河南省豫北名校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月大聯(lián)考理試卷

Page19河南省豫北名校2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月大聯(lián)考（理）試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，得，所以集合；因?yàn)?，得，解得，所以集合，所?故選：A2.已知平面對(duì)量與的夾角為，若，，則（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】【詳解】由平方可得，因?yàn)?，平面?duì)量與的夾角為，所以即，解得或（舍去），故選：D3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】,,.故選：C4.已知虛數(shù)滿意,則（）A.0 B.1 C.0或1 D.2【答案】B【解析】【詳解】解:由題知,設(shè)虛數(shù)z=a+biR,代入可得R,,可得(舍)或,故z=i,,故選:B.5.已知為等比數(shù)列，其公比為，設(shè)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，即，另一方面，取，由，可得且，即因此，是的既不充分也不必要條件.故選：D.6.我們知道二氧化碳是溫室性氣體，是全球變暖的主要元兇．在室內(nèi)二氧化碳含量的多少也會(huì)對(duì)人體健康帶來(lái)影響．下表是室內(nèi)二氧化碳濃度與人體生理反應(yīng)的關(guān)系：室內(nèi)二氧化碳濃度（單位：）人體生理反應(yīng)不高于空氣清爽，呼吸順暢空氣渾濁，覺(jué)得昏昏欲睡感覺(jué)頭痛，嗜睡，呆滯，留意力無(wú)法集中大于可能導(dǎo)致缺氧，造成永久性腦損傷，昏迷甚至死亡《室內(nèi)空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》和《公共場(chǎng)所衛(wèi)生檢驗(yàn)方法》給出了室內(nèi)二氧化碳濃度的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)為：室內(nèi)二氧化碳濃度不大于（即為），所以室內(nèi)要常常通風(fēng)換氣，保持二氧化碳濃度水平不高于標(biāo)準(zhǔn)值．經(jīng)測(cè)定，某中學(xué)剛下課時(shí)，一個(gè)教室內(nèi)二氧化碳濃度為，若開(kāi)窗通風(fēng)后二氧化碳濃度與經(jīng)過(guò)時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系式為，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)須要開(kāi)窗通風(fēng)時(shí)間至少約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘【答案】A【解析】【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，可得，則，由，可得，故該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)須要開(kāi)窗通風(fēng)時(shí)間至少約為分鐘.故選：A.7.在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，，則為（）A.鈍角三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【詳解】由結(jié)合正弦定理可得，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故為直角三角形，故選：C8.已知函數(shù)的最大值與最小值之和為6，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【詳解】解：，定義域?yàn)?，令，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，最小值為，所以，因?yàn)?，函?shù)的最大值與最小值之和為，所以，解得.故選：B9.已知等差數(shù)列的公差不為，設(shè)為其前項(xiàng)和，若，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)?，可得，且，所以，，且?shù)列單調(diào)遞增，依據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，，，，故集合中元素個(gè)數(shù)為.故選：D.10.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.在上單調(diào)遞增C.在上的值域?yàn)镈.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱【答案】C【解析】【詳解】解：，函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，函數(shù)的最小正周期是，∴，∴，，，∴關(guān)于對(duì)稱，故A正確；由，解得，所以的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，而，∴在上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，有，則，所以，∴，故C錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到關(guān)于軸對(duì)稱，故D正確.故選：C11.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，、、構(gòu)成公比不為的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和．若，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則且，由已知可得，即，可得，所以，，，所以，，，，則，可得，因此，的最小值為.故選：A.12.已知a，b，，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，可轉(zhuǎn)化為，可轉(zhuǎn)化為，可轉(zhuǎn)化為，下面比較的大小關(guān)系，明顯：，，設(shè)，由和的圖像可知：當(dāng)時(shí)，，而，所以，所以，即.,設(shè)，和的圖像如圖所示：因?yàn)?，所以，使得，所以?dāng)時(shí)，，而，所以，所以，即，綜上：,則分別函數(shù)與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，如圖所示：由圖可知：.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則______．【答案】【解析】【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得故答案為：14.已知，若曲線在處的切線方程為，則______．【答案】【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即①，又，可得②，由①②可得：，所以.故答案為：.15.如圖為矩形ABCD與半圓O的組合圖形，其中，E為半圓弧上一點(diǎn)，，垂足為F，點(diǎn)P在線段AD上，且，設(shè)，則的面積與的關(guān)系式為_(kāi)_____；的最大值為_(kāi)_____．【答案】①.②.【解析】【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，依據(jù)題意可得，，因?yàn)?，，所以，所以的面積，其中，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以的最大值為，故答案為：；16.已知，若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【詳解】由可知，設(shè)，則令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增即若，則則在單調(diào)遞減，其中，因?yàn)?，則，不能恒成立;故，使得，在單調(diào)遞增，此時(shí)的取值范圍滿意題意,，解出故答案為:三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，．（1）求，；（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1），.（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，有，解得.故，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得：，即，化簡(jiǎn)得：，所以，即，，化簡(jiǎn)得：.故的通項(xiàng)公式.18.（1）已知，求；（2）已知，，且，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，即所以?）因?yàn)?，，且，，所以，，所以，因?yàn)?，，所以，所?9.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）證明：；（2）若，，求的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由及正弦定理可得，即，即，、、，則，所以，，，則，所以，，故.【小問(wèn)2詳解】解：由余弦定理可得，所以，，，則為銳角，故，因此，.20.在平面四邊形中，，，．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）求四邊形周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】解：連接，因?yàn)?，，故為等邊三角形，，，則，由正弦定理得，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：由余弦定理可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，四邊形周長(zhǎng)的最大值為.21.在數(shù)列中，，，，且數(shù)列為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：因，，所以，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為，所以所以，兩邊同除以得,所以,又因?yàn)?所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，所以記?shù)列的前項(xiàng)和，則，，所以，所以，所以22已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）0（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，令，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，所以；【小問(wèn)2詳解】由于，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間有一根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，當(dāng)，