解一元二次方程(第二課時(shí)配方法)

九年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清二十一章一元二次方程第二課時(shí)配方法（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解配方法的基本過程，會(huì)運(yùn)用配方法解一元二次方程。2.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。老師對(duì)你說：配方法解一元二次方程

（1）概念：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法．

（2）配方的對(duì)象：二次三項(xiàng)式知二求一，即將中的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)任取兩項(xiàng)，再配一項(xiàng)，使其能成為完全平方式。（3）利用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①一移：把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

②二除：方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③三配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)；

④四開方：如果方程的右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，就用直接開平方法求出它的解；如果方程的右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，那么方程無解．要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．基礎(chǔ)提升教材核心知識(shí)點(diǎn)精練知識(shí)點(diǎn)1：配方及其應(yīng)用【例1-1】下列式子中是完全平方式的是（）A．a(chǎn)2+2ab+b2 B．a(chǎn)2+2a+2 C．a(chǎn)2﹣2b+b2 D．a(chǎn)2+2ab+1【解答】解：a2+2ab+b2＝（a+b）2．故選：A．【例1-2】若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，則k的值應(yīng)是（）A．4或﹣4 B．8 C．﹣8 D．8或﹣8【解答】解：∵x2+kx+16是完全平方式，∴kx＝±2?x?4，解得：k＝±8，故選：D．【例1-3】若代數(shù)式，，則的值（）A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是負(fù)數(shù) D．一定不是正數(shù)【答案】B；【解析】（作差法）．故選Ｂ．【點(diǎn)評(píng)】本例是“配方法”在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零而比較出大小.知識(shí)點(diǎn)2：用配方法解一元二次方程【例2-1】用配方法解方程x2-7x-1＝0．

【答案】x＝+或x＝-．【解析】將方程變形為x2-7x＝1，兩邊加一次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，得

