2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.3-隨機(jī)事件的概率與古典概型【課件】

第三節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建課前自修

1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互

為對(duì)立事件的是（

）A.至多一次中靶B.

兩次都中靶C.只有一次中靶D.

兩次都沒(méi)有中靶解析：

連續(xù)射擊兩次中靶的情況如下：①兩次都中靶；②只有

一次中靶；③兩次都沒(méi)有中靶，故選D.2.（教材題改編）把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲1000次，其中有

496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝上的概率為

（

）A.0.496B.0.504C.0.5D.1解析：

擲一次硬幣正面朝上的概率是0.5.3.從集合{1，2，4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)

a

，從集合{2，4，5}中隨機(jī)抽

取一個(gè)數(shù)

b

，則向量

m

＝（

a

，

b

）與向量

n

＝（2，－1）垂直的概

率為（

）

?

若事件

A

1，

A

2，…，

An

兩兩互斥，則

P

（

A

1∪

A

2∪…∪

An

）＝

P

（

A

1）＋

P

（

A

2）＋…＋

P

（

An

）.

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占

總產(chǎn)量的0.20，0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95，

0.96，0.97，0.98，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格產(chǎn)

品的概率是

?.解析：由結(jié)論可知：

P

＝0.2×（1－0.95）＋0.25×（1－0.96）＋0.3×

（1－0.97）＋0.25×（1－0.98）＝0.034.0.034PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練隨機(jī)事件關(guān)系的判斷1.（多選）下列各組事件中是互斥事件的是（

）A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70％與合格率低于70％解析：

對(duì)于A，一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與

命中環(huán)數(shù)小于6不可能同時(shí)發(fā)生，故A中兩事件為互斥事件.對(duì)于B，

設(shè)事件

A

1為平均分不低于90分，事件

A

2為平均分不高于90分，則

A

1∩

A

2為平均分等于90分，

A

1，

A

2可能同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥

事件.對(duì)于C，播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒不可能同時(shí)發(fā)

生，故C中兩事件為互斥事件.對(duì)于D，檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于

70％與合格率低于70％不可能同時(shí)發(fā)生，故D中兩事件為互斥事件.

故選A、C、D.2.口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取

出3個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的事件是（

）A.至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)黑球B.至少有1個(gè)紅球與都是黑球C.至少有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)黑球D.恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球解析：

對(duì)于A，不互斥，如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至少有1

個(gè)黑球不是互斥事件，所以A不符合題意；對(duì)于B，至少有1個(gè)紅球

與都是黑球不能同時(shí)發(fā)生，且必有其中1個(gè)發(fā)生.所以為互斥事件，

且為對(duì)立事件，所以B不符合題意；對(duì)于C，不互斥.如取出2個(gè)紅球

和1個(gè)黑球，與至多有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以C不符合題意；

對(duì)于D，恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球不能同時(shí)發(fā)生，所以為互斥事

件，但不對(duì)立，如恰有3個(gè)紅球.3.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：

Ci

＝“點(diǎn)數(shù)為

i

”，

其中

i

＝1，2，3，4，5，6；

D

1＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”；

D

2＝“點(diǎn)數(shù)

大于2”；

D

3＝“點(diǎn)數(shù)大于4”，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為

?.（1）

C

1與

C

2互斥；（2）

C

2，

C

3為對(duì)立事件；（3）

C

3?

D

2；

（4）

D

3?

D

2；（5）

D

1∪

D

2＝Ω，

D

1∩

D

2＝?；（6）

D

3＝

C

5∪

C

6.5解析：該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，由題意知

Ci

＝{

i

}，

D

1＝{1，2}，

D

2＝{3，4，5，6}，

D

3＝{5，6}.

（1）

C

1＝{1}，

C

2＝{2}，滿足

C

1∩

C

2＝?，所以

C

1與

C

2互

斥，故正確.（2）

C

2＝{2}，

C

3＝{3}，滿足

C

2∩

C

3＝?但不

滿足

C

2∪

C

3＝Ω，所以為互斥事件，但不是對(duì)立事件，故錯(cuò)

誤.根據(jù)對(duì)應(yīng)的集合易得，（3）（4）（5）正確.（6）

C

5∪

C

6＝{5，6}，所以

D

3＝

C

5∪

C

6，故正確.故正確的個(gè)數(shù)為5.練后悟通事件關(guān)系判斷的策略（1）判斷事件的包含、交、并關(guān)系時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二

是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)

可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系運(yùn)用Venn

圖分析事件；（2）判斷事件的互斥、對(duì)立關(guān)系時(shí)一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)

生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，

則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.反之互斥

事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；對(duì)立事

件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)

生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生.用頻率估計(jì)概率【例1】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成

本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)

格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫

（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最

高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各

天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為

Y

（單位：元），當(dāng)六月份

這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出

Y

的所有可能值，并估

計(jì)

Y

大于零的概率.

解題技法1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率

是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大

小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件

發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為

a

（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱

為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85

a

a

1.25

a

1.5

a

1.75

a

2

a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)

計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010（1）記

A

為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求

P

（

A

）的估計(jì)值；

（2）記

B

為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基

本保費(fèi)的160％”，求

P

（

B

）的估計(jì)值；

（3）求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.解：由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85

a

a

1.25

a

1.5

a

1.75

a

2

a

頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85

a

×0.30＋

a

×0.25＋1.25

a

×0.15＋1.5

a

×0.15＋1.75

a

×0.10＋2

a

×0.05＝1.1925

a

.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925

a

.古典概型【例2】

（1）（2024·全國(guó)甲卷4題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中

高一、高二年級(jí)各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則

這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）

（2）（2024·新高考Ⅰ卷5題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的

數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）

2.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的

問(wèn)題；（2）樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹狀圖在解決求

樣本點(diǎn)總數(shù)和事件

A

包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)直觀、方

便，但畫樹狀圖時(shí)要注意按照一定的順序確定分枝，避免造

成遺漏或重復(fù)；（3）排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排

列、組合的知識(shí).

