高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1從位移速度力到向量學(xué)案（含解析）北師大版必修4

1從位移、速度、力到向量考綱定位重難突破1.通過(guò)位移的概念，了解向量的實(shí)際背景．2.理解平面向量、零向量和單位向量的概念．3.理解向量的幾何表示．4.理解向量共線及相等向量的含義.重點(diǎn)：對(duì)向量的有關(guān)概念的認(rèn)識(shí)與理解及向量的表示．難點(diǎn)：相等向量、共線向量的理解與應(yīng)用.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第33頁(yè)[自主梳理]1．向量的概念及其表示(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量．(2)向量的表示：①有向線段：具有方向和長(zhǎng)度的線段叫作有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))，線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②向量的表示(3)向量的模：|eq\o(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，即長(zhǎng)度(也稱模)．2．與向量有關(guān)的概念向量定義記法零向量長(zhǎng)度為零的向量稱為零向量0單位向量與向量a同方向，且長(zhǎng)度為單位1的向量，叫作a方向上的單位向量a0相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a與b相等，記作a＝b共線向量(平行向量)如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個(gè)向量平行或共線．規(guī)定零向量與任一向量平行a與b平行或共線，記作a∥b[雙基自測(cè)]1．下列各量：①密度；②浮力；③溫度；④拉力．其中是向量的有()A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：由向量的概念知：浮力和拉力是向量，密度與溫度是數(shù)量．答案：C2．已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AO＝eq\f(1,2)AB△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).故選D.答案：D3.如圖，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，AC與BD相交于點(diǎn)O，則相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∴AC與BD的交點(diǎn)O為BD中點(diǎn)，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).答案：D授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第34頁(yè)探究一向量的概念[典例1]判斷下列語(yǔ)句是否正確，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．(1)若eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(PQ,\s\up6(→))是共線向量，則P，Q，M，N四點(diǎn)共線；(2)共線的向量，若始點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；(3)若兩個(gè)向量相等，則它們的始點(diǎn)和終點(diǎn)都相同；(4)所有的單位向量都相等；(5)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|.[解析](1)不正確．若eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(PQ,\s\up6(→))是共線向量，則直線MN與PQ可能重合也可能平行，故P，Q，M，N四點(diǎn)不一定共線．(2)不正確．共線的向量，始點(diǎn)不同，終點(diǎn)也可能相同．如圖中的eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))共線，它們的始點(diǎn)不同但終點(diǎn)相同．(3)不正確．兩個(gè)向量只要長(zhǎng)度相等、方向相同就相等，和始點(diǎn)、終點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．(4)不正確．所有的單位向量的長(zhǎng)度均等于1，但它們的方向不一定相同，所以它們不一定相等．(5)正確.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度均為線段AB的長(zhǎng)度．(1)零向量是用向量的長(zhǎng)度來(lái)定義的，共線向量是用表示向量的有向線段所在直線平行或重合來(lái)定義的．相等向量是用向量的長(zhǎng)度和方向共同定義的，要弄清這些概念的聯(lián)系和區(qū)別．(2)理解向量的有關(guān)概念時(shí)，注意區(qū)分向量與有向線段：只有起點(diǎn)、大小和方向均相同，才是相同的有向線段．對(duì)于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．1．給出下列幾種說(shuō)法：①溫度、速度、位移這些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正數(shù)；④起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；⑤向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上．其中，正確的序號(hào)是________．解析：①錯(cuò)誤，只有速度、位移是向量．②錯(cuò)誤．|a|＝|b|僅說(shuō)明a與b模相等，但不能說(shuō)明它們方向的關(guān)系．③錯(cuò)誤.0的模|0|＝0.④正確．對(duì)于一個(gè)向量?jī)H由大小和方向確定，與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．⑤錯(cuò)誤．當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))時(shí)，直線AB與CD也可能平行．答案：④探究二向量的表示方法[典例2]一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向北偏西40°走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.[解析](1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形的ABCD為平行四邊形．∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200(km)．1．要能夠運(yùn)用向量的觀點(diǎn)將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模是今后能力培養(yǎng)的主要方向，在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)注意積累經(jīng)驗(yàn)．2．要注意區(qū)分向量和向量的模．2．如圖所示的方格紙是由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼在一起組成的，方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)畫(huà)出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值與最小值．解析：(1)所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))如圖所示．(2)由(1)所畫(huà)的圖知，①當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C1或C2時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值，為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)C5或C6時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值，為eq\r(42＋52)＝eq\r(41).∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(41)，最小值為eq\r(5).探究三相等向量與共線向量[典例3]如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)．(1)寫(xiě)出與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量；(2)寫(xiě)出與eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；(3)寫(xiě)出與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．[解析](1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)與eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).向量相等的辨別方法：判斷一組向量是否相等，關(guān)鍵是看這組向量是否方向相同，長(zhǎng)度相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．對(duì)于共線向量，則只要判斷它們是否同向或反向即可．3.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)與向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有________；(2)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，則|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝________.解析：(1)根據(jù)向量相等的定義以及四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，可知與向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).(2)因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝6.答案：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))(2)6對(duì)向量的有關(guān)概念理解不準(zhǔn)致誤[典例]給出下列幾種說(shuō)法：①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|≠|(zhì)b|，則a≠b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD是平行四邊形；④平行四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確的有________(填所有正確說(shuō)法的序號(hào))．[解析]①錯(cuò)誤．兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不一定相同．②正確．③錯(cuò)誤．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)有可能在同一條直線上．所以ABCD不一定是平行四邊形．④正確．平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).⑤錯(cuò)誤．若a