線性代數(shù)完整教學(xué)課件

線性代數(shù)完整教學(xué)課件2024/7/232024/7/23線性代數(shù)2024/7/23課程簡(jiǎn)介:線性代數(shù)是討論代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程，它具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，是高等學(xué)校各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課。對(duì)線性方程組的討論，在理論上和歷史上都是線性代數(shù)這門學(xué)科的起點(diǎn)。由于線性問(wèn)題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，而某些非線性問(wèn)題在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，因此本課程所介紹的思想和方法廣泛地應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科。

2024/7/23本學(xué)期課程包括以下內(nèi)容：矩陣、行列式、向量、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量。2024/7/23課程特點(diǎn):1、是一門基礎(chǔ)課程，為后續(xù)課程做準(zhǔn)備.2、定義、定理、推論繁多，必須理解記憶和區(qū)別.3、具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性.2024/7/23參考書目：《線性代數(shù)》(第三版)趙樹嫄編中國(guó)人民大學(xué)出版社《線性代數(shù)》同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等教育出版社《實(shí)用線性代數(shù)》鄭昌明編中國(guó)人民大學(xué)出版社2024/7/23第1章矩陣§1.1矩陣的概念§1.2矩陣的運(yùn)算§1.3方陣的行列式§1.4矩陣的分塊§1.5可逆矩陣§1.6矩陣的初等變換§1.7矩陣的秩§1.8矩陣應(yīng)用的兩個(gè)例子2024/7/23

引言

矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)最基本的概念，也是數(shù)學(xué)的最基本的一個(gè)工具。它在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。矩陣這個(gè)詞是英國(guó)數(shù)學(xué)家西勒維斯特在1850年首先使用的，但歷史非常久遠(yuǎn)，可追溯到東漢初年（公元一世紀(jì)）成書的《九章算術(shù)》，其方程章第一題的方程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)矩陣，所用的解法就是矩陣的初等變換。

本章首先引入矩陣概念，繼而介紹幾個(gè)特殊矩陣，矩陣的基本運(yùn)算、方陣的行列式、可逆陣和矩陣的初等變換、矩陣的秩等關(guān)于矩陣的基本理論。2024/7/23§1.1矩陣的概念例1某商場(chǎng)三個(gè)分廠的兩類商品一天的營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）第一分廠第二分廠第三分廠彩電865冰箱423用矩形陣列表簡(jiǎn)明地表示為一、引例2024/7/23例2線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)2024/7/23對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)位置可排為矩形陣列這就是矩陣2024/7/23二、矩陣概念定義1.2由個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…m;j=1,2,…,n)排成一個(gè)m行n列的矩形表，即注：1’數(shù)主要指實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的全體稱為實(shí)數(shù)域，記為R.2024/7/234’方陣：

m=n

時(shí),稱A為n

階方陣,也稱為n階矩陣.5’行(列)矩陣:只有一行(列)的矩陣.也稱為行(列)向量.m=1n=16’零矩陣O:元素都是零的矩陣.2’實(shí)(復(fù))矩陣:

元素均為實(shí)(復(fù))數(shù)的矩陣.3’矩陣一般用大寫字母A、B、…等表示.主對(duì)角線7’主對(duì)角線（方陣）副對(duì)角線2024/7/23例如是一個(gè)

實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.2024/7/23練習(xí)1從定義可以看出,確定一個(gè)矩陣的要素是行數(shù)列數(shù)及元素.2024/7/23三、幾種特殊矩陣（均為方陣）1、對(duì)角矩陣定義

所有非主對(duì)角線元素全等于零的n階矩陣稱為

對(duì)角矩陣(diagonalmatrix).是一個(gè)四階對(duì)角矩陣。n階對(duì)角矩陣常記為或這里當(dāng)然允許主對(duì)角線上的元為零.或diag(a11,a22,…,ann)2024/7/232、數(shù)量矩陣定義

如果n階對(duì)角矩陣所有主對(duì)角線上的元都相等，則稱 此矩陣為n階數(shù)量矩陣

(scalarmatrix).即或diag(a,a,…,a)特別地，如果n階數(shù)量矩陣A中的元素a=1時(shí)，則稱A

為n階單位矩陣，記作，有時(shí)簡(jiǎn)記為E.即2024/7/233、三角形矩陣定義

如果n階矩陣主對(duì)角線下方的元素都等于零，則稱此矩陣為上三角形矩陣.

如果n階矩陣主對(duì)角線上方的元素都等于零，則稱此矩陣為下三角形矩陣.A為n階上三角形矩陣；B為n階下三角形矩陣.對(duì)角矩陣既是上三角形矩陣又是下三角形矩陣.注2024/7/23練習(xí)1在下列矩陣中,指出三角形矩陣、對(duì)角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣：練習(xí)2根據(jù)所討論的特殊形式的矩陣的概念，指出其有從屬關(guān)系者.2024/7/234、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣定義

如果n階矩陣A=（aij）的元滿足aij

=aji(i,j=1,2,…,n),

則稱矩陣A為對(duì)稱矩陣.注：A中元素關(guān)于主對(duì)角線為對(duì)稱.如是一個(gè)三階對(duì)稱矩陣.它的元素關(guān)于A的主對(duì)角線對(duì)稱①對(duì)稱矩陣2024/7/23②反對(duì)稱矩陣定義

如果n階矩陣A=(aij)的元滿足aij=-aji(i,j=1,2,…,n),

則稱矩陣A為反對(duì)稱矩陣.注：A中主對(duì)角線元素為零.2024/7/23復(fù)習(xí)(1)矩陣的概念2024/7/23(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對(duì)角矩陣;零矩陣.2024/7/23§1.2矩陣的運(yùn)算▲矩陣相等:若矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)s×t的行數(shù)和列數(shù)對(duì)應(yīng)相等，且對(duì)應(yīng)元也相等，則稱矩陣A和B相等，記作A=B。

矩陣的意義不僅在于將一些數(shù)據(jù)排成陣列形式，而在于對(duì)它定義了一些有理論和實(shí)際意義的運(yùn)算。從而使它成為進(jìn)行理論研究或解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。稱矩陣A和B同型2024/7/23例1

