高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用限時(shí)集訓(xùn) 理

限時(shí)集訓(xùn)(十一)函數(shù)模型及其應(yīng)用(限時(shí)：50分鐘滿分：106分)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分)1.如圖是張大爺晨練時(shí)所走的離家距離(y)與行走時(shí)間(x)之間的函數(shù)關(guān)系圖，若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()2．(·濟(jì)南模擬)某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A．45.606萬(wàn)元 B．45.6萬(wàn)元C．45.56萬(wàn)元 D．45.51萬(wàn)元3．某地年底人口為500萬(wàn)，人均住房面積為6m2，如果該城市人口平均每年增長(zhǎng)率為1%.問(wèn)為使年底該城市人均住房面積增加到7m2，平均每年新增住房面積至少為(1.01A．90萬(wàn)m2 B．87萬(wàn)m2C．85萬(wàn)m2 D．80萬(wàn)m24．某產(chǎn)品的總成本y(單位：萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(單位：臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷(xiāo)售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A．100臺(tái) B．120臺(tái)C．150臺(tái) D．180臺(tái)5．某商店按每件80元的成本購(gòu)進(jìn)某商品1000件，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷(xiāo)售價(jià)為每件100元時(shí)可全部售完，定價(jià)每提高1元時(shí)銷(xiāo)售量就減少5件．若要獲得最大利潤(rùn)，則銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每件()A．100元 B．110元C．150元 D．190元6．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定價(jià)20元，羽毛球每個(gè)定價(jià)5元，該店制定了兩種優(yōu)惠方法：①買(mǎi)一副球拍贈(zèng)送一個(gè)羽毛球；②按總價(jià)的92%付款．現(xiàn)某人計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)4副球拍和30個(gè)羽毛球，兩種方法中，更省錢(qián)的一種是()A．不能確定 B．①②同樣省錢(qián)C．②省錢(qián) D．①省錢(qián)7．圖形M(如圖所示)是由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩個(gè)矩形所構(gòu)成，函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖形M介于平行線y＝0及y＝a之間的那一部分面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致是()8．某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°(如圖)，考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米．要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過(guò)10.5米，則其腰長(zhǎng)x的范圍為()A．[2,4]B．[3,4]C．[2,5]D．[3,5]二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)9．(·鄭州模擬)一高為H，滿缸水量為V的魚(yú)缸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出．若魚(yú)缸水深為h時(shí)的水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象可能是圖中的________．10．(·江南十校聯(lián)考)某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是______萬(wàn)元．11．有一批材料可以建成200m長(zhǎng)的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場(chǎng)地的最大面積為_(kāi)_______(圍墻厚度不計(jì))．12．一塊形狀為直角三角形的鐵皮，兩直角邊長(zhǎng)分別為40cm、60cm，現(xiàn)要將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角，則矩形的最大面積是________cm2.13．某商場(chǎng)宣傳在節(jié)假日對(duì)顧客購(gòu)物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定：①如一次購(gòu)物不超過(guò)200元，不予以折扣；②如一次購(gòu)物超過(guò)200元，但不超過(guò)500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠；③如一次購(gòu)物超過(guò)500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過(guò)500元的給予八五折優(yōu)惠；某人兩次去購(gòu)物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購(gòu)買(mǎi)同樣的商品，則應(yīng)付款________元．14．某人用10萬(wàn)元買(mǎi)了一輛小汽車(chē)用來(lái)跑出租，已知這輛汽車(chē)從啟用的第一年起連續(xù)使用，第n年的保養(yǎng)維修費(fèi)為2000(n－1)元，使用它直到“報(bào)廢最合算”(所謂“報(bào)廢最合算”是指使用的這輛汽車(chē)的年平均耗資最少)為止，則最佳報(bào)廢時(shí)間為_(kāi)_______年．三、解答題(本大題共3個(gè)小題，每小題14分，共42分)15．(·嘉興模擬)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？16．據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(km)．