新教材2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷三微專題提升練微專題18圓的最值問題

微專題18圓的最值問題一、單項選擇題1．若直線y＝kx＋2－3k與圓x2＋y2＋4y－57＝0相交于不同兩點A，B，則弦AB長的最小值為()A．10B．12C．14D．162．[2024·安徽合肥模擬]已知點P在圓C：(x－a)2＋y2＝a2(a>0)上，點A(0，2)，若|PA|的最小值為1，則過點A且與圓C相切的直線方程為()A．x＝0或7x＋24y－48＝0B．x＝0或7x－24y－48＝0C．x＝1或24x－7y－48＝0D．x＝1或24x＋7y－48＝03．[2024·河北保定模擬]已知直線l：ax－y＋1＝0與圓C：(x－1)2＋y2＝4相交于兩點A，B，當(dāng)a改變時，△ABC的面積的最大值為()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)4．[2024·湖南岳陽模擬]若點A(m，n)在圓C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0上，則eq\f(n,m＋4)的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(35,9)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,9)))C．[0，4]D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(35,9)))5．[2024·廣東佛山模擬]已知圓C：(x－1)2＋y2＝4，過點A(0，1)的兩條直線l1，l2相互垂直，圓心C到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則d1d2的最大值為()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．eq\r(2)D．46．[2024·河南鄭州模擬]已知圓x2－2x＋y2＝0與圓C關(guān)于直線x＋y＝0對稱，且點A(－eq\r(3)，0)，B(0，eq\r(3))，P是圓C上一點，則∠BAP的最大值為()A．45°B．75°C．105°D．120°7．[2024·北京大興模擬]已知圓C：(x－6)2＋(y－8)2＝1和兩點A(0，－m)，B(0，m)(m>0).若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．12B．11C．10D．98．[2024·浙江杭州模擬]已知F是橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點，點M在C上，N在⊙P：x2＋(y－3)2＝2x上，則|MF|－|MN|的最大值是()A．2B．eq\r(10)－1C．eq\r(13)－1D．eq\r(13)＋1二、多項選擇題9．[2024·山東濟(jì)南模擬]已知點M(2，4)，若過點N(5，－2)的直線l交圓C：(x－7)2＋y2＝9于A、B兩點，R是圓C上的動點，則()A．|AB|的最小值為2B．|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(41)＋eq\r(2)C．eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MR,\s\up6(→))的最小值為39－9eq\r(5)D．當(dāng)S△MNR取最大值時，底邊MN上的高所在的直線方程為x－2y－7＝010．[2024·河北衡水模擬]已知A，B分別為圓C1：x2＋y2－2x＋8y＋16＝0與圓C2：x2＋y2－6x＋5＝0上的兩個動點，P為直線l：x－y＋2＝0上的一點，則()A．|PA|＋|PB|的最小值為3eq\r(10)－3B．|PA|＋|PB|的最小值為eq\r(13)＋eq\r(37)－3C．|PA|－|PB|的最大值為2eq\r(5)＋3D．|PA|－|PB|的最小值為－2eq\r(5)－3[答題區(qū)]題號12345678910答案三、填空題11．[2024·廣東佛山模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P到點A(1，0)的距離是到點B(1，3)的距離的2倍，則△PAB的面積的最大值為________．12．[2024·福建寧德模擬]已知圓O1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓O2：(x＋n)2＋(y＋2)2＝1內(nèi)切，則m2＋n2的最小值為________．13．[2024·安徽池州模擬]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直線l：x＋2y＋2＝0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為________．14．