設(shè)解2024/7/23一、矩陣的加法定義

設(shè)有兩個(gè)矩陣矩陣稱為矩陣A和B的和.記作2024/7/23設(shè)矩陣-A稱為A的負(fù)矩陣，顯然有A+(-A)=O.應(yīng)該注意，只有當(dāng)兩個(gè)矩陣行數(shù)相等，列數(shù)相等時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算.*①②記由此規(guī)定矩陣的減法，即矩陣A與B的差為2024/7/23例2有某種物資（單位：噸）從3個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往4個(gè)銷地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別為矩陣A與矩陣B，則從各產(chǎn)地運(yùn)往各個(gè)銷地兩次的物資調(diào)運(yùn)量（單位：噸）共為兩次調(diào)運(yùn)完后，銷地發(fā)現(xiàn)該種物資不好出售，回運(yùn)量為矩陣C則最終從產(chǎn)地到銷地的總調(diào)運(yùn)量為2024/7/23矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：A+B=B+A（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=O+A=A（4）A-A=A+(-A)=O其中A、B、C和零矩陣O是行數(shù)相等，列數(shù)相等的矩陣.2024/7/23二、數(shù)與矩陣的乘法定義

數(shù)k與矩陣A的乘積記作kA或Ak，規(guī)定為簡(jiǎn)稱為

數(shù)乘。注：1’A的負(fù)矩陣-A=(-1)A.

2’當(dāng)矩陣A的所有元都有公因子k時(shí)，k可提到矩陣外面.例diag(a,a,…,a)=adiag(1,1,…,1)=aE2024/7/23數(shù)與矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+h)A=kA+hA(3)k(hA)=(kh)A(4)1A=A，0A=O其中A、B為矩陣；k、h為數(shù).例3：已知且A+2X=B,求X.解：2024/7/23設(shè)求練習(xí)1練習(xí)2如果矩陣X滿足X-2A=B-X,其中求X.2024/7/23三、矩陣的乘法引例某地區(qū)有4個(gè)工廠I、II、III、IV，生產(chǎn)甲、乙、丙3種產(chǎn)品，矩陣A表示一年中各個(gè)工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量，矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價(jià)格及單位利潤(rùn)，矩陣C表示各工廠的總收入及總利潤(rùn)。IIIIIIIV甲乙丙甲乙丙單位價(jià)格單位利潤(rùn)IIIIIIIV總收入總利潤(rùn)第i個(gè)工廠的總收入第i個(gè)工廠的總利潤(rùn)2024/7/23所以矩陣A,B,C有如下關(guān)系其中即C中第i行第j列的元素等于矩陣A第i行元素與矩陣B第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和。將此中關(guān)系定義為矩陣的乘法。2024/7/23定義1.6

設(shè)矩陣則矩陣A與B的乘積是一個(gè)矩陣其中記作C=AB.*必須注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.2024/7/23矩陣的乘法可圖示如下：

乘積矩陣AB=C的第i行第j列元素cij就是A的第i行與B的第j列對(duì)應(yīng)元乘積的和.2024/7/23注:BA無(wú)意義,矩陣相乘具有方向性.AX稱為用X右乘A,XA稱為用X左乘A.2024/7/23解.

求與例5

設(shè)2024/7/233.矩陣的乘法不滿足消去律,即如果未必可得注由以上兩例可以看出:

1.矩陣的乘法不滿足交換律,即在一般情況下2.兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.2024/7/23例6

若，求AB與BA.解：即AB=BA定義:

如果兩個(gè)n階矩陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B可交換.2024/7/23例7

解矩陣方程解：由題目知X為二階矩陣，設(shè)代回原方程得：解得所以2024/7/23(1)(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CAk(AB)=(kA)B=A(kB),(其中k為數(shù))矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的):例8證明：若CA=AC，CB=BC，則(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB)證：因?yàn)镃A=AC,CB=BC，故(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)2024/7/23▲

、方陣的冪定義

設(shè)A是一個(gè)n階方陣，k為正整數(shù),稱為A的k次冪.這就是說(shuō)，Ak就是k個(gè)A連乘。顯然只有方陣的冪才有意義.

由于矩陣的乘法適合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足以下運(yùn)算律：AkAl=Ak+l(Ak)l=Akl其中k、l為正整數(shù).2024/7/23又因?yàn)榫仃嚦朔ㄒ话悴粷M足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)

n階方陣A與B，(AB)k

一般不等于AkBk.

如果Ak=O，也不一定有A=O.例如取而*①②2024/7/23練習(xí)3練習(xí)42024/7/23四、矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義1.7

把矩陣的行和列互換，得矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置(transpose),記作AT.到一個(gè)注：1’A是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AT=A2’A是反對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AT=-A2024/7/232.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT(4)(AB)T=BTAT

(4)的證明：設(shè)記由矩陣的乘法定義，有2024/7/23而BT的第i行為AT的第j列為因此所以即D=CT，亦即BTAT=(AB)T.對(duì)于多個(gè)矩陣相乘，有2024/7/232024/7/23例10

設(shè)列矩陣滿足證明2024/7/23小結(jié)矩陣運(yùn)算加減法數(shù)與矩陣相乘矩陣的乘法轉(zhuǎn)置矩陣2024/7/23§1.3方陣的行列式

行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要組成部分.它是研究矩陣、線性方程組、特征多項(xiàng)式的重要工具.本章從二階行列式出發(fā)，介紹了n階行列式的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法.2024/7/23一、二階行列式

為求得上述方程組的解，可利用加減消元得到：稱為方程組的系數(shù)矩陣2024/7/23

上式中的分子、分母都是四個(gè)數(shù)分兩對(duì)相乘再相減而得.為便于記憶，引進(jìn)如下記號(hào)：

稱其為系數(shù)矩陣A的行列式(determinant)，記為detA或|A|。2024/7/23

據(jù)此，解中的分子可分別記為：2024/7/23

方程組未知量的系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式例1

解二元線性方程組解方程組有唯一解.又于是方程組的解為2024/7/23二、n階行列式的定義采用遞推法給出n階行列式的定義1、對(duì)于1階方陣A=(a11)=a11

