新教材適用2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)練案60第十章計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第四講隨機(jī)事件的概率古典概型

練案[60]第四講隨機(jī)事務(wù)的概率古典概型A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·湖北十市聯(lián)考)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事務(wù)是(D)A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”[解析]A中的兩個事務(wù)是包含關(guān)系，不是互斥事務(wù)；B中的兩個事務(wù)是對立事務(wù)；C中的兩個事務(wù)都包含“一個黑球一個紅球”的事務(wù)，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事務(wù)是互斥而不對立的關(guān)系．2．(2024·課標(biāo)全國Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]記“兩位女同學(xué)相鄰”為“事務(wù)A”，則P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3)A\o\al(2,2),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，故選D.3．(2024·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)[解析]從6張卡片中無放回抽取2張，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，15種狀況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，6種狀況，故概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故選C.4．(2024·湖南部分校教化聯(lián)盟摸底)從0,2,4,6,8中任取2個不同的數(shù)分別記作a，b，則|a－b|≥3的概率是(D)A.eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)[解析]從0,2,4,6,8中任取2個不同的數(shù)a，b，共有Ceq\o\al(2,5)＝10個基本領(lǐng)件，取出的2個數(shù)之差的肯定值等于2的有(0,2)，(2,4)，(4,6)，(6,8)，4個基本領(lǐng)件，所以所求概率為P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).5．(2024·遼寧遼南協(xié)作體模擬)馬林·梅森(MarinMersenne，1588～1648)是17世紀(jì)法國聞名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物．梅森在歐幾里得、費馬等人探討的基礎(chǔ)上對2p－1作了大量的計算、驗證工作．人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2p－1(其中p是素數(shù))的素數(shù)，稱為梅森素數(shù)(素數(shù)也稱質(zhì)數(shù))．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取3個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是(A)A.eq\f(8,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(7,15) D．eq\f(65,120)[解析]不超過30的素數(shù)，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，一共有10個．其中梅森素數(shù)為：3,7，共有2個．則隨機(jī)選取3個素數(shù)，至少有一個梅森素數(shù)的概率為P＝1－eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).故選A.6．(2024·廣東惠州調(diào)研)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．下圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，其中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”，正方形ABCD外部四個陰影部分的三角形稱為“風(fēng)葉”．現(xiàn)從該“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的8個頂點中任取2個頂點，則2個頂點取自同一片“風(fēng)葉”的概率為(A)A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(11,14)[解析]從“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的八個頂點中任取兩個頂點的基本領(lǐng)件有Ceq\o\al(2,8)＝28種，其中這兩個頂點取自同一片“風(fēng)葉”的基本領(lǐng)件有4Ceq\o\al(2,3)＝12種，故所求概率P＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7).故選A.7．(2024·衡水中學(xué)四川分校開學(xué)考)在集合{1,2}和{3,4,5}中各取一個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被4整除的概率為(C)A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]在{1,2}和{3,4,5}兩個集合中各取一個數(shù)字組成一個兩位數(shù)的全部事務(wù)有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)＝12個，其中能被4整除的兩位數(shù)是24,32,52共3個，所求概率為eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).故選C.8．(2024·內(nèi)蒙古包頭模擬)將4個A和2個B隨機(jī)排成一行，則2個B相鄰且不排在兩端的概率為(D)A.eq\f(2,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,5)[解析]由4個A不區(qū)分依次、2個B不區(qū)分依次，可得總狀況有eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(4,4)A\o\al(2,2))＝15種，先排4個A有1種排法，在形成的3個中間的空中插入B即可，故2個B相鄰且不排在兩端的狀況有Ceq\o\al(1,3)＝3種，故概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).9．(2024·湖北武漢質(zhì)檢)從3雙不同的鞋子中隨機(jī)任取3只，則這3只鞋子中有兩只可以配成一雙的概率是(C)A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).故選C.10．(2024·浙江舟山中學(xué)質(zhì)檢)現(xiàn)有A，B，C，D，E五名志愿者安排到甲，乙，丙三個不同社區(qū)參與志愿者活動，每個社區(qū)至少支配一人，則A和B安排到同一社區(qū)的概率為(C)A.eq\f(3,20) B．eq\f(3,25)C．eq\f(6,25) D．eq\f(6,35)[解析]把A，B，C，D，E分成三組有1,1,3和1,2,2兩種狀況，①當(dāng)為1,1,3時，基本領(lǐng)件的個數(shù)為N＝Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60；②當(dāng)為1,2,2時，基本領(lǐng)件的個數(shù)為N＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(2,2))＝90，所以基本領(lǐng)件的總數(shù)為N＝60＋90＝150；A和B安排到同一社區(qū)包含的基本領(lǐng)件個數(shù)為n＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36，所以A和B安排到同一社區(qū)的概率為P＝eq\f(36,150)＝eq\f(6,25)，故選C.二、多選題11．(2024·重慶巴蜀中學(xué)月考)已知甲袋中有5個大小相同的球，4個紅球，1個黑球；乙袋中有6個大小相同的球，4個紅球，2個黑球，則(ACD)A．從甲袋中隨機(jī)摸出一個球是紅球的概率為eq\f(4,5)B．從乙袋中隨機(jī)摸出一個球是黑球的概率為eq\f(2,3)C．從甲袋中隨機(jī)摸出2個球，則2個球都是紅球的概率為eq\f(3,5)D．