上海市嘉定區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

上海市嘉定區(qū)2024屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一．填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求干脆填寫結(jié)果，前六題每題得4分，后六題每題得5分.第六題有兩空，每空2分.1.已知集合，是整數(shù)集，則________.【答案】【解析】【分析】先用公式法解肯定值不等式確定集合，再取交集即可.【詳解】，故答案為：.2.已知復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則的虛部為________.【答案】【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算得到，從而求出的虛部.【詳解】，故虛部為-1.故答案為：-13.直線與直線的夾角大小為________.【答案】##【解析】【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【詳解】因?yàn)橹本€的斜率不存在，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角為，故答案為：．4.已知，若關(guān)于的方程解集為，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意，先令方程等號(hào)左右兩邊的常數(shù)項(xiàng)相等，求出，驗(yàn)證后得到答案.【詳解】解集為R，先令等號(hào)左右兩邊的常數(shù)項(xiàng)相等，即，解得：，將代入方程可得：，解集為R，滿意要求.故答案為：25.已知某一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，底面積為，則這個(gè)圓錐的體積為________.【答案】【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑，底面周長(zhǎng)，結(jié)合圓錐側(cè)面積，列出方程，求出圓錐的母線長(zhǎng)，由勾股定理求出圓錐的高，得到圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得：，則圓錐底面周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得：，由勾股定理得：，故圓錐的體積為.故答案為：.6.某果園種植了棵蘋果樹，隨機(jī)抽取的棵果樹的產(chǎn)量（單位：千克）分別為：242536272832202629302633據(jù)此預(yù)料，該果園的總產(chǎn)量為_______千克以及第百分位數(shù)為_______千克.【答案】①.②.【解析】【分析】先計(jì)算樣本的平均數(shù)，然后再估計(jì)整體總產(chǎn)量，找出樣本的第八與第九的均值表示第百分位數(shù).【詳解】（千克），所以總產(chǎn)量：千克；樣本總共有12個(gè)數(shù)，所以，只需找出第9個(gè)數(shù)字和第10個(gè)數(shù)字取平均數(shù)即可，從小到大排列后第九個(gè)數(shù)字為30，第十個(gè)數(shù)字為32，所以第75百分位數(shù)為：31故答案為：2800；31.7.已知常數(shù)，在的二項(xiàng)綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)等于，則_______.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)綻開式中存在一項(xiàng)可知，然后依據(jù)二項(xiàng)式綻開式的通式結(jié)合已知條件列出關(guān)于的方程，解方程即可求出參數(shù)的值.【詳解】依據(jù)已知條件是二項(xiàng)式綻開式的某一項(xiàng)，故得.由，令，得.得，依據(jù)已知可得，解得，即.故答案為：.8.若函數(shù)的值域是，則此函數(shù)的定義域?yàn)開__________．【答案】【解析】【分析】分類探討分兩種狀況解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故答案為：9.如圖為正六棱柱.其個(gè)側(cè)面的條面對(duì)角線所在直線中，與直線異面的共有______條.【答案】【解析】【分析】作出協(xié)助線，得到四點(diǎn)共面，不是異面直線，同理得到與共面，再由，與相交，得到與不是異面直線的面對(duì)角線，從而得到與異面的面對(duì)角線，求出答案.【詳解】連接，因?yàn)榱呅螢檎呅?，所以，故，所以四點(diǎn)共面，不是異面直線，同理可得：與共面，不是異面直線，而，又與相交，故條面對(duì)角線中，與不是異面直線的面對(duì)角線為，其余面對(duì)角線均與異面，分別為，共5條.故答案為：510.關(guān)于的方程的解集為_________.【答案】【解析】【分析】利用肯定值三角不等式，轉(zhuǎn)化原方程，解不等式得到方程的解集.【詳解】由肯定值三角不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的解集為.故答案為：.11.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】【分析】先求出和的坐標(biāo)，再依據(jù)投影向量的定義可得答案.【詳解】依題意：所以在方向上的投影向量為：故答案為：12.已知拋物線，動(dòng)點(diǎn)A自原點(diǎn)動(dòng)身，沿著軸正方向向上勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小為.過(guò)A作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，再過(guò)作軸的垂線交軸于點(diǎn).當(dāng)A運(yùn)動(dòng)至?xí)r，點(diǎn)的瞬時(shí)速度的大小為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)進(jìn)行求解.