高中數(shù)學(xué)-橢圓練習(xí)題

C2c2a2-b2

離心率e—一（0<e<l）e==

aaa

e越大橢圓越扁，e越小橢圓越圓。

一y=±Y

準(zhǔn)線方程Cc

2a2

準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外；兩準(zhǔn)線間的距離：一

C

頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的“2

距離頂點(diǎn)4（4）到準(zhǔn)線,1（I）的距離為一—。頂點(diǎn)a（4）到準(zhǔn)線"（/,）的距離為+a

c'C

“21

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的

焦點(diǎn)E（q）到準(zhǔn)線/]（右）的距離為------。焦點(diǎn)6（心）到準(zhǔn)線，2<A）的距離為一1+c

距離

CC

橢圓上到焦點(diǎn)最大距離為：〃+c最小距離為：a-c相關(guān)應(yīng)用題：遠(yuǎn)日距離〃+C近日距離

的最大（?。┚?/p>

離a-c

x=boos(p

橢圓的參數(shù)方卜=5（為參數(shù)）

?(0為參數(shù))

程\y=b3\r\（py=asm(p

fx=QC0S3

利用參數(shù)方程簡(jiǎn)便：橢圓彳7.（°為參數(shù)）上一點(diǎn)到直線Ax+By+C=\j的距

橢圓上的點(diǎn)到[y=bsmg）

給定直線的距

離\Aacos（p+Bhsin^?+C\

離為：dr--------

yJA2+B2

22

xy...

橢圓2+,2=1與直線y=履+b的位置關(guān)系：

ab

直線和橢圓的

r22

位置工+工=1

22

利用，ab轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。

y=kx-}-b

相交弦AB的弦長(zhǎng)|=Jl+&~々另-4玉％2

通徑：A3=上一口

V.2oZ-i

,v_i

過橢圓上一點(diǎn)2十72-1利用導(dǎo)數(shù)

---------------1

的切線ab〃2匕2利用導(dǎo)數(shù)

XV

例1.已知橢圓二+―=1伍,。＞0）長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線,

ab

xyi

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一+^—=1

43

22

「y_1

例2.橢圓二+；『「志P到左準(zhǔn)線的距離為10,砥是左焦點(diǎn)，。是坐

2516

使麗?麗=0,求橢圓離心率e的范圍.

解法一：設(shè)「(/，汽)，My

則|PFj|=a+exQ,\PF2|=a-ex0,\FlF2|=2c,P

PF}PF2=0,.-.PF、±PF2

222

IPF.|+|PF.|=|F,F2|

222

(a+ex0)+(a-ex0)=4c

即e2x。2=2c2—a2

p在橢圓上但不在x軸上

2222

/.0<x0<a0<ex0<c~

0<2c2-a2<c2

V2

1?［r二n

則IA尸j+|g耳1+……+1尸7Kl=一

解法一：設(shè)R,P2,尸3，尸4，。5，06,

|尸用1+1尸2K1+里居1+…+1尸6"I+IB"

=解注其菊庫接2%為轉(zhuǎn)2+F述2,由題意知，

=遇7與封耳耳川尸6cHi鳥FJ，|P5c1=1舄尸/，

.?.|4居|+田片|+|「3"|+|尸/1+1戶5居1+1尸6川+甘招1

|+1I+1I+1I+1/^F1+1I+IPF)

=|P7F2P7F,/^F2P6F12P5F,4r

7。=35

22

變式練習(xí):把橢圓二+4=1的長(zhǎng)軸分成8等分，過每個(gè)分點(diǎn)作v軸的垂線交橢圓上

半部分于尸I，舄,……07七個(gè)點(diǎn)，環(huán)是橢圓的左焦點(diǎn)長(zhǎng)軸與橢圓交于P0,P8,判斷

|P0F,|,|P,F,|,|P2F,|...|P8F,I,是否為等差數(shù)列?說明理由，若是求出公差.

解：設(shè)4，P}……6的橫坐標(biāo)為

和再...血小目為等差數(shù)列，

公差姆基盤臉0W〃W8,“々N)。

A.到兩定由金巨離N削為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓

2

B.到定直線x=J和定點(diǎn)F(c,0)的距離之比為￡的點(diǎn)的軌跡是橢圓

,?,I月片1=。+ex：，IP”+iKIT『Kted

C.到定點(diǎn)F(—c,0)和定直線x=-±的距離之比為￡(a>c>0)的點(diǎn)的軌跡是左半個(gè)橢圓

2

取調(diào)儂螂落和年限幽，|朔舞離朝例9(凌腦蜘X彷軌跡是橢圓

cC

且橢圓過點(diǎn)(2,-2),則橢圓方程是

2.若橢圓的兩卷點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),)

》,322

/.a=ed=-r1C.q+《=1D.《+己=]

A.匕+乂=1B.￡+r=

8410648106

3.若方程/+1<f=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)

o

4.設(shè)定點(diǎn)F](0,—3)、F2(0,3),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PK|+|PB|=Q+—(。>0)，則點(diǎn)P的軌跡是

()

A.橢圓B.線段C.不存在D.橢圓或線段

X222

xv

5.橢圓一Y+=1和—T-+^-T-=k(%>0)具有()

a-b2

A.相同的離心率B.相同的焦點(diǎn)C.相同的頂點(diǎn)D.相同的長(zhǎng)、短軸

6.若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則這個(gè)橢圓的離心率為()

B,也C.叵

A.D.-

4242

7.已知尸是橢圓^十二二1上的一點(diǎn)，若P到橢圓右準(zhǔn)線的距離是二，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是

100362

()

16八66「75-77

A.—B.—C.—D.—

5588

22

8.橢圓二+二=1上的點(diǎn)到直線x+2y-JI=0的最大距離是()

164

A.3B.VTTC.272D.V10

22

9.在橢圓匚+上一=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M,使|MP|+2|MF|的值最

43

小，則這一最小值是()

7

B.-C.3D.4

2

10.過點(diǎn)M(-2,0)的直線m與橢圓］-+)，2=1交于P1,P,,線段PIP?的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率

為%(%。0),直線OP的斜率為kz，則kik2的值為()A.2B.-2

11

C.一D.——

22

15.已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率e=2,短軸長(zhǎng)為8JS,求橢圓的方程.