，定義detA=a11

；2、假設(shè)n-1階方陣的行列式已定義（稱為n-1階行列式），下面遞推地給出n階方陣的行列式定義（稱為n階行列式）.稱為一階行列式2024/7/231、余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式,記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.2024/7/23例1求出行列式解2024/7/23例2

求二階行列式第一行和第二列各元素的代數(shù)余子式.解設(shè)的代數(shù)余子式是的代數(shù)余子式是的代數(shù)余子式是計(jì)算2024/7/23定義1.8n階矩陣A的行列式detA（即n階行列式）定義為它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即2、n階行列式的定義注：1’上式也稱為行列式按某一行（列）展開

；

2’n階行列式是一個(gè)數(shù)值。2024/7/23例3三階行列式按第一行和第三列展開.設(shè)2024/7/23對(duì)角線法則2024/7/23例4計(jì)算行列式（按第一行和第三列展開）解:(i)因?yàn)樗?ii)因?yàn)樗?024/7/23例5計(jì)算上三角形矩陣的行列式|A|=detA（稱為上三角形行列式）解：注：1’

上三角形行列式的值等于主對(duì)角線上元的乘積

2’

同理可得下三角形行列式的值也等于主對(duì)角線上元的乘積2024/7/23三、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.(|A|=|AT|)說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.2024/7/23性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式的值變號(hào).推論

若n階矩陣A的兩行（列）完全相同，則detA=0.性質(zhì)3

行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k，等于數(shù)k乘以此行列式，即2024/7/23推論1

如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，則公因子可以提到行列式的外面.

推論3

如果行列式某行（列）元素全為零,則此行列式等于零.

推論2

如果行列式有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式等于零.2024/7/23性質(zhì)4

若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和.這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同.即式的和。

推論

如果行列式的某一行（列）的每一個(gè)元素都可以寫成個(gè)數(shù)的和，則此行列式可以寫成個(gè)行列2024/7/23性質(zhì)5行列式的某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k加到另一行（列）的相應(yīng)元素上，行列式的值不變.2024/7/23表示行列式第列.表示行列式第行.表示交換行列式第行和第行對(duì)應(yīng)元素.表示交換行列式第列和第列對(duì)應(yīng)元素.表示行列式中第行所有元素同乘以數(shù)后加到第行的對(duì)應(yīng)元素上.表示行列式中第列所有元素同乘以數(shù)后加到第列的對(duì)應(yīng)元素上.2024/7/23例6

計(jì)算行列式解2024/7/232024/7/23計(jì)算行列式時(shí)，常用行列式的性質(zhì)，把它化為三角行列式來(lái)計(jì)算．化三角行列式的步驟：i.

如果行列式第一列第一個(gè)元素為０，先將第一行與其他行交換，使第一列第一個(gè)元素不為０ii.

把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)加到其它行，使第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為０

iii.

再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式iv.

如此下去，可化為上三角行列式．2024/7/23解2024/7/23解例7

計(jì)算行列式2024/7/23例8

證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零.即證2024/7/23故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，detA=－detA，推得detA=0．例9

計(jì)算n階行列式2024/7/23解(1)

2024/7/23解(2)注意到行列式各列元素之和等于x+(n-1)a,有2024/7/23解例10

計(jì)算n階行列式2024/7/23例11

計(jì)算n階行列式解解2024/7/23例12計(jì)算階行列式。解2024/7/232024/7/23定理1.1n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即其他性質(zhì)定理1.3設(shè)A、B均為n階方陣，則有detAB=detA·detB.

推廣設(shè)A1,A2,…,Ak均為n階方陣，則有

detA1A2…Ak=detA1·detA2·…·detAk.2024/7/23例13

已知4階行列式解(方法1)(方法2)利用行列式的按列展開定理，簡(jiǎn)化計(jì)算.它是D中第2列元素與第4列元素的代數(shù)余子式的乘積之和，故有2024/7/23練習(xí)

求證:證左邊2024/7/232024/7/23§1.4矩陣的分塊在矩陣的運(yùn)算中,有一種很常見的技巧,即把矩陣進(jìn)行切塊,然后,以“塊”當(dāng)“元素”進(jìn)行計(jì)算,這就是通常所謂的“分塊矩陣”運(yùn)算。這樣做的目的,一為計(jì)算方便;二為顯示出矩陣中某些部分的特性。2024/7/23比如，設(shè)，將在行的方向分成2塊，在列的方向分成2塊,如下：2024/7/23其中：容易看出，都是一些特殊的矩陣，這可以給矩陣計(jì)算帶來(lái)很大的方便。2024/7/23定義:

將A用若干條橫線和縱線分成許多個(gè)小矩陣（A的子塊），以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.注

矩陣分塊是非常自由的，分法服從需要與方便.

例如按行分塊矩陣：

其中：一.矩陣分塊的概念2024/7/23其中：按列分塊矩陣：2024/7/23又如：②①2024/7/23二.分塊矩陣的運(yùn)算與對(duì)應(yīng)的設(shè)分塊矩陣,如果子塊和都是同型矩陣，則A與B同型且它們的分塊方法相同,則A與B的和定義為對(duì)應(yīng)子塊相加.1.分塊矩陣的加法

2024/7/232.分塊矩陣的數(shù)量乘法

設(shè)分塊矩陣是一個(gè)數(shù)，則2024/7/233.分塊矩陣的乘法

2024/7/23

例1

設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算解：將A和B分塊如下：其中2024/7/23分別計(jì)算代回上面三式即得。則2024/7/234.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置

則如果將矩陣A分塊為2024/7/235.分塊對(duì)角矩陣和分塊三角形矩陣定義形如則稱分塊矩陣A為分塊對(duì)角矩陣.分別稱為分塊上三角形矩陣和分塊下三角形矩陣。注：分塊對(duì)角（上下三角形）矩陣的行列式等于主對(duì)角線上矩陣行列式的積，即detA=detA11detA22…detAss.2024/7/23解對(duì)A與B進(jìn)行分塊例設(shè)求2024/7/23則2024/7/232024/7/23分塊之后,可以利用零矩陣和單位矩陣使運(yùn)算簡(jiǎn)化.§

1.5可逆矩陣一.

