應(yīng)滿足條件：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及菱形的判斷進(jìn)行證明，是一道綜合題．14．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，將向右平移到的位置，連接，，則的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】證明四邊形是菱形，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：等邊的邊長(zhǎng)為，將向右平移到的位置，cm，,四邊形是菱形，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC與BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，則四邊形周長(zhǎng)為_____，面積為_____．【答案】2024【分析】首先由AC與BD互相垂直且平分，可證得四邊形ABCD是菱形，又由BD＝6，AC＝8，即可求得答案．【解析】解：∵AC與BD互相垂直且平分，∴AD＝AB＝BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，∵BD＝6，AC＝8，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴，∴四邊形周長(zhǎng)為：，面積為：×6×8＝24．故答案為：20，24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上，用尺規(guī)作出四邊形，具體作法如下：分別作的平分線，分別交于，連接，若，則四邊形的周長(zhǎng)是______．【答案】【分析】證明四邊形是菱形，然后由勾股定理求得即可解決問題．【解析】解：設(shè)交于點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)作圖可知分別為的角平分線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，在中，，∴菱形的周長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，角平分線的定義，勾股定理，證明四邊形是菱形，是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OC上一點(diǎn)，連接ED，若，則DE的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明再求解再根據(jù)勾股定理可得答案．【解析】解：菱形ABCD，∠BCD＝60°，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，熟練的利用菱形的性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連結(jié)BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：①；②；③由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④．其中正確的結(jié)論是______（請(qǐng)?zhí)顚懻_的序號(hào)）【答案】①③④【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ABD的中位線，得出OG=AB，①正確；③先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，③正確；④證OG是△ACD的中位線，得OG∥CD∥AB，OG=CD，則S△ACD=4S△AOG，再由S△AOG=S△BOG，則S△ACD=4S△BOG，④正確；②連接FD，由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得F到△ABD三邊的距離相等，則S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，則S四邊形ODGF=S△ABF，②錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG=AB，故①正確；∵AB∥CE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；∵OA=OC，AG=DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG∥CD∥AB，OG=CD，∴S△ACD=4S△AOG，∵S△AOG=S△BOG，∴S△ACD=4S△BOG，故④正確；連接FD，如圖：∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三邊的距離相等，∴S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，∴S四邊形ODGF=S△ABF，故②錯(cuò)誤；正確的是①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及三角形面積等知識(shí)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．已知：如圖，在中，，O為垂足．求證：是菱形．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的判定和性質(zhì)得出，再由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明．【解析】證明：在中，（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）．∵，∴垂直平分線段，∴（線段垂直平分線線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．∴是菱形（菱形的定義）．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)及垂直平分線的判定與性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．20．如圖，四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，若，，(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)請(qǐng)你在不添加輔助線的情況下，添一個(gè)條件，使四邊形是菱形【答案】(1)證明見解析(2)（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用證明與全等，再利用平行四邊形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的判定解答即可．【解析】（1）證明：∵∴，，在與中，，∴（）∴∴四邊形是平行四邊形．（2）解：添加：（答案不唯一）．證明：∵，又∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)O．且，點(diǎn)E在上，滿足．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)頂角相等，直接證明即可；（2）由（1）可得，根據(jù)，證明四邊形是平行四邊形，由，，證明，即可證明四邊形是菱形．【解析】（1）證明：在△AOE和△COD中，∴△AOE≌△COD（），（2）證明：△AOE≌△COD四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，且，，．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)可得，，，可求，，即可得出答案．【解析】（1）解：證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，．，平行四邊形是矩形，．．平行四邊形是菱形（2）由（1）得：四邊形是矩形，四邊形是菱形，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，線段，D是線段AC上一點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)F，若AF＝BF，求證：(1)DF=EF；(2)連接AE，BD，若△ABC是等邊三角形∠E=30°，求證：四邊形ADBE是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)首先由平行線的性質(zhì)，可證得∠FEB=∠FDA，即可證得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；(2)首先根據(jù)等邊三角形及平行線的性質(zhì)，可得∠BAC＝60°，∠FEB=∠FDA=30°，可證得AB⊥DE，再由AF=BF，DF=EF，可證得四邊形ADBE是平行四邊形，據(jù)此即可證得結(jié)論．（1）證明：∵，∴∠FEB=∠FDA，在△EFB與△DFA中，∴，∴EF＝DF；（2）證明：如圖：∵AF=BF，DF=EF（