x2-7x+＝1+，所以有＝1+．

直接開平方，得x-＝或x-＝-．

所以原方程的根為x＝+或x＝-．

【點(diǎn)評(píng)】一般地，用先配方，再開平方的方法解一元二次方程，應(yīng)按以下步驟進(jìn)行：

(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；

(2)把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

(3)方程的兩邊都加“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；

(4)用直接開平方的方法解此題．

【例2-2】在解方程2x2+4x+1=0時(shí),小思與小博對(duì)方程進(jìn)行如下配方:小思:2x2+4x=-1,x2+2x=-12x2+2x+1=-12(x+1)2=1小博:2x2+4x=-1,4x2+8x=-2,4x2+8x+4=-2+4,(2x+2)2=2對(duì)于兩人的做法,說法正確的是()A.兩人都正確B.小思正確,小博不正確C.小思不正確,小博正確【答案】A【解析】小思的做法:2x2+4x=-1,移項(xiàng)正確,x2+2x=-12,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,變形正確,x2+2x+1=-12+1,方程的兩邊都加1,正確,(x+1)2=12,變形正確小博的做法:2x2+4x=-1,移項(xiàng)正確,4x2+8x=-2,方程的兩邊都乘2,變形正確,4x2+8x+4=-2+4,方程的兩邊都加4,變形正確,(2x+2)2=2,變形正確.故小博的做法正確.故兩人的做法都正確.故選A.【例2-3】某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個(gè)步驟，如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯(cuò)誤的，則這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟即可得出結(jié)果．【詳解】解：∴解得：,丁同學(xué)是錯(cuò)的，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練若多項(xiàng)式4x2﹣（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，則k的值是（）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．±11【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，又∵多項(xiàng)式4x2﹣（k﹣1）x+9是一個(gè)完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故B正確．故選：B．.已知，求的值．【答案】【分析】采用配方法求出的值，代入計(jì)算即可得到答案．【解析】解：由題意可得：∴，∴將代入得：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握配方法的步驟和幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．求代數(shù)式x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴當(dāng)（x+4）2＝0時(shí)，代數(shù)式x2+8x+17的最小值是1用配方法證明的值小于0．【答案】【證明】：．∵，∴，即．故的值恒小于0．【點(diǎn)評(píng)】證明一個(gè)代數(shù)式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一個(gè)含完全平方式和一個(gè)常數(shù)的式子來證明．本題不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學(xué)的配方法大同小異，即思路一致．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1.用配方法解方程x2+6x+8＝0時(shí)，配方后得到方程是（）A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9【解答】解：用配方法解方程x2+6x+8＝0時(shí)，配方結(jié)果為（x+3）2＝1．故選：A．2.用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由，配方可得，進(jìn)而可得的值，然后代入，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法解一元二次方程，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于正確的配方求出的值．一元二次方程x2+px+q=0在用配方法配成(x+m)2=n時(shí),下面結(jié)論正確的是()A.m是p的一半B.m是p的一半的平方C.m是p的2倍D.m是p的一半的相反數(shù)【答案】.A【解析】(x+m)2=n化為x2+2mx+m2-n=0,∴p=2m,∴m=12p,用配方法解方程x2?4x=1，變形后結(jié)果正確的是（A．x+22=5 B．x+22=2 C．【答案】C【分析】根據(jù)配方法可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由方程x2?4x=1兩邊同時(shí)加上4可得故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．下列方程中配方中有錯(cuò)誤的是（）A．x2?4x?1=0B．x2+6x+8=0C．2x2D．3x2【答案】C【分析】把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，配方即可．【詳解】A、x2-4x-1=0化為（x-2）2=5，故正確；B、x2+6x+8=0化為（x+3）2=1，故正確；C、2x2?7x?6=0D、3x2?4x?2=0故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)已知x2﹣mx+25是完全平方式，則常數(shù)m的值為（）A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20【答案】B【解答】解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m＝±10，即m＝±10．故選：B．.不論x，y取什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x﹣4y+7的值（）A．不小于2 B．不小于7 C．為任何實(shí)數(shù) D．可能為負(fù)數(shù)【答案】A【解答】解：原式＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，故選：A．8.m、n為正整數(shù)，m2+n2+1＝2m+2n，則m+n的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵m2+n2+1＝2m+2n，∴m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝1，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝1，∵（m﹣1）2≥0，（n﹣1）2≥0，m、n為正整數(shù)，∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，∴m+n＝3，故選：B．填空題（每小題4分，共20分）9.用配方法將方程進(jìn)行配方得___________．【答案】【分析】在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)2的一半的平方，即可求解．【詳解】解：，方程兩邊加上1，，即，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．10.（1）x2-43x+_____=()2；（2）x2+px+_____=()2【答案】49x?23p【分析】（1）二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即(2（1）二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即(p【詳解】（1）x2-43x+(23（2）x2+px+(p2)故答案為