(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城．如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬(wàn)元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷(xiāo)售數(shù)量為t件時(shí)，銷(xiāo)售所得的收入為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.05t－\f(1,20000)t2))萬(wàn)元．(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x)，求f(x)；(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤(rùn)最大？答案[限時(shí)集訓(xùn)(十一)]1．C2.B3.B4.C5.C6.D7.C8.B9．解析：當(dāng)h＝0時(shí)，v＝0可排除①、③；由于魚(yú)缸中間粗兩頭細(xì)，∴當(dāng)h在eq\f(H,2)附近時(shí)，體積變化較快；h小于eq\f(H,2)時(shí)，增加越來(lái)越快；h大于eq\f(H,2)時(shí)，增加越來(lái)越慢．答案：②10．解析：由題意知每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝18－10＝8.當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元．答案：5811．解析：設(shè)矩形的寬為xm，則矩形的長(zhǎng)為200－4xm(0<x<50)，面積S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500.故當(dāng)x＝25時(shí)，S取得最大值2500(m2)．答案：2500m12．解析：設(shè)直角邊為40cm和60cm上的矩形邊長(zhǎng)分別為xcm、ycm，則eq\f(40－x,40)＝eq\f(y,60)，解得y＝60－eq\f(3,2)x.矩形的面積S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－\f(3,2)x))＝－eq\f(3,2)(x－20)2＋600，當(dāng)x＝20時(shí)矩形的面積最大，此時(shí)S＝600.答案：60013．解析：由題意知付款432元，實(shí)際標(biāo)價(jià)為432×eq\f(10,9)＝480元，如果一次購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)176＋480＝656元的商品應(yīng)付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.614．解析：由題意知汽車(chē)在這n年的平均耗資為f(n)＝eq\f(10＋0.2[1＋2＋…＋n－1],n)＝eq\f(10＋0.2×\f(nn－1,2),n)＝eq\f(n,10)＋eq\f(10,n)－0.1，由基本不等式可得f(n)＝eq\f(n,10)＋eq\f(10,n)－0.1≥2eq\r(\f(n,10)×\f(10,n))－0.1＝1.9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,10)＝eq\f(10,n)，即n＝10時(shí)取得最小值．答案：1015．解：(1)每噸平均成本為eq\f(y,x)(萬(wàn)元)．則eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,5)＝eq\f(8000,x)，即x＝200時(shí)取等號(hào)．∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬(wàn)元．(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元，則R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴x＝210時(shí)，R(x)有最大值為R(210)＝－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660(萬(wàn)元)．∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1660萬(wàn)元．16．解：(1)由圖象可知：當(dāng)t＝4時(shí)，v＝3×4＝12，∴s＝eq\f(1,2)×4×12＝24.(2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s＝eq\f(1,2)·t·3t＝eq\f(3,2)t2；當(dāng)10<t≤20時(shí)，s＝eq\f(1,2)×10×30＋30(t－10)＝30t－150；當(dāng)20<t≤35時(shí)，s＝eq\f(1,2)×10×30＋10×30＋(t－20)×30－eq\f(1,2)×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.綜上可知，s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t2，t∈[0，10]，,30t－150，t∈10，20]，,－t2＋70t－550，t∈20，35].))(3)∵t∈[0,10]時(shí)，smax＝eq\f(3,2)×102＝150<650，t∈(10,20]時(shí)，smax＝30×20－150＝450<650，∴當(dāng)t∈(20,35]時(shí)，令－t2＋70t－550＝650，解得t1＝30，t2＝40.∵20<t≤35，∴t＝30，即沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城．17．解：(1)當(dāng)0<x≤500時(shí)，f(x)＝0.05x－eq\f(1,20000)x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25×\f(x,100)＋0.5))＝－eq\f(x2,20000)＋eq\f(19,400)x－eq\f(1,2)，當(dāng)x>500時(shí)，f(x)＝0.05×500－eq\f(1,20000)×5002－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25×\f(x,100)＋0.5))＝12－eq\f(1,400)x，故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20000)x2＋\f(19,400)x－\f(1,2)，0<x≤500，,12－\f