1.（2024·全國(guó)乙卷9題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參

賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽

到不同主題的概率為（

）

2.（2024·全國(guó)甲卷15題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)

在同一個(gè)平面的概率為

?.

互斥事件與對(duì)立事件的概率【例3】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1

000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).

設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為

A

，

B

，

C

，求：（1）1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；

（2）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.

解題技法互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件

概率的加法公式求解概率；（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分

類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概

率，即運(yùn)用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至

多”型事件的概率.

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：（1）至多2人排隊(duì)等候的概率；解：記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件

A

，“1人排隊(duì)等候”為事件

B

，“2人排隊(duì)等候”為事件

C

，“3人排隊(duì)等候”為事件

D

，

“4人排隊(duì)等候”為事件

E

，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件

F

，則事件

A

，

B

，

C

，

D

，

E

，

F

彼此互斥.記“至多2人排隊(duì)等候”為事件

G

，則

G

＝

A

∪

B

∪

C

，所以

P

（

G

）＝

P

（

A

∪

B

∪

C

）＝

P

（

A

）＋

P

（

B

）＋

P

（

C

）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.（2）至少3人排隊(duì)等候的概率.解：法一記“至少3人排隊(duì)等候”為事件

H

，則

H

＝

D

∪

E

∪

F

，所以

P

（

H

）＝

P

（

D

∪

E

∪

F

）＝

P

（

D

）＋

P

（

E

）＋

P

（

F

）＝

0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件

H

，則其對(duì)立事件為事件

G

，

所以

P

（

H

）＝1－

P

（

G

）＝0.44.PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.下列說(shuō)法正確的是（

）A.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事

件發(fā)生的概率D.某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70％”，指的是：該市氣象

臺(tái)專家中，有70％認(rèn)為明天會(huì)降水，30％認(rèn)為明天不會(huì)降水12345678910111213141516171819202122232425262728

A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡

3.（2024·成都模擬）某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)7

nm規(guī)格的芯片.現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中來(lái)自甲、乙、丙的芯

片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊.若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品

率分別為0.8，0.8，0.7，則從這25塊芯片中隨機(jī)抽取一塊，該芯片

為優(yōu)質(zhì)品的概率是（

）A.0.76B.0.64C.0.58D.0.48

4.《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦

由三根線組成（“

”表示一根陽(yáng)線，“

”表示一根陰線），

現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽(yáng)線數(shù)目相同的概率為（

）

5.（多選）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中

一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨

機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件

A

為“是一等品”，

B

為“是合格品”，

C

為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（

）C.

P

（

A

∩

B

）＝0D.

P

（

A

∪

B

）＝

P

（

C

）C

6.（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A.若事件

A

與

B

互斥，則

A

∪

B

是必然事件B.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著.

若在這四大名著中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進(jìn)行閱讀，設(shè)事

件

E

＝“甲取到《紅樓夢(mèng)》”，事件

F

＝“乙取到《紅樓夢(mèng)》”，

則

E

與

F

是互斥但不對(duì)立事件C.擲一枚骰子，記錄其向上的點(diǎn)數(shù)，記事件

A

＝“向上的點(diǎn)數(shù)不大于

5”，事件

B

＝“向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則

B

?

A

D.10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)次品，從中抽取一個(gè)產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空

間含有2個(gè)樣本點(diǎn)解析：

對(duì)于A，事件

A

與

B

互斥時(shí)，

A

∪

B

不一定是必然事

件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件

E

與

F

不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以

E

與

F

是互

斥事件，但除了事件

E

與

F

之外還有事件“丙取到《紅樓

夢(mèng)》”“丁取到《紅樓夢(mèng)》”，所以

E

與

F

不是對(duì)立事件，故

E

與

F

是互斥但不對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，事件

A

＝{1，2，3，

4，5}，事件

B

＝{2，3，5}，所以

B

包含于

A

，故C正確；對(duì)于D，

樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個(gè)樣本點(diǎn)，故D正確.7.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，兩數(shù)中至少有一個(gè)奇

數(shù)的概率為

；以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)

x

，第二次向上

的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)

y

的點(diǎn)（

x

，

y

）在圓

x

2＋

y

2＝15的內(nèi)部的概率

為

?.

8.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、音樂(lè)3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有

39，32，33名成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖

所示.現(xiàn)隨機(jī)選取一名成員，則他至少參加2個(gè)小組的概率為

，他

至多參加2個(gè)小組的概率為

?.

9.在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

D

為側(cè)棱

CC

1的中點(diǎn)，從該三棱柱的九

條棱中隨機(jī)選取兩條，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線

BD

異面的概率是（

）

10.中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)

艙，假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁4名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中

天和核心艙安排2人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，則甲

乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為（

）

11.（多選）小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時(shí)間（分

鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時(shí)間（分鐘）30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”

是對(duì)立事件B.從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率

為0.04則下列說(shuō)法正確的是（

）解析：

對(duì)于選項(xiàng)A，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間

為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，

線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