可逆矩陣的定義定義

對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階矩陣B，使得

AB=BA=E，

則矩陣A稱為可逆矩陣，簡(jiǎn)稱A可逆.矩陣B

稱為A的逆矩陣.注

定義中矩陣A和B是對(duì)稱的,所以矩陣B也是可逆的,并且A為B逆矩陣.例1單位矩陣是可逆矩陣，且其逆矩陣為不是可逆矩陣，因?yàn)閷?duì)任意矩陣,有例2

零矩陣2024/7/23階方陣定理

若可逆，則其逆矩陣唯一.(從而將的逆矩陣記為.)證:則于是所以的逆矩陣是唯一的.2024/7/23例設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法2024/7/23又因?yàn)樗?024/7/23定義

如果階方陣的行列式,則稱為非奇異的(或非退化的),否則稱為奇異的(或退化的).2024/7/23階矩陣可逆的充分必要條件

二.的伴隨矩陣，記為是一個(gè)定義

設(shè)矩陣階方陣，為的元素的代數(shù)余子式，則稱矩陣為矩陣.2024/7/23證:

必要性A可逆，即存在A-1，使AA-1=E.所以充分性設(shè)記定理階矩陣

可逆的充分必要條件是

并且當(dāng)A可逆時(shí)，有2024/7/23同理可得BA=E.所以A可逆，并且2024/7/23

同理可證,若,則A-1=B.

所以A-1存在，由此可知,定義中AB=BA=E可簡(jiǎn)化為AB=E（或BA=E）.

證:

設(shè),則故推論

設(shè)是階矩陣，若存在階矩陣，使得

或，則可逆，且B=EB從而=A-1=A-1(AB)=(A-1A)B=A-1E2024/7/23三.求逆矩陣方法⑴先求,當(dāng)時(shí)A不可逆,當(dāng)時(shí)A可逆,逆矩陣存在;2024/7/23例判斷矩陣是否可逆,若可逆,求所以存在.又2024/7/23所以故2024/7/23

解

若A-1，B-1存在，則由A-1左乘上式，B-1右乘上式，有

A-1AXBB-1=A-1CB-1,即X=A-1CB-1.因?yàn)榍缶仃嘪

使得AXB=C.例

設(shè)所以A、B都可逆.且2024/7/23于是2024/7/23例

設(shè)階矩陣滿足證明為可逆矩陣,并求(其中為常數(shù)且).解

由可得即又因?yàn)?所以即所以可逆,且2024/7/23證：由得，即：可逆，且，故再由得，即：，故可逆，且都可逆，并求它們的逆矩陣。例

設(shè)方陣滿足方程證明：，2024/7/23四.可逆矩陣的性質(zhì)

（1）若A可逆，則A-1也可逆，且(A-1)-1=A.

證:由AA-1=E得A-1也可逆，且(A-1)-1=A.

（2）若A可逆，數(shù)k不為零，則kA可逆，且(kA)-1=k-1A-1.

證:由AA-1=E，得(kA)(k-1A-1)=kk-1AA-1=E，即kA可逆，且(kA)-1=k-1A-1.2024/7/23

證:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E，由推論，得(AB)-1=B-1A-1.（4）若A可逆，則AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T.證:AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，所以(AT)-1=(A-1)T.（3）若A、B為同階方陣且均可逆，則AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1.若階方陣都可逆,則也可逆,且（5）若A可逆，則detA-1=1/detA.2024/7/23例

若A,B,C是同階矩陣且A可逆,證明下列結(jié)論中

(1),(3)成立,舉例說(shuō)明(2),(4)不必然成立.

若AB=AC,則B=C(2)若AB=CB,則A=C(3)若AB=O,則B=O(4)若BC=O,則B=O解:(1)若AB=AC,則A-1AB=A-1AC,即EB=EC,所以

B=C2024/7/23

則(2)設(shè)2024/7/23(3)若AB=O,則A-1AB=A-1O,即EB=O,所以B=O

(4)設(shè)則但2024/7/23所以D可逆,設(shè)其中是階矩陣，例

設(shè)分塊矩陣,其中是階可逆矩陣，是階可逆矩陣，證明：可逆并求。是階矩陣，則證：因?yàn)?/p>

2024/7/23整理得

解得：從而2024/7/23則A可逆,且對(duì)于分塊對(duì)角矩陣(其中都是方陣)有如下結(jié)論:2024/7/23特別地則可逆，且若2024/7/23例解故2024/7/23例設(shè)解2024/7/23解例等式兩邊同時(shí)右乘等式兩邊同時(shí)左乘2024/7/232024/7/23五、小結(jié)逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣存在2024/7/23§1.6矩陣的初等變換定義

矩陣的行（列）初等變換指的是一個(gè)矩陣施

行的下列三種變換：2.用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；1.交換矩陣的兩行（列）；

一.矩陣的初等變換2024/7/233.用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上。

矩陣的行初等變換和列初等變換統(tǒng)稱為初等變換。

2024/7/23表示交換矩陣第行和第行對(duì)應(yīng)元素.表示矩陣第行.表示矩陣第列.表示交換矩陣第列和第列對(duì)應(yīng)元素.表示矩陣中第行所有元素同乘以數(shù)后加到第行的對(duì)應(yīng)元素上.表示矩陣中第列所有元素同乘以數(shù)后加到第列的對(duì)應(yīng)元素上.2024/7/23例題2024/7/23定義