[2024·河北滄州模擬]阿波羅尼斯是古希臘聞名的數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討，主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一，指的是“假如動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ>0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來探討與此相關(guān)的一個問題，已知點P為圓O：x2＋y2＝4上的動點，M(－4，0)，N(3，1)，則|PM|＋2|PN|的最小值為____________．微專題18圓的最值問題1．解析：由直線y＝kx＋2－3k＝k(x－3)＋2，令x＝3，解得y＝2，所以直線過定點M(3，2)，又32＋22＋4×2－57<0，故M(3，2)在圓內(nèi)．由x2＋y2＋4y－57＝0?x2＋(y＋2)2＝61，記圓心為C(0，－2)，半徑r＝eq\r(61)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CM))＝eq\r(（3－0）2＋（2＋2）2)＝5，依據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)弦AB過M且AB⊥CM時弦長最短，此時弦長|AB|＝2eq\r(r2－|CM|2)＝2eq\r(61－25)＝12.故選B.答案：B2．解析：由圓C方程可得圓心為C(a，0)，半徑r＝a，因為|PA|的最小值為1，所以eq\r(a2＋4)－a＝1，解得a＝eq\f(3,2)，故圓C：(x－eq\f(3,2))2＋y2＝eq\f(9,4).若過點A(0，2)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為y＝kx＋2，則eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)k－0＋2)),\r(1＋k2))＝eq\f(3,2)，解得k＝－eq\f(7,24)，所以切線方程為y＝－eq\f(7,24)x＋2，即7x＋24y－48＝0；若過點A(0，2)的切線斜率不存在，由圓C方程可得，圓C過坐標(biāo)原點(0，0)，所以切線方程為x＝0.綜上，過點A且與圓C相切的直線方程為x＝0或7x＋24y－48＝0.故選A.答案：A3．解析：因為直線l：ax－y＋1＝0恒過點(0，1)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心C(1，0)，r＝2，所以△ABC的面積的最大值為：S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CB))sin∠ACB＝eq\f(1,2)r2sin∠ACB≤eq\f(1,2)r2＝eq\f(1,2)×4＝2.故選C.答案：C4．解析：圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為C：(x－1)2＋(y－4)2＝16，圓心C(1，4)，半徑為4；設(shè)eq\f(n,m＋4)＝k，故A(m，n)在直線l：kx－y＋4k＝0上，又點A(m，n)在圓上，則圓心(1，4)到直線l：kx－y＋4k＝0的距離d＝eq\f(|5k－4|,\r(1＋k2))≤4，即25k2－40k＋16≤16k2＋16，故9k2－40k≤0，解得0≤k≤eq\f(40,9)，則eq\f(n,m＋4)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,9))).故選B.答案：B5．解析：過圓心C分別作直線l1，l2的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).∵l1，l2相互垂直，所以四邊形AECF為矩形．由圓C：(x－1)2＋y2＝4，可得C(1，0)，又A(0，1)，∴deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝|CE|2＋|CF|2＝|AC|2＝2≥2d1d2，∴d1d2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)d1＝d2＝1時取等號，即d1d2的最大值為1，故選B.答案：B6．解析：圓x2－2x＋y2＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝1，其圓心為(1，0)，半徑r＝1.∵點(1，0)關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點為(0，－1)，∴圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝1，畫圖分析可知，當(dāng)AP與圓C相切，且點P在x軸下方時，∠BAP最大．