3

x225y28

16.已知A、B為橢圓r+*—彳一=1上兩點(diǎn)，F(xiàn),為橢圓的右焦點(diǎn)，若|AF2|+|BF2|=-a,AB中點(diǎn)到橢圓左

a9a5

3

準(zhǔn)線的距離為一，求該橢圓方程.

2

V2

17.過橢圓C:-1————1上一點(diǎn)P(x(),y)向圓。：X""+-4引兩條切線PA、PB,A,

840

B為切點(diǎn)，如直線AB與x軸、y軸交于M、N兩點(diǎn).

(1)若PA-P8=0,求P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求直線AB的方程(用X。，/)表示)；

(3)求AMON面積的最小值.(O為原點(diǎn))

18.橢圓正+《=1(4>0)與直線x+y=1交于P、。兩點(diǎn)，且OPJ.。。，其中。為坐

a2b2

標(biāo)原點(diǎn).

(1)求二+二的值；(2)若橢圓的離心率e滿足巫WewXZ,求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍

a2b232

x2y2

19.一條變動(dòng)的直線L與橢圓一+?_=1交于P、Q兩點(diǎn)，M是L上的動(dòng)點(diǎn)，滿足關(guān)系|MP|?|MQ|=2.若

42

直線L在變動(dòng)過程中始終保持其斜率等于1.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明曲線的形狀.

20.橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長(zhǎng)為2J5,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(00)的準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)

A,|0F|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)若0P?0。=0,求直線PQ的方程；

(3)設(shè)而=4而(2>1),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線/的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明

FM=—4F。.(14分)

題號(hào)12345678910

答案DDDAADBDCD

（b=4逐

）_?2222

15.（12分）［解析］:We=￡=女=［，，橢圓的方程為：三+匕=1或=十二=1.

1a3lc=81448014480

481

16.(12分)［解析］：設(shè)A(XI,yj,BQ2,y2)，e=w，由焦半徑公式有"i+?！?1。，.??勺+必=耳。，

即AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為又左準(zhǔn)線方程為x=-』a+2a=2,即a=l,.?.橢圓方程為

44442

A^+25y2=|.

~9

17.（12分）

［解析］:（1）?.?PAPB=0PA±PBAOAPB的正方形

XA+VA=8

232

由,丫22n］：=——=8o/=±272，P點(diǎn)坐標(biāo)為(土2叵,0)

互+紅=104

I84

(2)設(shè)A(%py］),B5,丫2)

則PA、PB的方程分別為玉工+%》=4,%2%+>2y=4,而PA、PB交于P(wy0)

即Wo+yiyo=4,必沏+丫2yo=4，JAB的直線方程為：％r+y()y=4

(3)由=4得M(f-,0)、N(0,&)

xo)'o

11441

S^=~\OM\-\ON|=-|-|-|—1=8--——-

22x0l/y。|

i⑸翁.和2"4+*）=26S…冊(cè)嚷=20

當(dāng)且僅當(dāng)|第|=|3?時(shí)，Sw..=2"

ZyJ2乙

18.（12分）［解析］:設(shè)代王,力）,義了2，為），由OPJ_OQ=xlX24-yiy2=0

,/月=1一/，乃二1一工2,代入上式得：2匹X2-（X1+々）+1=0①乂將y=1一/代入

222

二+==1=>（a+b）x-2Q，+Q2（1-。2）=0,vA>0,/.x}+x2=—

azb1az+bz

x,x2=代入①化簡(jiǎn)得_L+_L=2?

a2+b2a2b2

（）,丁—與與v1,又由

22=4=1-!??1vi（1）知從=r—

aa3a22a32?2-l

3二二』上。旦空,

.,.長(zhǎng)軸2ae[A/5,76].

22a2-134222

19.(14分)

[解析]:設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),動(dòng)直線L：y=x+m,并設(shè)P(X1,y。，Q(x2,y?)是方程組|丫=*+陽，的解,

[^+2/-4=0

22

消去y,得3f+4nli+211?—4=0,其“」A=16m—12（2m—4）>0,—V6<m<y/~6，且xi+x2=——，

3

2

x.x?=2m-4,又?.?|MP|=四以一而|,|MQ|=V2|X-X2|.由|MP||MQ|=2,得卜一如卜一處|=1,也即

3

22

|x-（X）+x9）x+xIx->|=1,于是有了上+馴￡+網(wǎng)^=]?.?m=y-x,.,.p+Zy—4|=3.由/+2/一4=3,得

33

v22x2r-

橢圓手+1廠=1夾在直線)'=x土石間兩段弧，且不包含端點(diǎn).由f+Zy2—4=—3,得橢圓W+Zy^l.

22

可設(shè)橢圓的方程為二十Ca-c=2,

20.(14分)［解析］:(1)由題意,=13>&)?由已知得<

a22

c=2（--c）.

c

解得〃="，c=2,所以橢圓的方程為二+以=1，離心率