【詳解】不妨取點(diǎn)B為第一象限的點(diǎn)，則點(diǎn)C位于x軸正半軸，由可得：，，當(dāng)當(dāng)A運(yùn)動(dòng)至?xí)r，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為100，將其代入上式，，即點(diǎn)的瞬時(shí)速度的大小為.故答案為：二．選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，前兩題每題得4分，后兩題每題得5分.13.已知，那么“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分條件但非必要條件 B.必要條件但非充分條件C.充要條件 D.以上皆非【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】，即，由余弦定理得：，因?yàn)椋?，故為鈍角三角形，充分性成立，為鈍角三角形，若為鈍角，則為銳角，則，必要性不成立，綜上：“”是“為鈍角三角形”的充分條件但非必要條件.故選：A14.已知四條雙曲線，，，，，關(guān)于下列三個(gè)結(jié)論的正確選項(xiàng)為（）①開口最為開闊；②的開口比的更為開闊；③和的開口的開闊程度相同.A.只有一個(gè)正確 B.只有兩個(gè)正確 C.均正確 D.均不正確【答案】D【解析】【分析】分別計(jì)算出四條雙曲線的離心率，依據(jù)離心率越大開口更開闊進(jìn)行比較.【詳解】依題意，依次計(jì)算出各自的離心率可得：，比較大小知：可知：三個(gè)結(jié)論均為錯(cuò)誤；故選：D15.甲、乙兩人弈棋，依據(jù)以往總共次的對(duì)弈記錄，甲取勝次，乙取勝次.兩人進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的競(jìng)賽，最終勝者贏得元獎(jiǎng)金.第一局、其次局競(jìng)賽都是甲勝，現(xiàn)在競(jìng)賽因意外中止.鑒于公允，獎(jiǎng)金應(yīng)當(dāng)分給甲（）A元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】我們須要計(jì)算出接著競(jìng)賽甲獲勝的概率依據(jù)比例給甲分得獎(jiǎng)金.【詳解】依題意知：甲乙輸贏的概率都是假設(shè)競(jìng)賽接著，甲只需三場(chǎng)中贏得一場(chǎng)即獲得全額獎(jiǎng)金，甲獲勝的概率（元）故選：C16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家用圓內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)來(lái)近似計(jì)算圓周長(zhǎng)，以估計(jì)圓周率的值.若據(jù)此證明，則正整數(shù)至少等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)，與直徑之比與3.14進(jìn)行比較即可.【詳解】如圖，圓內(nèi)接邊形，為中點(diǎn)，半徑為，圓周率，由計(jì)算器可得：故選：C三．解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必需寫出必要的步驟．17.如圖，已知正四棱柱，底面正方形的邊長(zhǎng)為，.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出平面，從而得到面面垂直；（2）等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗睦庵鶠檎睦庵?，所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以⊥BD，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，AC與BD相交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，，所以，，由三線合一可得：⊥BD，且，由勾股定理得：，所以，故，又，平面故，由，故點(diǎn)A到平面的距離為.18.若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)依次成調(diào)和數(shù)列，則稱是和的調(diào)和中項(xiàng).（1）求和的調(diào)和中項(xiàng)；（2）已知調(diào)和數(shù)列，，，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得到、、成等差數(shù)列，從而得到方程，求出，得到答案；（2）依據(jù)題意得到是等差數(shù)列，設(shè)出公差，由通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公差，從而求出，得到的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】設(shè)和的調(diào)和中項(xiàng)為，依題意得：、、成等差數(shù)列，所以，解得：，故和的調(diào)和中項(xiàng)為；【小問(wèn)2詳解】依題意，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，故.19.李先生屬于一年工作天的上班族，安排購(gòu)置一輛新車用以通勤.大致推斷每天早八點(diǎn)從家動(dòng)身，晚上六點(diǎn)回家，來(lái)回總距離為公里.考慮從兩款車型中選擇其一，款車是燃油車，款車是電動(dòng)車，售價(jià)均為萬(wàn)元.現(xiàn)供應(yīng)關(guān)于兩種車型的相關(guān)信息：款車的油耗為升/百公里，油價(jià)為每升至元.車險(xiǎn)費(fèi)用元/年.購(gòu)置稅為售價(jià)的.購(gòu)車后，車價(jià)每年折舊率為.保養(yǎng)費(fèi)用平均元/萬(wàn)公里；款車的電耗為度/百公里，電費(fèi)為每度至元.車險(xiǎn)費(fèi)用元/年.國(guó)務(wù)院年出臺(tái)文件，宣布保持免除購(gòu)置稅政策.電池運(yùn)用壽命為年，更換費(fèi)用為萬(wàn)元.購(gòu)車后，車價(jià)每年折舊率為.保養(yǎng)費(fèi)用平均元/萬(wàn)公里.（1）除了上述了解到的狀況，還有哪些因素可能須要考慮?寫出這些因素（至少個(gè)，不超過(guò)個(gè)）；（2）為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，請(qǐng)對(duì)相關(guān)因素做出合情假設(shè)，由此為李先生作出買車的決策，并說(shuō)明理由.