連接PC，AC，則PC＝1，PC⊥AP，∵AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝2，∴∠OAC＝∠PAC＝30°，∴∠OAP＝60°，又∵OA＝OB，∴∠BAO＝45°，∴∠BAP＝45°＋60°＝105°.故選C.答案：C7．解析：以AB為直徑的圓O的方程為x2＋y2＝m2，圓心為原點，半徑為r1＝m.圓C：(x－6)2＋(y－8)2＝1的圓心為(6，8)，半徑為r2＝1.要使圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則圓O與圓C有公共點，所以|r1－r2|≤|OC|≤|r1＋r2|，即|m－1|≤eq\r(62＋82)≤|m＋1|，所以，解得9≤m≤11，所以m的最大值為11.故選B.答案：B8．解析：由⊙P：x2＋(y－3)2＝2x，可得(x－1)2＋(y－3)2＝1，可得圓⊙P的圓心坐標(biāo)為P(1，3)，半徑r＝1，由橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可得a＝2，設(shè)橢圓的右焦點為F1，依據(jù)橢圓的定義可得|MF|＝2a－|MF1|，所以|MF|－|MN|＝2a－(|MF1|＋|MN|)，又由|MN|min＝|MP|－r，如圖所示，當(dāng)點P，M，N，F(xiàn)1四點共線時，即P，N′，M′，F(xiàn)1共線時，|MF1|＋|MN|取得最小值，最小值為(|MF1|＋|MN|)min＝(|MF1|＋|MP|－r)＝|PF1|－r＝3－1＝2，所以(|MF|－|MN|)max＝2×2－2＝2.故選A.答案：A9．解析：如圖：對于A選項，當(dāng)CN⊥AB時，AB的值最小，|CN|＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(9－8)＝2，故選項A正確；對于B選項，取AB的中點P，CN的中點Q(6，－1)，|PQ|＝eq\f(1,2)|CN|＝eq\r(2)，∴P的軌跡方程為(x－6)2＋(y＋1)2＝2，∴|eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(MP,\s\up6(→))|≤2(|eq\o(MQ,\s\up6(→))|＋eq\r(2))＝2eq\r(41)＋2eq\r(2)，故選項B錯誤；對于C選項，設(shè)R(7＋3cosα，3sinα)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(3，－6)，eq\o(MR,\s\up6(→))＝(5＋3cosα，3sinα－4)，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MR,\s\up6(→))＝15＋9cosα－18sinα＋24＝39－9eq\r(5)sin(α－φ)≥39－9eq\r(5)，故選項C正確；對于D選項，當(dāng)CR⊥MN時，△MNR的面積最大，kMN＝－2，∴kCR＝eq\f(1,2)，∴底邊MN上的高所在的直線方程為x－2y－7＝0，故選項D正確．故選ACD.答案：ACD10．答案：AC11．解析：設(shè)P(x，y)，由題知動點P到點A(1，0)的距離是到點B(1，3)的距離的2倍，所以|PA|＝2|PB|，即eq\r(（x－1）2＋y2)＝2eq\r(（x－1）2＋（y－3）2)，化簡整理得：(x－1)2＋(y－4)2＝4，故點P的軌跡是以(1，4)為圓心，2為半徑的圓，|AB|＝3，點P到直線AB的距離最大值為半徑2，△PAB的面積的最大值為eq\f(1,2)|AB|·r＝3.答案：312．解析：圓O1的圓心為(m，－2)，半徑為r1＝3，圓O2的圓心為(－n，－2)，半徑為r2＝1，∴兩圓的圓心距d＝|m＋n|，∵兩圓內(nèi)切，∴|m＋n|＝2，可得m2＋n2＋2mn＝4?4－(m2＋n2)＝2mn≤m2＋n2，∴m2＋n2≥2.當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝|n|＝1時，取得最小值，m2＋n2的最小值為2.答案：213．解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，則圓心M(1，1)，半徑r＝1，可得點M到直線l的距離為d＝eq\f(|1×1＋2×1＋2|,\r(12＋22))＝eq\r(5)>1，所以直線l與圓相離，依圓的學(xué)問可知，四點A，P，B，M四點共圓，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×eq\f(1,2)×|PA||AM|＝2|PA|＝2eq\r(|PM|2－1)，原題意等價于|PM|取到最小值，當(dāng)直線MP⊥l時，|MP|min＝d＝eq\r(5)，此時|PM|·|AB|最?。訫P的直線方程為：y＝2(x－1)＋1＝2x－1，，即P(0，－1)，則MP的中點為(eq\f(1,2)，0)，所以以MP為直徑的圓的方程為(x－eq\f(1,2))2＋y2＝(eq\f(\r(5),2))2，即x2＋y2－x－1＝0，兩圓的