對(duì)單位矩陣作一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣。1.交換單位矩陣的第行（或列）得到的初等矩陣記為，即三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣：二.初等矩陣2024/7/23第行第行2024/7/23的第行（或列）得到2.用數(shù)乘單位矩陣的初等矩陣記為，即行第2024/7/23把單位矩陣的第列的倍加到第列上）得到的初等矩陣記為，即3.把單位矩陣的第行的倍加到第行上（或2024/7/23從而初等矩陣的逆矩陣還是同型的初等矩陣。

（2）初等矩陣都是可逆矩陣，且定理設(shè)初等變換相當(dāng)于在矩陣的左邊乘以一個(gè)相應(yīng)的施行一次行矩陣，對(duì)矩陣是一個(gè)施行一次列初等變換相當(dāng)于在階初等矩陣；對(duì)矩陣階初等矩陣。的右邊乘以一個(gè)相應(yīng)的矩陣即有：性質(zhì)（1）初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等矩陣,且2024/7/232024/7/232024/7/232024/7/232024/7/23例：矩陣（1）將矩陣A的第3列和第1列交換：（2）將矩陣A的第3行乘2加到第1行：2024/7/23（3）將矩陣A的第3行乘2：2024/7/231.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定義1.15

若矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到，則稱A與B是等價(jià)的（或相抵的）。三.求逆矩陣的初等變換法2024/7/23特點(diǎn)：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素均為0.定理1.7

任意矩陣A都與一個(gè)形如的矩陣等價(jià)。這個(gè)矩陣稱為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。2024/7/23證如果所有的都等于零,則已是D的形式,此時(shí),加到第行現(xiàn)將矩陣的第一行乘,再將所得的矩陣的第一列乘加到第列然后用乘第一行,于是矩陣化為如果至少有一個(gè)不等于零,不妨設(shè)2024/7/23如果則已化為D的形式,那么按上面的方法繼續(xù)下去,直到化為D的形式.如果2024/7/23例1：化下列矩陣為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形（1）（2）解：（1）（2）2024/7/23

推論1對(duì)于任意矩陣A，存在m階初等矩陣和n階初等矩陣使得

推論2對(duì)于任意矩陣A，存在m階可逆矩陣和n階可逆矩陣使得2024/7/23注：此推論告訴我們，當(dāng)A可逆時(shí)，則A經(jīng)過(guò)一系列的初等變換后總可以化為單位矩陣。推論3n階矩陣A可逆的充分必要條件是A

的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為En.推論4

n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.2024/7/23若A可逆，則存在初等矩陣和使得充分性.若A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積，則由于初等矩陣都可逆，所以A也可逆。所以即A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。證

必要性.2024/7/232.求逆矩陣的初等變換法作同樣和同階的單位矩陣結(jié)論:如果對(duì)可逆矩陣的行初等變換，那么當(dāng)變?yōu)閱挝痪仃嚂r(shí)，就變?yōu)榫仃嚕矗?/p>

同理地，對(duì)作同樣的列初等變換，和同階的單位矩陣可逆矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚂r(shí)，就變?yōu)榫仃嚹敲串?dāng)，即：2024/7/23例

求的逆矩陣。解2024/7/232024/7/23設(shè)A為n階可逆矩陣,求解矩陣方程AX=B.方法一:先求出,然后計(jì)算方法二:設(shè)A為n階可逆矩陣,求解矩陣方程XA=B.方法一:先求出,然后計(jì)算方法二:2024/7/23例

求解矩陣方程AX=B,其中解法一:2024/7/232024/7/23解法二:2024/7/23一.矩陣的k階子式(定義1.9)書P25

（行,列）,

位于這些行和k行k列定義:設(shè)是一個(gè)矩陣,則在矩陣A中任取階行列式:叫做A的一個(gè)k階子式.個(gè)元素按照原來(lái)相應(yīng)位置所構(gòu)成的列相交處的§

1.7矩陣的秩2024/7/23為一階子式;其中為二階子式;為三階子式.2024/7/23思考m×n矩陣A的k階子式共有多少個(gè)？二.矩陣的秩定義:設(shè)是一個(gè)矩陣,如果A中不等于零的子式的最高階數(shù)為r,即存在一個(gè)r階子式不為零,而任何r+1階子式皆為零,則稱r為矩陣A的秩,記作秩(A)

=r或r(A)

=

r.2024/7/23注:1.

當(dāng)A=O時(shí),規(guī)定r

(A)=

02.4.3.當(dāng)

時(shí),稱矩陣A為滿秩矩陣5.若,則r

(A)=n的充分必要條件是2024/7/23解矩陣A的三階子式共有4個(gè):矩陣A的二階子式共有18個(gè),其中所以例求的秩.2024/7/23解矩陣A的三階子式共有4個(gè):

矩陣A的二階子式共有18個(gè)均為零:一階子式例求

的秩.所以2024/7/23例解三.求秩方法行階梯形矩陣特點(diǎn)：橫線下方全是0；每階只有一行，階數(shù)即非零行數(shù)；豎線后面第一個(gè)元素為非零元.2024/7/23定理1.9:

任一矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換后其秩不變.包括（1）互換兩行（列），其秩不變；（2）非零數(shù)k乘以第i行（列），其秩不變；（3）非零數(shù)k

乘以第i行（列）加到第

j行（列）,

其秩不變.定理1.8:

任意一個(gè)矩陣，均可以經(jīng)過(guò)一系列行初等變換化為梯矩陣.