從甲、乙袋中各隨機(jī)摸出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率為eq\f(2,5)[解析]A明顯正確；從乙袋中摸出一球是黑球的概率P1＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，B錯；從甲袋中摸出2球都是紅球的概率P2＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，C正確；從甲、乙袋中各摸一球一紅球一黑球的概率P3＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,1)C\o\al(1,4),C\o\al(1,5)C\o\al(1,6))＝eq\f(2,5)，D正確．故選ACD.12．將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是(AB)A．4位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(1,35)B．男生甲和女生乙分到甲組的概率為eq\f(3,14)C．有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(32,35)D．4位男同學(xué)不同時分到甲組的概率為eq\f(34,35)[解析]8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝70，A選項，4位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有2種，其概率為eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，對；B選項，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率為eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，對；C選項，有且只有3位女同學(xué)分到同一組Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,4)·2＝32種，則有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，錯；D選項，4位男同學(xué)同時分到甲組只有1種，其概率為eq\f(1,70)，則4位男同學(xué)不同時分到甲組的概率為1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，錯，故選AB.三、填空題13．(2024·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為eq\f(6,35).[解析]從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70個結(jié)果，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12個，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).14．(2024·湖北龍泉中學(xué)、荊州中學(xué)、宜昌一中聯(lián)考)5人并排站成一行，甲、乙兩人之間恰好有一人的概率是eq\f(3,10).(用數(shù)字作答)[解析]5人排一行共有Aeq\o\al(5,5)種排法，甲、乙兩人之間恰有一人有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種排法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(3,10).四、解答題15．(2024·貴州貴陽四校聯(lián)考)2024年底，湖北省武漢市等多個地區(qū)接連出現(xiàn)感染新型冠狀病毒肺炎的患者，為剛好有效地對疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行流行病學(xué)統(tǒng)計分析，某地探討機(jī)構(gòu)針對該地實際狀況，依據(jù)該地患者是否有武漢旅行史與是否有確診病例接觸史，將新冠肺炎患者分為四類：有武漢旅行史(無接觸史)，無武漢旅行史(無接觸史)，有武漢旅行史(有接觸史)和無武漢旅行史(有接觸史)，統(tǒng)計得到以下相關(guān)數(shù)據(jù)：有接觸史無接觸史總計有武漢旅行史4無武漢旅行史10總計2545(1)請將上面列聯(lián)表填寫完整，并推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關(guān)系？(2)已知在無武漢旅行史的6名患者中，有2名無癥狀感染者．現(xiàn)在從無武漢旅行史的6名患者中，選出2名進(jìn)行病例探討，求2人中至多有1名是無癥狀感染者的概率．下面的臨界值表供參考：P(x2≥xα)0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：x2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解析](1)列聯(lián)表補充如下：有接觸史無接觸史總計有武漢旅行史15419無武漢旅行史101626總計252045x2的觀測值為2＝eq\f(45×15×16－4×102,25×20×19×26)≈7.827>6.635＝x0.010.所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為有武漢旅行史與有確診病例接觸史有關(guān)系．(2)所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(14,15)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝1－\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝1－\f(1,15)＝\f(14,15))).即2人中至多有1名是無癥狀感染者的概率為eq\f(14,15).B組實力提升1.(2024·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(A)A.eq\f(5,16) B．eq\f(11,32)C．eq\f(21,32) D．eq\f(11,16)[解析]重卦是由從下到上排列的6個爻組成，而爻有“陽爻”和“陰爻”兩種，故全部的重卦共有26＝64種，重卦中恰有3個“陽爻”的共有Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(3,3)＝20種．故所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16)，故選A.2．(2024·福建安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州試驗中學(xué)泉州聯(lián)考)將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參與“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣揚資料，則甲、乙至少一人參與指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為(C)A.eq\f(3,20) B．eq\f(3,40)C．eq\f(9,20) D．eq\f(9,40)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，故選C.3．(2024·陜西寶雞金臺區(qū)質(zhì)檢)青春因奉獻(xiàn)而漂亮，為了響應(yīng)黨關(guān)于“鄉(xiāng)村振興”精神，現(xiàn)有5名公費師范高校畢業(yè)生主動要求赴西部某地區(qū)甲、乙、丙三個不同的學(xué)校去支教，每個學(xué)校至少去1人，則恰好有2名高校生安排去甲學(xué)校的概率為(A)A.eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2,15)[解析]全部狀況共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,5)＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)＝150種．滿意條件的共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝60種，故P＝eq\f(60,150)＝eq\f(2,5).4．(2024·河北衡水模擬)共有5名同學(xué)參與演講競賽，在支配出場依次時，甲、乙排在一起，且丙與甲、乙都不相鄰的概率為(B)A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(2,5)[解析]把甲、乙捆綁在一起，然后與余下的兩個排列，再把捆綁的甲、乙和丙一起插空，所求概率為eq\f(2A\o\al(2,2)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(24,120)＝eq\f(1,5).5．(2024·河北衡水中學(xué)調(diào)研)“2024年全國城市節(jié)約用水宣揚周”已于5月9日至15日實行，成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動，進(jìn)一步增加全民愛護(hù)水資源，防治水污染，節(jié)約用