(1).49；x?23(2).p【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法.解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的特征.選擇配方法時(shí)，若二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．11.當(dāng)_____時(shí)，代數(shù)式有最小值為______．【答案】3【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性可知，當(dāng)時(shí)有最小值，進(jìn)而可求解．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)代數(shù)式取得最小值，最小值為，即時(shí)，代數(shù)式的最小值為，故答案為：3；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法、偶次方的非負(fù)性，掌握偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．方程x2－8x－4=0化為(x+m)2=n的形式是_____．【答案】x?4【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊為：x2?8x=4，再配方得【詳解】解：x2∴x2∴x?42故答案為：x?42【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程的配方法的適用，涉及了完全平方公式的運(yùn)用．13.已知點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，則的最小值為______．【答案】【分析】將點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式得出，，代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，配方法的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共5小題，48分）14.（12分）用配方法解下列方程(1)x2-2x-2=0;(2)14x2-6x+3=0(3)2x2-1=4x;(4)x2+3x+2=x-1.解析(1)移項(xiàng),得x2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,所以x-1=±3,所以x1=3+1,x2=-3+1.(2)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-24x+12=0.移項(xiàng),得x2-24x=-12.配方,得x2-24x+144=132,即(x-12)2=132.∴x-12=±233.∴x1=233+12,(3)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-12=2x.移項(xiàng),得x2-2x=12.配方,得x2-2x+1=12+1,即(x-1)2=32.∴x?1=±(4)移項(xiàng),得x2+2x=-3,配方,得(x+1)2=-2,∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2=-2不可能成立,∴原方程無實(shí)數(shù)根.（10分）下面是小明同學(xué)靈活應(yīng)用配方法解方程4x2﹣12x﹣1＝0的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：原方程可化為（2x）2﹣6×2x﹣1＝0……第一步移項(xiàng)，得（2x）2﹣6×2x＝1……第二步配方，得（2x）2﹣6×2x+32＝1……第三步∴（2x﹣3）2＝1……第四步兩邊開平方，得2x﹣3＝±1……第五步∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1．……第六步∴原方程的解為x1＝2，x2＝1……第七步?任務(wù)一：小明同學(xué)的解答過程是從第步開始出錯(cuò)的，錯(cuò)誤的原因是．任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該方程的正確解．任務(wù)三：小剛同學(xué)說：“小明的解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛门浞椒ń庖辉畏匠虝r(shí)，首先要把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再配方．”你同意小剛同學(xué)的說法嗎？你得到了什么啟示？【答案】根據(jù)解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．任務(wù)一：小明同學(xué)的解答過程是從第三步開始出錯(cuò)的，錯(cuò)誤的原因是方程的右邊漏加了9；故答案為：三；方程的右邊漏加了9；任務(wù)二：4x2﹣12x﹣1＝0，4x2﹣12x＝1，4x2﹣12x+9＝1+9，（2x﹣3）2＝10，2x﹣3＝±10，2x﹣3=10或2x﹣3=?x1=3+102，x任務(wù)三：我不同意小剛同學(xué)的說法，得到的啟示：我們要靈活運(yùn)用配方法來解一元二次方程．【點(diǎn)評(píng)】本題考慮解一元二次方程﹣配方法，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元一次方程，一元二次方程的一般形式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（8分）若三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判斷此三角形的形狀，并求此三角形面積．【分析】將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷為直角三角形，再利用面積公式計(jì)算．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴32+42＝52，即a2+b2＝c2，∴此三角形為直角三角形，∴面積為12【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，完全平方公式．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．17.（8分）先閱讀，后解題．已知，求和的值．解：將左邊分組配方：即．，，且和為，且，，．利用以上解法，解下列問題：(1)已知：，求和的值．(2)已知，，是的三邊長(zhǎng)，滿足且為直角三角形，求．【答案】(1)，(2)或【分析】由題意把等式變形為非負(fù)數(shù)的和等于0的形式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解；由題意把等式變形為非負(fù)數(shù)的和等于0的形式，求得的值，然后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵，，即，∵，，且，∴且，，；（2）解：∵，方程變形為，∴，，∴，，為直角三角形，∴當(dāng)，是直角邊時(shí)，則；當(dāng)是斜邊，是直角邊時(shí)，則；或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用及勾股定理，熟練掌握配方法的應(yīng)用及勾股定理是解題的關(guān)鍵．18.（10分）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}，（1）嘗試：①當(dāng)x＝﹣2，y＝1時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③當(dāng)x＝2，y＝2.5時(shí)，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy．（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．（3）運(yùn)用：求代數(shù)式x2【分析】（1）求得x2+y2＝18，2xy＝18，得到x2+y2＝2xy；（2）結(jié)合完全平方的非負(fù)性即可解答；（3）利用歸納的結(jié)論即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案為：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+4x2=（x∵（x?2x）∴代數(shù)式x2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用完全平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．拓展培優(yōu)*沖刺滿分我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式最小值．解：∵無論x取何實(shí)數(shù)，總有．∴，即的最小值是．即無論x取何實(shí)數(shù)，的值總是不小于的實(shí)數(shù)．問題：(1)已知，求證y是正數(shù)；(2)知識(shí)遷移：如圖，在中，，，，點(diǎn)P在邊上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊上以的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)S最大，請(qǐng)求出t和S的值，【答案】(1)見解析(2)t=，S最大值=【分析】（1）仿照例題，利用配方求解即可．

（2）先求s，再利用配方求最值即可．【詳解】（1）證明：（1）．∵．∴．∴．∴y是正數(shù)．（2）解：∵，，．∴．∵．∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用配方求最值，正確配方是求解本題的關(guān)鍵．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】：（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式．（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝．【探究問題】：（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（xx、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．【分析】解決問題：（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；探究問題