2022年吉林省榆樹(shù)一中五校數(shù)學(xué)高三上期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要2．將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．3．已知，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題4．已知，，，，．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)（）A．有最大值，無(wú)最小值 B．有最大值，有最小值C．無(wú)最大值，有最小值 D．無(wú)最大值，無(wú)最小值5．2019年10月17日是我國(guó)第6個(gè)“扶貧日”，某醫(yī)院開(kāi)展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng)，現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種6．下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．7．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．8．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．410．已知當(dāng)，，時(shí)，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定11．若，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的一點(diǎn)，則最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“北斗三號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行軌道的離心率為_(kāi)_________.14．平面向量與的夾角為，，，則__________．15．過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線方程為_(kāi)_________.16．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．18．（12分）已知都是大于零的實(shí)數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．19．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè)，有個(gè)，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.20．（12分）已知數(shù)列滿足：對(duì)一切成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由線面關(guān)系可知，不能確定與平面的關(guān)系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當(dāng)時(shí)，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.2、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．3、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置，畫(huà)出可行解域，即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由，，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.5、B【解析】

分兩類：一類是醫(yī)院A只分配1人，另一類是醫(yī)院A分配2人，分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù)，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類：第一類：若醫(yī)院A只分配1人，則乙必在醫(yī)院B，當(dāng)醫(yī)院B只有1人，則共有種不同分配方案，當(dāng)醫(yī)院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí)，共有種不同分配方案；第二類：若醫(yī)院A分配2人，當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí)，共有種不同分配方案，當(dāng)乙不在A醫(yī)院，在B醫(yī)院時(shí)，共有種不同分配方案，所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí)，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用，在做此類題時(shí)，要做到分類不重不漏，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道中檔題.6、C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．7、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得的值，即可比較各選項(xiàng).【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，∴，∴結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，只有正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.9、C【解析】

逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點(diǎn)必在區(qū)間；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，正確．②由題意知．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因?yàn)椋?，所以最大值?4，結(jié)論錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，求得可得為增函數(shù)，又，，時(shí)，根據(jù)條件得，即可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，即為增函數(shù)，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．11、A【解析】

將化成以為底的對(duì)數(shù)，即可判斷的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出與1的大小關(guān)系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)?，?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小；若真數(shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??；若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.12、C【解析】

求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，整理得，解得，即點(diǎn)，所以，圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，半焦距為，因?yàn)榈厍虬霃綖镽,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,可得，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由平面向量模的計(jì)算公式，直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，所以，所以;故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模的計(jì)算，只需先求出向量的數(shù)量積，進(jìn)而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標(biāo)代入，即可求解.【詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設(shè)為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設(shè)甲參加，乙不參加，②設(shè)乙參加，甲不參加，③設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準(zhǔn)確分類及計(jì)算是關(guān)鍵，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到，故，得到答案.（2）計(jì)算，再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），則，即，故，，故.（2），故，故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，故，，故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，面積公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、（1）答案見(jiàn)解析．（2）答案見(jiàn)解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，兩式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）兩式相加得（2）由（1）知于是，．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得,當(dāng)時(shí)根據(jù)題意有,共個(gè)；當(dāng)時(shí)求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對(duì)即可.【詳解】解：（1）三個(gè)數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計(jì)數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到：,時(shí),應(yīng)滿足,,共個(gè),時(shí),應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,（否則）,下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡(jiǎn)上式關(guān)系式可以知道：,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,．檢驗(yàn)：符合題意,共有個(gè),綜上所述：共有個(gè)數(shù)對(duì)符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時(shí)也考查了組合數(shù)的運(yùn)算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意20、（1）；（2）【解析】

（1）先通過(guò)求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過(guò)裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查法求