函數的概念及其表示（精講）（原卷版）

3.1函數的概念及其表示（精講）一．函數的概念一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，使在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A．函數的三要素1.定義域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；2.值域：與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．三．函數的表示法常用方法有解析法、圖象法和列表法四．相等函數如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等．五．分段函數1.若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．2.分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集．函數概念的理解(1)函數的定義要求第一個非空數集A中的任何一個元素在第二個非空數集B中有且只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應的元素．(2)構成函數的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同．二．常見函數定義域的類型1.分式型：eq\f(1,f（x）)要滿足f(x)≠0（分式中分母不為零）2.根式型：開偶次方根時，被開方數大于等于0即eq\r(2n,f（x）)(n∈N*)要滿足f(x)≥0；3.冪函數型：[f(x)]0要滿足f(x)≠0；4.對數型：logaf(x)(a>0，且a≠1)要滿足f(x)>0；5.正切型：tan[f(x)]要滿足f(x)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．注意事項：①不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化；②定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．二．抽象函數的定義域的求法（對應法則不變，括號內等范圍）1.若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出；2.若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．三．函數解析式的求法1.配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式．2.待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法．3.換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．4.解方程組：已知關于f(x)與f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．四．值域1.分離常數法：分子分母同類型函數（形如y=）或分子分母最高次是二次關系（形如）(至少有一個不為零)的函數,求其值域可用此法.①→分離常數→反比例函數模型②→分離常數→模型③→同時除以分子：→②的模型④→分離常數→③的模型共同點：讓分式的分子變?yōu)槌?.配方法：形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍3.不等式法4.單調性法：若是上的單調增(減)函數,則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值.5.換元法①：此類問題通常以指對，三角作為主要結構，在求值域時可先確定的范圍，再求出函數的范圍.②：此類函數的解析式會充斥的大量括號里的項，所以可利用換元將解析式轉為的形式，然后求值域即可.=3\*GB3③形如型,可用此法求其值域.6.數形結合法：即作出函數的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數值的區(qū)域確定值域，以下函數常會考慮進行數形結合.7.導數法．利用導數與函數的連續(xù)性求圖復雜函數的極值和最值,然后求出值域五．分段函數1.求函數值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現f[f(a)]的形式時，應從內到外依次求值．2.求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．3.求參數或自變量的值：先在分段函數的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可．考法一函數的概念【例1-1】（2023廣東湛江）下列變量之間是函數關系的是（

）A．某十字路口通過汽車的數量與時間的關系B．家庭的食品支出與電視機價格之間的關系C．高速公路上行駛的汽車所行駛的路程與時間的關系D．某同學期中考試的數學成績與物理成績的關系【例1-2】（2023安徽）下列各圖中，不可能是函數圖象的是（

）A．B．C． D．【一隅三反】1．（2022·上海）下列等量關系中，y是x的函數的是（）A． B． C． D．2．（2022北京）（多選）下列圖象中，能表示函數的圖象的是（

）A． B．C． D．3．（2023·廣東深圳）（多選）下列是函數圖象的是（

）A． B．C． D．考法二函數的定義域【例2-1】（1）（2023·河北）函數的定義域是（

） B． C． D．（2）（2023·上海）函數的定義域是__．【例2-2】（1）（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？奸_學考試）已知函數的定義域是，則函數的定義域是（

） B． C． D．（2）（2023·江西）若函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函數的定義域為，且，則的取值范圍是_______．（2）（2022秋·海南）若函數的定義域為，則的范圍是__________.（3）（2023·河南）當時，函數和有意義，則實數的取值范圍是___________.【一隅三反】1．（2023·河北）函數的定義域為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·四川）已知定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西）已知函數，則函數的定義域為（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域（

）A． B． C． D．5．（2023·河北）函數的定義域為，則實數的值為______．6.（2023·吉林）若函數的定義域為，則的取值范圍是______．7．（2023·黑龍江）“”是“函數的定義域為R”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考法三函數的解析式【例3】（2023·廣東潮州）（1）已知是一次函數，且滿足，求_____．（2）已知，則（3）已知函數在定義域上單調，且時均有，則=（4）已知函數的定義域為，且，則（5）已知，則__________.【一隅三反】1．（2023云南）定義在上的函數單調遞增，且對，有，則____.2．（2022·全國·高三專題練習）已知f(x－)＝x2＋，則f（x+）＝________.3．（2022·全國·高三專題練習）設若，則_________.4．（2023新疆）已知，則=_____.5．（2023·北京）求下列函數的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數且，求的解析式；(4)已知滿足，求的解析式.考法四函數的值域【例4】（1）（2023·上海）函數的值域為__________（2）（2023·云南）函數的值域為____________（3）（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為__________（4）（2023北京）函數的值域為（5）（2023·全國·高三專題練習）函數的值域為_____（6）（2023·全國·高三專題練習）函數y＝3－4的最小值為【一隅三反】（2022·全國·高三專題練習）求下列函數的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.考法五判斷兩個函數是否相等【例5】（2023·高三課時練習）下列各組函數中，表示同一個函數的是（

）．A．，B．，C．，D．，【一隅三反】1．（2023·上海）下列四組函數中，表示相同函數的一組是（

）A．B．C．D．2．（2023·江西）下列各組函數表示同一函數的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·內蒙古）下列各組函數是同一函數的是（

）A．與 B．與C．與 D．與4．（2022·全國·高三專題練習）下列四組函數中，表示相同函數的一組是（

）A．，B．，C．，D．，考法六分段函數【例6-1】（2023·全國·模擬預測）已知函數，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【例6-2】（2023·北京）已知函數，則的最小值是（

）A．2 B．1 C．－2 D．－1【例6-3】（2023春·寧夏）已知函