2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第六章-第三節(jié) 等比數(shù)列-課時(shí)作業(yè)【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第六章-第三節(jié)等比數(shù)列-課時(shí)作業(yè)（原卷版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3a7＝16，則該數(shù)列的公比為（）A.±2B.2C.±2D.22.（2024·重慶）已知3，x，27三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則x＝（）A.9B.－9C.9或－9D.03.（2024·上海）已知在等比數(shù)列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，則a1＝（）A.12B.－C.－29D.－4.（2024·湖南衡陽）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題.今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還的粟（單位：升）為（）A.253B.C.507D.5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，則a2＋a4的值為（）A.30B.10C.9D.66.（多選）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列{anan+1}是公比為qB.數(shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C.數(shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D.數(shù)列1an是公比為7.（2024·浙江寧波）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且a5＝5A.a1＋a9的最小值為50B.a1＋a9的最大值為50C.a1＋a9的最小值為10D.a1＋a9的最大值為108.（多選）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），則有（）A.Sn＝3n－1B.{Sn}為等比數(shù)列C.an＝2·3n－1D.an＝19.（2024·福建龍巖）在等比數(shù)列an中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，則a13＝10.已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項(xiàng)公式為，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝.11.（2024·河南鄭州）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n（n∈N*）.若{an＋λ}成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ＝.12.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an2an+1（n∈N*（1）求證1an－1是等比數(shù)列，并求出{（2）求數(shù)列1an的前n項(xiàng)和T[B組能力提升練]13.（2024·湖北武漢）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為（）A.10B.15C.20D.2514.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋12，n∈N*，則S6A.312C.30D.6315.（多選）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a6a7＞1，a6－1A.0＜q＜1B.a6a8＞1C.Sn的最大值為S7D.Tn的最大值為T616.（多選）在數(shù)列{an}中，n∈N*，若an+2－an+1an+1－aA.k不可能為0B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”D.“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為017.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a6＝2a3，a4與2a6的等差中項(xiàng)為32，則S5＝18.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，……，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹狀圖形，稱為“勾股樹”.若某勾股樹含有1023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長為22，則其最小正方形的邊長為19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－3n（n∈N*）.（1）求a1，a2，a3的值.（2）是否存在常數(shù)λ，使得{an＋λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項(xiàng)公式an；若不存在，請說明理由.2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第六章-第三節(jié)等比數(shù)列-課時(shí)作業(yè)（解析版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3a7＝16，則該數(shù)列的公比為（）A.±2B.2C.±2D.2答案：A解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)題意得a3·a7＝a12·q8＝q8＝16＝24，所以q2＝2，即q＝±2.（2024·重慶）已知3，x，27三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則x＝（）A.9B.－9C.9或－9D.0答案：C解析：由于3，x，27成等比數(shù)列，所以x2＝3×27＝81，解得x＝9或－9.3.（2024·上海調(diào)研）已知在等比數(shù)列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，則a1＝（）A.12B.－C.－29D.－答案：B解析：法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），則由a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，得a1q法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），因?yàn)镾3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以a3a1＝q2＝2.因?yàn)閍2a5a8＝a53＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以4.（2024·湖南衡陽）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題.今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還的粟（單位：升）為（）A.253B.C.507D.答案：D解析：5斗＝50升.設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還粟的量分別為a1，a2，a3，由題意可知a1，a2，a3構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，且S3＝50，則a1（1－23）1－2＝50，解得a1＝505.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，則a2＋a4的值為（）A.30B.10C.9D.6答案：B解析：an為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則an＞0，可得a1＞0，q＞0，∵a32＝a2a4＝9，∴a又∵9S4＝10S2，則9（a1＋a2＋a3＋a4）＝10（a1＋a2），可得9（a3＋a4）＝a1＋a2，∴a3＋a4a1＋a2＝q2＝19，解得q＝13，故a26.（多選）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列{anan+1}是公比為qB.數(shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C.