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）李先生要考慮生活中得各類費(fèi)用以及車身本身的因素，列出幾條即可（2）通過(guò)數(shù)據(jù)的分析，得出相關(guān)的結(jié)論對(duì)買款或買款車進(jìn)行分析.【小問(wèn)1詳解】李先生可能還須要考慮的因素有：1、考慮非通勤時(shí)段的車輛運(yùn)用狀況；2、油價(jià)和電價(jià)的改變；3、工作單位能否供應(yīng)免費(fèi)充電；4、電動(dòng)車的國(guó)家減免政策的改變；5、車輛的外觀、內(nèi)飾與品牌效應(yīng).6、車牌費(fèi)用【小問(wèn)2詳解】假設(shè)僅考慮通勤時(shí)車輛費(fèi)用，油價(jià)和電價(jià)保持相對(duì)穩(wěn)定，電動(dòng)車的免購(gòu)置稅政策保持不變.計(jì)算時(shí)取價(jià)格區(qū)間的中位數(shù)即電價(jià)元/度、油價(jià)元/升.車輛費(fèi)用為車價(jià)、能源費(fèi)用、稅費(fèi)、車險(xiǎn)費(fèi)用、保養(yǎng)費(fèi)用，并扣除車輛殘余價(jià)值.運(yùn)用年數(shù)夠車費(fèi)里程數(shù)油耗油費(fèi)車險(xiǎn)費(fèi)用購(gòu)置稅保養(yǎng)費(fèi)車輛殘值總費(fèi)用130000010000600510040003000020002640007710023000002000012001020080003000040002323201198803300000300001800153001200030000600020444215885843000004000024002040016000300008000179909194491530000050000300025500200003000010000158320227180630000060000360030600240003000012000139321257279730000070000420035700280003000014000122603285097830000080000480040800320003000016000107890310910930000090000540045900360003000018000949443349561030000010000060005100040000300002000083550357450運(yùn)用年數(shù)夠車費(fèi)里程數(shù)電耗電費(fèi)車險(xiǎn)費(fèi)用購(gòu)置稅保養(yǎng)費(fèi)車輛殘值電池更換費(fèi)總費(fèi)用1300000100002000130060000100025500005330023000002000040002600120000200021675009985033000003000060003900180000300018423801406634300000400008000520024000040001566020176598530000050000100006500300000500013311202083886300000600001200078003600006000113145100000336655730000070000140009100420000700096173100000361927830000080000160001040048000080008174710000038465393000009000018000117005400009000694851000004052151030000010000020000130006000001000059062100000423938寫出至年隨意一年中的一組對(duì)比數(shù)據(jù)，例如：款車運(yùn)用年的總費(fèi)用為：款車運(yùn)用年的總費(fèi)用為：所以，假如李先生準(zhǔn)備開年就按二手車賣掉，可以選款車.再寫出至年隨意一年中的一組對(duì)比數(shù)據(jù)，結(jié)論：運(yùn)用年數(shù)不超過(guò)年，建議買款車；運(yùn)用年數(shù)超過(guò)年，建議買款車.20.如圖所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓、組成曲線，其中點(diǎn)依次為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)依次為的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)分別為曲線的圓心.（1）求的方程；（2）若點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）最大值為6，，（3）【解析】【分析】（1）由圓心的橫坐標(biāo)確定的值，再用可得方程；（2）將運(yùn)用幾何法放縮到過(guò)兩個(gè)半圓的圓心時(shí)最大，再依據(jù)特別三角形的角度計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）須要分狀況探討，在圓上和在橢圓上分開計(jì)算，計(jì)算圓錐曲線上一點(diǎn)到某定點(diǎn)的最值問(wèn)題可以用參數(shù)方程計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】依題意，，所以，于是的方程為【小問(wèn)2詳解】由對(duì)稱性，不妨設(shè)，，，當(dāng)三點(diǎn)共線，同時(shí)三點(diǎn)共線，，此時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)在曲線或曲線的右半部分上運(yùn)動(dòng).①當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，.，；②當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，.，，綜合①②，.【點(diǎn)睛】圓錐曲線的組合曲線的問(wèn)題，一般都須要采納分類探討的方法，與圓有關(guān)系的問(wèn)題一般都考慮幾何法優(yōu)先.21.已知，（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并證明：函