初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.2024/7/23所以2024/7/23所以2024/7/23所以2024/7/23稱為行最簡(jiǎn)形矩陣特點(diǎn)：各階第一個(gè)非零元都是1且所在列其余元素均為0.2024/7/232024/7/23第2章線性方程組§2.1線性方程組§2.2向量及其線性運(yùn)算§2.3向量間的線性關(guān)系§2.4向量組的秩§2.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)§2.6Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基2024/7/23本章要點(diǎn)線性方程組向量組的線性相關(guān)性解法(消元法)解的判定解的結(jié)構(gòu)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)極大無(wú)關(guān)組與秩2024/7/23§2.1線性方程組線性方程組的一般形式:

當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不全為零時(shí),稱為非齊次線性方程組;

當(dāng)常數(shù)項(xiàng)全等于零時(shí),稱為齊次線性方程組.設(shè)

稱A為(2.1)的系數(shù)矩陣.一、n元線性方程組的相關(guān)概念2024/7/23稱為n元未知量矩陣.稱為(2.1)的常數(shù)項(xiàng)矩陣.于是線性方程組(2.1)寫成矩陣方程形式

將系數(shù)矩陣A和常數(shù)項(xiàng)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣,即稱為(2.1)的增廣矩陣(2.1)一一對(duì)應(yīng)2024/7/23二、克拉默(Cramer)法則注：

Cramer法則僅適用于方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)情形。

考慮未知量的個(gè)數(shù)與線性方程的個(gè)數(shù)相同的情況:(2.2)2024/7/23對(duì)于二元線性方程組其中2024/7/23推廣到n元線性方程組其中定理2.1(克拉默法則)如果線性方程組(2.2)的系數(shù)行列式則線性方程組有惟一的一個(gè)解并且

(2.3)克拉默法則的結(jié)論包含三層涵義:①方程組(2.2)有解;②解是惟一的;③方程組的解可由公式(2.3)給出.2024/7/23證明：方程組(2.2)的矩陣形式為AX=B,∵detA≠0,∴A可逆，故X=A-1B。又∵A-1=A*/detA，2024/7/23其中從而又因?yàn)锳的逆矩陣惟一，所以方程組的解惟一

思考：如果非齊次線性方程組(2.2)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解,那么它的系數(shù)行列式=？2024/7/23解例1

解線性方程組方程組的系數(shù)行列式所以方程組有惟一解,而2024/7/23所以方程組的解為注當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式等于零時(shí),不能應(yīng)用克拉默法則求解.2024/7/23

考慮齊次線性方程組定理2.2

如果齊次線性方程組(2.4)的系數(shù)行列式D≠0那么齊次線性方程組(2.4)只有零解.即,如果齊次線性方程組(2.4)有非零解,那么齊次線性方程組(2.4)的系數(shù)行列式D=0.(2.4)2024/7/23例2

如果齊次線性方程組

有非零解,求k值.

解

方程組的系數(shù)行列式

2024/7/23課堂練習(xí)練習(xí)答案或提示2024/7/23

在中學(xué)代數(shù)中,已經(jīng)學(xué)過(guò)用消元法解簡(jiǎn)單的線性方程組,這一方法也適用于求解一般線性方程組（2.1）,并可用其增廣矩陣的行初等變換表示其求解過(guò)程。消元法的基本思想是通過(guò)消元變形把方程組化成容易求解的同解方程組。在解未知數(shù)較多的方程組時(shí)，需要使消元步驟規(guī)范而又簡(jiǎn)便。下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明消元法的具體做法：解題方法說(shuō)明:三、線性方程組的消元解法2024/7/23引例

解線性方程組：回憶在中學(xué)是如何解此方程組…2024/7/23解：將原方程組的第二個(gè)與第三個(gè)方程分別減去第一個(gè)方程的倍和倍，得：將方程組（2）中的第三個(gè)方程加上第二個(gè)方程的倍，得：2024/7/23將方程組（3）中的第三個(gè)方程乘以，得：將方程組（4）中的第一方程及第二個(gè)方程分別加上第三個(gè)方程的1倍及倍，得：2024/7/23將方程組（5）中的第二個(gè)方程乘以，得將方程組（6）中的第一個(gè)方程加第二個(gè)方程的-2倍，得：2024/7/23最后以乘以方程組（7）中第一個(gè)方程，得：顯然，方程組（1）至（8）都是同解方程組，因而（8）是方程組（1）的解。2024/7/23

從上述解題過(guò)程可以看出，用消元法解線性方程組的具體做法是對(duì)方程組反復(fù)施行下列三種變換：

1)互換兩個(gè)方程的位置；

2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘某一個(gè)方程；

3)一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程。這三種變換稱為線性方程組的初等變換。線性方程組的初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程組。2024/7/23解題分析:從引例的解題過(guò)程中看到，對(duì)方程組用初等變換作消元法，只是對(duì)未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，因此可以用方程組的增廣矩陣的行初等變換來(lái)表示：2024/7/23由最后一個(gè)矩陣得到方程組的解：2024/7/23在對(duì)一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，目的是消去未知量，也就是說(shuō)，把方程組的左端化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得方程組的解，而由引例的題解過(guò)程又知道，化簡(jiǎn)方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣。對(duì)一般的線性方程組來(lái)說(shuō)，只通過(guò)行初等變換一般不能把它的系數(shù)矩陣化為如引例那樣的對(duì)角矩陣的簡(jiǎn)單形式，但只通過(guò)行初等變換可以把任一個(gè)矩陣化為階梯形矩陣。2024/7/23可以通過(guò)行互換變換將的第一列的某一非零元換到第一行來(lái)，因此可以假設(shè)將加到第第一行的元素乘上行，2024/7/23則變?yōu)?，其中是一個(gè)陣，對(duì)矩陣重復(fù)上面的步驟進(jìn)行,如有必要可重新排列方程中未知量的順序,最后可以把化為如下形狀的階梯形矩陣矩2024/7/23與其對(duì)應(yīng)的階梯形線性方程組為：由上述討論知，線性方程組（2.1）與線性方程組（2.6）是同解方程組，因此，要解線性方程組（2.1），只需解線性方程組（2.6），但方程組（2.6）是否有解以及有怎樣的解都容易看出。2024/7/23情形1：若這時(shí)方程組(2.6)中的最后一個(gè)方程為矛盾方程,故方程組(2.6)無(wú)解,從而原方程組(2.1)無(wú)解.情形2：若

這時(shí)有兩種情況:10當(dāng)r=n時(shí),方程組(2.6)可寫成:2024/7/23這時(shí)，方程組（2.7）有惟一解，從而得到線性方程組（2.1）的惟一解。時(shí)，方程組（2.6）可以改寫為：20