數(shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D.數(shù)列1an是公比為答案：AD解析：對(duì)于A，由anan+1an－1an＝q2（n≥2）知數(shù)列{a對(duì)于B，當(dāng)q＝－1時(shí)，數(shù)列{an＋an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于C，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an－an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于D，1an+11a所以數(shù)列1an是公比為17.（2024·浙江寧波）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且a5＝5A.a1＋a9的最小值為50B.a1＋a9的最大值為50C.a1＋a9的最小值為10D.a1＋a9的最大值為10答案：C解析：由題意，在等比數(shù)列an中，a5＝5設(shè)公比為q，則a1＝a5q－4＞0，a9＝a5q4＞0，∴a1＋a9＝a5q－4＋a5q4＝a5q－4＋q4≥5×當(dāng)且僅當(dāng)q－4＝q4即q＝±1時(shí)等號(hào)成立，∴a1＋a9的最小值為10.8.（多選）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），則有（）A.Sn＝3n－1B.{Sn}為等比數(shù)列C.an＝2·3n－1D.an＝1答案：ABD解析：由題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足an＋1＝2Sn（n∈N*），當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn兩式相減，可得an＋1－an＝2（Sn－Sn?1）＝2a可得an＋1＝3an，即an+1an＝3（n又a1＝1，當(dāng)n＝1時(shí)，則a2＝2S1＝2a1＝2，所以a2a1所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝an+12＝2·3n又S1＝a1＝1，適合上式，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1.又Sn+1Sn＝所以數(shù)列{Sn}為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.綜上可得選項(xiàng)A，B，D是正確的.9.（2024·福建龍巖）在等比數(shù)列an中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，則a13＝答案：64解析：在等比數(shù)列an中，a2a6＝8故a1a7＝8，結(jié)合a1＋a7＝9，以及an＜an＋1可得a1＝1，a7＝8，設(shè)等比數(shù)列公比為q，則q6＝a7a1故a13＝a7q6＝8×8＝64.10.已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項(xiàng)公式為，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝.答案：an＝4×12n－1解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是遞減的等比數(shù)列得a1＝4，a3＝1，所以q＝12，an＝4×12n－1，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首項(xiàng)為8、公比為14的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋12＋…＋8×111.（2024·河南鄭州）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n（n∈N*）.若{an＋λ}成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ＝.答案：2解析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n（n∈N*）， ①則n≥2時(shí)，Sn－1＝3an－1－2（n－1）， ②①－②，得an＝3an－3an－1－2，∴2an＝3an－1＋2，∴an＝32an－1＋1.若{an＋λ}∴an＋λ＝32（an－1＋λ），解得λ＝12.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an2an+1（n∈N*（1）求證1an－1是等比數(shù)列，并求出{（2）求數(shù)列1an的前n項(xiàng)和T解：（1）記bn＝1an－則bn+1bn＝2an+1－3a又b1＝1a1－1＝32－1所以1an－1是首項(xiàng)為所以1an－1＝12即an＝2·所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2·（2）由（1）知，1an－1＝12即1an＝12·1所以數(shù)列1an的前Tn＝121－13n1[B組能力提升練]13.（2024·湖北武漢）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為（）A.10B.15C.20D.25答案：C解析：由題意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.又由等比數(shù)列的性質(zhì)知S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，則S4（S12－S8）＝（S8－S4）2.于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝（S8－S4）2S4＝（S4+5）2S4＝S4＋25所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.14.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋12，n∈N*，則S6A.312C.30D.63答案：D解析：由題得：Sn＋1＝2Sn＋12①Sn＋2＝2Sn＋1＋12②，①－②得：an＋2＝2an＋1，q＝2則Sn＝a1（1－2n）1－2＝（2n－1）a1，代入①中，即（2n＋1－1）a1＝2（2n－1）a1＋1215.（多選）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a6a7＞1，a6－1A.0＜q＜1B.a6a8＞1C.Sn的最大值為S7D.Tn的最大值為T6答案：AD解析：由題意知，等比數(shù)列{an}的公比q＞0，則{lgan}為等差數(shù)列，公差d＝lgq，由a1＞1，a6a7＞1，q＞0且q≠1，得lga1＞0，lga6＋lga7＞0，又a6－1a7－1＜0，所以a6＞則0＜q＜1，故A中的結(jié)論正確；lga6＞0，lga7＜0，又lga1＞0，所以數(shù)列{lgan}是遞減數(shù)列，{lgan}從第7項(xiàng)開始小于零，故其前6項(xiàng)和lgT6最大，即Tn的最大值為T6，故D中的結(jié)論正確；由lga6＋lga8＝2lga7＜0，得0＜a6a8＝a72＜1，故因?yàn)?＜q＜1，a1＞1，所以數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn沒有最大值，故C中的結(jié)論錯(cuò)誤.16.（多選）在數(shù)列{an}中，n∈N*，若an+2－an+1an+1－aA.k不可能為0B.等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”C.等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”D.“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0答案：AD解析：對(duì)于A，k不可能為0，正確；對(duì)于B，當(dāng)an＝1時(shí)，{an}為等差數(shù)列，但不是“等差比數(shù)列”，錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q＝1時(shí)，an+1－an＝0，分式無意義，所以{an}不是“等差比數(shù)列對(duì)于D，數(shù)列0，1，0，1，0，1，…，0，1是“等差比數(shù)列”，且有無數(shù)項(xiàng)為0，正確.17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a6＝2a3，a4與2a6的等差中項(xiàng)為32，則S5＝答案：3118.如圖所示，正方形上連