當(dāng)2024/7/23于是，給予末知量以任意一組數(shù)值就得到方程組（2.9）的一個(gè)解：由（2.8）可得2024/7/23這也是方程組（2.1）的一組解。由于可以任意選取，用這種方法可以得到方程組（2.1）的無(wú)窮多解。常把末知量叫做自由末知量。2024/7/23求解步驟:①

②

分兩種情況:II)當(dāng)時(shí),分下列兩種情況:ii)

當(dāng)r<n時(shí),方程組有無(wú)窮多個(gè)解,且自由未知量的個(gè)數(shù)為n-r.i)

當(dāng)r=n時(shí),方程組有唯一解.方程組的解通過(guò)回代即可得.r實(shí)質(zhì)上是A的秩即r(A)=r這里r代表什么?I)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解.當(dāng)時(shí),r()=?=r+12024/7/23定理2.3

n元線性方程組（2.1）有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等,即

四、線性方程組有解的判定定理2024/7/23方程組有惟一解的充分必要條件是方程組無(wú)解充分必要條件是

方程組有無(wú)窮多個(gè)解的充分必要條件是關(guān)于非齊次線性方程組的結(jié)論且自由未知量的個(gè)數(shù)為n-r.2024/7/23齊次線性方程組：2024/7/23關(guān)于齊次線性方程組（2.11）的結(jié)論方程組僅有零解的充分必要條件是當(dāng)齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)時(shí)，必有這時(shí)齊次線性方程組一定有非零解.方程組有非零解的充分必要條件是當(dāng)齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有非零解充分必要條件是2024/7/23例1

解非齊次線性方程組解2024/7/23例2

解非齊次線性方程組解2024/7/23例3

解非齊次線性方程組解2024/7/232024/7/23練習(xí)答案2024/7/23解

2024/7/23解原方程組的同解方程組為例5.解齊次線性方程組

2024/7/232024/7/23練習(xí)答案2024/7/23例6

取何值時(shí),線性方程組解方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為(1)2024/7/23由于根據(jù)克萊姆法則,得到惟一解2024/7/23(2)2024/7/23令2024/7/23例7有解?有解時(shí)求出全部解.解2024/7/23繼續(xù)進(jìn)行行初等變換2024/7/232024/7/23練習(xí)答案2024/7/23§2.2向量及其線性運(yùn)算定義2.1

n個(gè)數(shù)a1,a2,…,an組成的一個(gè)有序數(shù)組(a1,a2,…,an)

稱為一個(gè)n維向量,常用希臘字母α,β,γ,ε,η,…表示.一.n維向量的定義列向量其中第i個(gè)數(shù)ai稱為向量的第i個(gè)分量.行向量列向量即為列矩陣,行向量即為行矩陣.這里向量概念是解析幾何中向量的推廣.注：這里β=αT2024/7/23每個(gè)分量都為零的向量稱為零向量，記為，即，或負(fù)向量：稱向量為向量的負(fù)向量，記為向量相等:設(shè)若則零向量：二.相關(guān)定義2024/7/23一組同維的行向量(列向量),稱為向量組.三.向量與矩陣,顯然矩陣A既對(duì)應(yīng)m個(gè)行向量,又對(duì)應(yīng)n個(gè)列向量:2024/7/23類似向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．向量組,,…，稱為矩陣A的列向量組．2024/7/23四.向量的線性運(yùn)算向量加法向量數(shù)乘定義

設(shè)為一實(shí)數(shù)向量減法2024/7/23這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律:

滿足以上8條性質(zhì)的向量加法、數(shù)乘兩種運(yùn)算,稱為向量的線性運(yùn)算.設(shè)都是n維向量，都是實(shí)數(shù)，則2024/7/23由定義可知,空間概念是集合與運(yùn)算二者的結(jié)合.2024/7/23子空間的定義

定義設(shè)V是Rn

的一個(gè)非空子集，若滿足

(1)對(duì)任意α,β∈V，有α+β∈V（加法封閉）；

(2)對(duì)任意k∈R,α∈V,有kα∈V（數(shù)乘封閉）。則稱V是Rn

的一個(gè)子空間。例

RnRn

，所以Rn是自身的一個(gè)子空間；

V={(0,0,…,0)T}Rn,也是一個(gè)子空間，稱之為

零子空間。

V={(a,0,0)T|a∈R}R3,為R3的一個(gè)子空間。2024/7/23例已知⑴求⑵若求解

⑴⑵由得2024/7/23例設(shè)向量和,滿足,,求向量和.解因?yàn)?α=（α+β）+（α-β）=(6，4，8)T所以α=1/2(6，4，8)T=(3，2，4)T

又因?yàn)?β=（α+β）-（α-β）=(6，6，4)T所以β=1/2(6，6，4)T=(3，3，2)T

2024/7/23§2.3向量間的線性關(guān)系一、向量的線性組合1、引例：向量與方程組設(shè)線性方程組的矩陣形式為AX=β,其中2024/7/23即存在x1=k1,x2=k2,…,xn

=kn使得β=k1α1+k2α2+…+knαn,也即β可表成α

1,α

2,…,α

n的線性關(guān)系式或線性組合。則稱向量β可由向量組線性表示（出）.若存在一組數(shù)定義2.8

對(duì)給定向量使得表達(dá)式成立?；蛳蛄喀率窍蛄拷M的線性組合.方程組有解成立.

R(A)=R(A)成立.2024/7/23例1

令，其中第個(gè)分量為1，其余分量為零，。則任一個(gè)維向量都可由向量組線性表示，例2

零向量都可由任一向量組線性表示，并且有且有.例3

向量組中的任一向量都可由該向量組線性表示，并且有2024/7/23定理設(shè)則可由線性表示的充分必要條件是：線有解，而且這個(gè)線性方程組的每個(gè)解都可取作的線性組合的系數(shù)。性方程組：表成2、可線性表示的充分必要條件2024/7/23證：β可由向量組線性表示的充分必要條件是存在數(shù)x1,x2,…,xn

使得2024/7/23

可由向量組則向量

線性表示的充分

定理設(shè)必要條件是:以為列向量的矩陣與以為列向量的矩陣有相同的秩。注：判斷向量β能否由向量組線性表示的問(wèn)題,

可以轉(zhuǎn)化為判斷線性方程組是否有解的問(wèn)題.

2024/7/23解考慮即非齊次線性方程組對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換,得2024/7/23方程組有唯一解:2024/7/23解例2

試問(wèn)下列向量b能否由其余向量線性表示?若能,寫出線性表示式:

2024/7/23對(duì)矩陣進(jìn)行行初等變換,得2024/7/23繼續(xù)用行初等變換將矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣,可得2024/7/23這是無(wú)窮多種表達(dá)式之中的一個(gè).2024/7/23練習(xí)：答案：2024/7/23線性方程組

若令則方程組可寫為向量方程二、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)2024/7/23

對(duì)向量組,若存在不全為零的實(shí)數(shù)使得則稱線性相關(guān);否則稱為線性無(wú)關(guān),即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式成立,

則稱線性無(wú)關(guān).定義例：設(shè)α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)，α4=(2,-1,0),

則2α1-α2-α4=0，故α1,α2,α4線性

相關(guān)。而α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)。1、定義2024/7/23有非零解。定理設(shè)則向量組線性相關(guān)的充分必要條件是:線性方程組：2、線性相關(guān)性的判定2024/7/23

必要條件是：以為列向量的矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)n。

定理設(shè)m維列向量組其中則向量組線性相關(guān)的充分2024/7/23①m維列向量組α1,α2,…,αn，線性無(wú)關(guān)的充要條件是：以α1,α2,…,αn為列向量的矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù)n。注：⑤②

n維列向量組α1,α2,…,αn，線性相關(guān)的充要條件是：

以α1,α2,…,αn為列向量的矩陣A的秩小于向量的個(gè)數(shù)n。也即|A|=0.③n維列向量組α1,α2,…,αn，線性無(wú)關(guān)的充要條件是：

以α1,α2,…,αn為列向量的矩陣A的秩等于向量的個(gè)數(shù)n。也即|A|≠0.④當(dāng)向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)，此向量組線性相關(guān)。2024/7/23例1

含有零向量的向量組必線性相關(guān)。對(duì)向量組有是線性無(wú)關(guān)的。維向量

，則向量組線性相關(guān)。例3例4

單個(gè)向量線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）當(dāng)且僅當(dāng)向量（非零向量）。為零維向量組例22024/7/23解令矩陣2024/7/23另一解法2024/7/23

例6

判斷向量組是否線性相關(guān)?

解令矩陣2024/7/23

解

令矩陣2024/7/23當(dāng)即且且時(shí)，當(dāng)或2024/7/23另一解法

所以當(dāng)即且時(shí)，因?yàn)?，?dāng)或2024/7/23

例8

設(shè)線性無(wú)關(guān),試討論的線性相關(guān)性.

解:設(shè)整理得由線性無(wú)關(guān)得

即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)(*)式成立,所以,向量組線性無(wú)關(guān).2024/7/23該定理的逆否命題為：

若一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則其任一部分組也線性無(wú)關(guān)。

部分相關(guān),則整體相關(guān).整體無(wú)關(guān),則部分無(wú)關(guān).則存在不全為零的實(shí)數(shù)使得顯然，成立，即線性相關(guān).

定理

如果一個(gè)向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān).

設(shè)中部分組線性相證關(guān)，2024/7/23(1)線性無(wú)關(guān);(2)線性相關(guān);練習(xí)：答案：2024/7/23三、線性相關(guān)與線性表示的關(guān)系推論

向量組線性無(wú)關(guān)其中任一向量都不能由其它向量線性表示.2024/7/23設(shè)是其余s-1個(gè)向量的線性組合,則存在一

顯然,即:線性相關(guān).設(shè)線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)則即:可由線性表示.(2)證(1)顯然.組數(shù)使得2024/7/23則，否則有：線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由向量組線性表示且表示法唯一。定理

若向量組證：因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)，使得：，再由線性無(wú)關(guān)得2024/7/23即可由向量組線性表示。再證表示法唯一，設(shè)有兩種表示法：則有與不全為零矛盾。因此，從而有2024/7/23因此

故

可由向量組

線性表示且表示法唯一。

由線性無(wú)關(guān)得:中的

個(gè)向量則

中的任一向量

可由

表示法唯一。

推論如果線性無(wú)關(guān)，線性表示，且2024/7/23

若可由向量組線性表示,則表示法惟一的充分必要條件是向量組線性無(wú)關(guān).定理2.72024/7/23§2.4向量組的秩一、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組即:向量組中線性無(wú)關(guān)的部分組不惟一存在；線性無(wú)關(guān)的部分組包含向量的個(gè)數(shù)也可能不一樣.線性無(wú)關(guān),

考察向量組可見線性無(wú)關(guān),線性無(wú)關(guān),另外，任意4個(gè)向量的組合都線性相關(guān)，如

這里,具有這樣特性（線性無(wú)關(guān)，個(gè)數(shù)再多一個(gè)就線性相關(guān)）的就是以下要引入的極大線性無(wú)關(guān)組.2024/7/23(2)

該向量組中任意r+1個(gè)向量（如果有的話）都線性相關(guān).注意:“極大”是指該部分組是向量組中包含向量個(gè)數(shù)“最多”的線性無(wú)關(guān)向量組.

若一個(gè)向量組的部分組滿足(1)線性無(wú)關(guān);定義2.11

則稱為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。2024/7/23由零向量組成的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組;在包含非零向量的向量組中有極大無(wú)關(guān)組,且極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)不小于1;線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組是這個(gè)向量組本身.一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不是唯一的;例

設(shè)

組的極大無(wú)關(guān)組。

或或都是向量或

或則向量組2024/7/231、定義2.12

若向量組(I)中每個(gè)向量均可由向量組(II)線性表示,則稱

向量組(I)可以由向量組(II)線性表示.

若向量組(I)和(II)可以相互線性表示出，則稱向量組(I)和(II)等價(jià)，記作(I)≌(